六年级下册数学第四单元《比例》讲义.docx
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六年级下册数学第四单元《比例》讲义
六年级下册数学第四单元《比例》讲义
1.比例的意义和基本性质
一、比例的意义
1.如5:
6=
,15:
18=
,所以5:
6=15:
18。
像“5:
6=15:
18”,表示两个比相等的式子叫做比例。
2.判断两个比能否组成比例的方法:
看两个比的比值是否相等,如果比值相等,那么就能组成比例;否则不能组成比例。
二、比例的各部分名称
1.组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项。
例如:
3.6:
3 = 4.8:
4
内项
外项
三、比例的基本性质
1.在比例里,两个外项的积等于两个内项的积,这叫做比例的基本性质。
2.如果
(a、b、c、d均不为0),那么ad=bc。
【趁热打铁】
1.能与15:
9组成比例的比是()。
A.13:
15B.3:
5C.5:
3D.15:
115
2.能与
:
组成比例的是( )。
A.2:
3B.
C.
D.
3.在比例1.2:
2.1=4:
7中, 和 是外项, 和 是内项,将这个比例改写成分数形式是
=
.
4.在一个比例里,两个外项互为倒数,其中一个内项是3.5,另一个内项是()。
5.如果a:
b=5:
9,那么a:
5=():
()。
6.A的
相当于B的
,A:
B=():
()
7.如果2a=6b,则
,a:
8=():
()。
8.如果6x=7y,写成比例是()
A.6:
7=y:
xB.x:
y=6:
7C.6:
x=7:
yD.6:
y=7:
x
9.用3、7、9、21这四个数组成的比例式,下面的哪个式子是正确的( )。
A.21:
3=7:
9 B.3:
7=9:
21C.9:
3=7:
21 D.3×21=7×9
1.根据比例的基本性质,求比例中的某一项
(1)
(2)
(3)
(4)
2.运用例举法把乘法等式改写成比例
(1)3×80=4×60
(2)
3.判断四个数能否组成比例
(1)判断3,6,9,18这四个数能否组成比例
(2)小强3分钟走了180米,小刚1小时走了3.6千米。
小强说:
“我俩各自左走的路程和时间的比能组成比例。
”小刚说:
“不能组成比例。
”他们谁说得对?
1.解比例的意义:
求比例中的未知项,叫做解比例
2.方法:
(1)根据比例的基本性质把比例转化成乘法算式
(2)解方程求出未知项的值
【趁热打铁】
1.解比例
:
=
:
X
2.根据条件列比例解比例
(1)36与X的比等于4与0.2的比.
(2)一个数和8的比等于
的比,这个数是多少?
(3)比的两个外项是4.6和5,两个内项是X和2.3.
3.一种农药,用药液和水按1:
1500配制而成,现有3千克药液,能配制这种农药多少千克?
4.隆兴嘉园11号楼的实际高度是38米,它的高度与模型高度的比试500:
1.那么模型的高度是多少厘米?
2.正比例和反比例
一、正比例的意义
1.两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。
2.如果用字母y和x表示两种相关联的量,用k表示它们的比值(一定),那么正比例关系可以表示为
例:
正方形的周长与边长;速度一定时的路程与时间;单价一定时的总价与数量。
注:
判断两种量是否成正比例,要做到“两判”:
一判这两种量是不是相关联的量,二判两个量的比值是否一定。
二、正比例图像的特点
正比例图像是一条从原点出发的射线。
从图像中可以直观地看到两种量的变化情况,可以不用计算,由一个量的值就能直接找到相对应的另一个量的值
【趁热打铁】
1.判断下面每题中的两种量是否成比例。
(1)笔记本单价一定,数量和总价()
(2)工作效率一定,工作时间和工作总量()
(3)一袋大米的重量一定,吃了的和剩下的()
(4)正方形的周长和边长()
(5)人的身高和体重()
2.公共汽车里的投币箱贴有“2元/人”.
(1)把下表填写完整.
上车的人数/人
1
2
4
6
投币箱的车费/元
2
6
10
(2)根据表中的数据,在下图中描出车费和上车的人数所对应的点,再把它们按顺序连起来。
(3)你发现哪个量与哪个量成什么比例?
请说明理由。
3.妈妈去买苹果,苹果的总价和购买的数量如下:
数量(千克)
2
4
5
8
10
12
总价(元)
8
16
24
32
40
48
(1)妈妈买苹果的总价和所买数量成正比例吗?
为什么?
(2)根据表中数据,在下图中描出总价和所买数量所对应的点,再把它们用线连起来。
(3)看上图判断,妈妈买5千克苹果需要多少元?
60元可以买多少千克苹果?
4.同一时间,同一地点测得树高和影长如下图:
(1)看图填写下表:
树高/m
1
2
3
4
5
影长/m
(2)树高和影长成比例吗?
成什么比例?
为什么?
(3)根据图象,估计8米高的树,这时的影长是多少米?
4.甲、乙两车行驶的路与时间的关系如图:
(1)甲车行驶的路程与时间是否成正比例关系?
乙车呢?
(2)3小时甲车行驶()千米,乙车行驶()千米。
(3)从图象上看,甲车的速度快还是乙车的速度快?
(2)如果甲、乙两车从A、B两地同时出发,相向而行,经过5小时相遇.则A、B两地相距多少千米?
5.已知x和y成正比例关系,完成下面的表:
X
7
6
18
Y
36
24
8
1.两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定,那么这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。
2.如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的成绩(一定),那么反比例关系可以表示为
例:
路程一定时的速度与时间;总价一定时的单价与数量。
注:
判断两种量是否成反比例,要做到“两判”:
一判这两种量是不是相关联的量,二判两个量的乘积是否一定。
【趁热打铁】
1.判断下面每题中的两种量是否成比例。
(1)比的前项一定,比的后项和比值()
(2)平行四边形的面积一定,它的底和高()
(3)烧煤的天数一定,每天的烧煤量和煤的总量()
(4)长方形的周长一定,它的长和宽()
(5)被减数一定,减数与差()
(6)花生的出油率一定,花生的重量和油的重量()
(7)正方形的边长与面积成()
(8)班级学生的总人数一定,出勤率与缺勤率()
(9)圆的周长与直径()
(10)同时同地树高与影长()
2.表示a和b这两种量成反比例的关系式是()
A.a+b=8B.a-b=8C.a×b=8D.a÷b=8
3.x与y成反比例关系,根据条件完成下表。
X
15
20
40
Y
400
240
100
4.想一想,填一填。
(1)如果
=
,那么x和y成( )比例,
(2)如果
=
那么a与b成()比例。
5.3个人练习打同一份稿件,每人打字所用时间如下表,请填表并回答问题。
玲玲
军军
奇奇
打字所用的时间(分)
10
12
20
速度(字/分)
84
70
42
(1)不同的人在打同一份稿件的过程中,哪个量没变?
(2)打字的速度和所用的时间有什么关系?
(3)张老师打这份稿件用了7分钟,你知道她平均每分钟打多少个字吗?
6.一辆汽车准备从甲地开往乙地。
根据下表提供的信息,把表格填写完整。
(1)行驶的时间和速度成什么比例关系?
说明理由。
(2)如果这一辆汽车从甲地到乙地用了18小时,根据上面表格估计这辆汽车的速度大约是多少?
7.看同一本书,每天看的页数和所看天数的情况如下表:
每天看的页数
4
8
10
16
20
所看的天数
80
40
(1)判断:
每天所看的页数与所看天数成比例。
(2)把表格填完整。
(3)哪一个量不变。
注:
正比例和反比例的比较
共同点
不同点
正比例
两种量相关联,一种量变化,另一种量也随着变化。
两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,
即
=k(一定)
反比例
两种量中相对应的两个数的乘积一定,
即xy=k(一定)
3.比例的应用
一、比例尺的意义
1.一幅图的()距离和()距离的比,叫做这幅图的比例尺。
2.()︰()=比例尺或
=()
3.比例尺与一般的尺不同,它是一个(),不应带有计量单位.
4.求比例尺时,前、后项的单位长度一定要化成同级单位
例1:
一张地图上2厘米的距离表示实际距离1000米。
求图上距离和实际距离的比。
例2:
一个机器零件的长为3毫米,画在纸上的长为18厘米,求这幅图的比例尺。
练习:
1.用图上距离5厘米,表示实际距离200米,这幅图的比例尺是()
2.图上距离:
实际距离=1cm:
50km=1cm:
()cm=1:
()
3.在一幅地图上,用3厘米的线段表示18千米的实际距离,这幅地图的比例尺是()。
4.长4毫米的零件,画在图纸上是4厘米,这幅图的比例尺是()
5.一个手表零件长2毫米,画在一幅图上长4厘米,这幅图的比例尺。
6.一张地图上,用3厘米表示实际距离600米,求这张地图的比例尺。
二、比例尺的分类
1.按表现形式分:
(1)线段比例尺:
(2)数值比例尺:
图上距离:
实际距离=比例尺或
(3)文字比例尺:
图上1厘米代表实地距离40千米
2.按将实际距离缩小还是放大分:
(1)缩小比例尺:
像1:
2000,1:
50这样前项是“1”的比例尺,称为缩小比例尺。
(2)放大比例尺:
像4:
1,60:
1这样后项是“1”的比例尺,称为放大比例尺。
例3:
(1)说一说下面两幅图中比例尺所代表的含义。
(2)你能将第二个线段比例尺改写成数值比例尺吗?
练习:
1.AB两地间的直线距离是150千米,在地图上只有5厘米,该地图的比例尺是多少?
用三种表示方法表示。
2.两城的实际距离是120千米,在一幅地图上的图上距离为4厘米,该地图的比例尺是多少?
将数值比例尺改写成线段比例尺。
3.填写表格
数字式
文字式
线段式
1:
2000000
图上1厘米等于实际距离3千米
1:
450000
三、已知比例尺和图上距离,求实际距离
方法一:
根据“
”列方程,用解比例的方法解答
方法二:
根据“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式解答
例4:
在比例尺1:
2000的平面图上,量得一座大桥的长度是7.2厘米。
这座大桥的实际长度是多少米?
方法一:
方法二:
练习:
1.判断
⑴实际距离一定比图上距离大。
()
⑵在比例尺是10:
1的图纸上,2厘米的线段表示零件实际长度是20厘米。
()
2.在比例尺是1:
6000000的地图上,量得重庆到上海的距离是24厘米,重庆到上海的实际距离是多少千米?
3.在比例尺是
的地图上,量得一间房屋地基长8厘米,宽5厘米。
这间房屋实际的长和宽分别是多少?
思维突破1:
在比例尺是
的地图上,量得一所学校的平面图长6厘米,宽4厘米。
这所学校实际占地面积是多少平方米?
过关精炼:
在比例尺是1:
400的图纸上,量得长方形的长是4厘米,宽是3厘米。
长方形的实际面积是多少平方米?
思维突破2:
在比例尺是1:
5000000的地图上,量得沈阳和重庆两地相距6厘米。
如果甲、乙两辆汽车同时从两地相对出发,甲车每小时行48千米,乙车每小时行42千米。
几小时后两车能相遇?
过关精炼:
1.在比例尺是1∶3000000的地图上,量的A、B两地的距离是50厘米。
如果甲、乙两列客车同时从A、B两地相对开出,经过10小时相遇,甲客车每小时行76千米,乙客车每小时行多少千米?
2.在比例尺是1:
2000000的地图上,量得济南到烟台的距离是3.6厘米。
如果汽车以每小时30千米的速度于上午9时整从济南出发,走完这段路程到达烟台时是什么时刻?
四、已知实际距离和比例尺,求图上距离(应用比例尺画图)
方法一:
用方程解。
1.解,设图上距离为x厘米。
2、换算单位。
实际距离与图上距离单位一致。
3、利用“图上距离:
实际距离=比例尺”列比例,解比例。
方法二:
算术法。
利用“图上距离=实际距离×比例尺”直接列式计算。
例5:
一个长方形操场,长110米,宽90米。
把它画在比例尺是
的图纸上,长和宽各应画多少厘米?
过关精炼:
实际距离240千米,画在比例尺是1:
8000000的地图上,应画多少厘米?
思维突破:
在比例尺是1:
6000000的地图上,量得南京到北京的距离是15厘米。
如果把南京到北京的距离画在比例尺是1:
5000000的地图上,应该画多少厘米?
过关精炼:
1.原比例尺为1:
50000的一幅地图,现在改为用
的比例尺重新绘制,原地图中4.8cm的距离,在新地图中应该画多少厘米?
2.在一幅地图上,用5厘米的距离表示实际距离1500千米。
在这幅地图上量得A、B两地的距离是3.5厘米,A、B两地的实际距离是多少千米?
一条640千米的高速公路,在这幅地图上是多少厘米?
五、应用比例尺画图
步骤:
1.确定比例尺。
2.根据自己选择的比例尺计算出平面图上的距离。
3.画图。
例6:
小明家在学校正西方向,距学校200m;小亮家在小明家正东方向,距小明家400m;小红家在学校正北方向,距学校250m,在下图中画出他们三家和学校的位置平面图。
·学校
过关精炼:
1、篮球场长120m,宽90m。
用1:
2000的比例尺在下面画出它的平面图(只画出边界)
2、小明家正西方向500是街心公园,街心公园正北方向300是科技馆,科技馆正东方向1是动物园,动物园正南方向400是医院。
先确定比例尺,再画出上述地点的平面图。
一、图形的放大与缩小
1.图形的放大:
保持图形原来的形状不变,但是和原图相比,图形变大了,叫做图形的放大。
2.图形的缩小:
保持图形原来的形状不变,但是和原图相比,图形变小了,叫做图形的缩小。
二、在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小的方法
1.步骤:
一看二算三画
2.放大或缩小后的图形与原来的图形相比,形状相同,但是大小发生了变化。
3.图形按一定的比放大时,这个比的比值比1();图形按一定的比缩小时,这个比的比值比1()。
多次放大或缩小
一个长方形,先按2:
1放大,再按1:
4缩小,和原来的长方形相比,最终的到的长方形各边是扩大了还是缩小了?
【趁热打铁】
1.
先按4:
1把下面的三角形放大,再把放大后的图形按1:
2缩小。
2.一个长方形,长是12厘米,宽是6厘米,
(1)按一定比例放大后,长是36厘米,宽是18厘米,它是按():
()的比扩大的。
(2)按一定比例缩小后,长是6厘米,宽是3厘米,它是按():
()的比缩小的。
3.把一个长是3cm,宽是2cm的长方形按2:
1的比扩大后,长是()cm,宽是()cm,面积将扩大到原来的()。
4.把一个边长是24cm的正方形按1:
8缩小后,边长是(),缩小后的正方形的面积与原来正方形的面积的比是()。
5.一个圆的半径是4厘米,按1:
2缩小后,得到的图形的面积是()。
6.一个圆按3:
1放大后,半径是12cm,原来的圆的半径是()。
7.若将直角三角形的两条直角边都扩大到原来的3倍,则斜边()。
A.不变B.扩大到原来的3倍C.缩小到原来的
8.用放大镜看一个45°的角,这个角的度数是()。
一、用正比例解决问题
步骤:
(1)分析题意,找到两种相关联的量,判断他们是否成正比例
(2)如果成正比例关系,根据正比例的意义列出比例式
(3)解比例
(4)检验并答
二、用反比例解决问题
步骤:
(1)分析题意,找到两种相关联的量,判断他们是否成反比例
(2)如果成反比例关系,根据反比例的意义列出比例式
(3)解比例
(4)检验并答
【趁热打铁】
1.下面各题中的两个量成不成比例,如果成比例,那么成什么比例?
(1)圆的面积和半径()
(2)订《数学报》的份数与总价()
(3)长方形的周长一定,长与宽()
(4)在没有余数的除法中,被除数一定,除数和商()
(5)铺底面积一定,方砖面积与所需块数()
(6)货车的载重量一定,运送货物的总量和辆数()
2.食堂买3桶油用了780元,照这样计算,买10桶油需要多少元?
(1)因为()一定,相关联的两种量是()和()
(2)得数量关系式:
=
(3)所以()和()成()比例关系。
3.生产一批自行车,计划每天生产30辆,需要生产20天;实际每天生产了50辆,实际生产了几天?
(1)因为()一定,相关联的两种量是()和()
(2)得数量关系式:
=
(3)所以()和()成()比例关系。
4.一种大豆,每20千克可以榨油5.5千克。
照这样计算。
(1)30吨大豆可以榨油多少吨?
(2)要榨22吨油,需要这样的大豆多少吨?
5.我国发射的人造地球卫星,在空中绕地球运行3周需要5.7小时。
照这样计算,运行12周需要多少小时?
6.测量小组测得一座电视发射塔的影长是100米。
同时把一根长2米长的竹竿直立在地上,测得影长是1.6米。
电视发射塔高多少米?
7.一个晒盐场用100克海水可以晒出3克盐。
照这样计算,如果一块盐田一次放入585000吨海水,那么可以晒出多少吨盐?
8.一种农药是用药液和水按1:
1500的比例配制而成的,现有3千克药液,能配制这种农药多少千克?
9.一辆汽车从上午8时到11时行了210km,照这样的速度,甲地到乙地的距离是980km,从甲地到乙地10小时能到吗?
10.一列火车从甲城开往乙城,前3小时行驶210千米,照这样计算,再行4.5小时就可以到达乙城,甲乙两城共多少千米?
11.一根木料,锯3段需要9分钟,如果锯6段,需要多少分钟?
12.学校音乐室要用方砖铺地。
用边长3分米的方砖铺,需要96块;如果改用边长2分米的方砖铺地,需要多少块?
13.工程队修一条公路,计划每天修4.5km,20天完成,实际每天修6km,实际多少天可以完成?
14.小青读一本名著,如果每天读20页,12天可以读完。
小青想8天读完,那么平均每天要读多少页?
15.食堂买来一批大米,每天吃80千克,可吃6天,如果每天吃96千克,少吃了几天?
16.生产一批零件,计划每天生产60个,20天完成。
实际每天超产20个,可以提前几天完成任务?
17.某食品厂包装一批水果糖,如果每袋装250克,需120袋才能装完。
现在要求每袋多装250克,需多少袋可以装完?
18.学校食堂运来一批煤,计划每天烧180千克,可以烧25天,实际每天少烧30千克,实际多烧了多少天?
19.一辆汽车从甲地开往乙地,平均每小时行70千米,10小时到达。
从原路回来时提速,只用了9小时,回来时平均每小时行多少千米?
20.一辆汽车从甲地开往乙地,每小时行60千米,3小时可到达。
返回时,如果速度提高20%,多少小时就可返回甲地?
21.(浓度问题)现有浓度为10%的盐水100克,想得到浓度为5%的盐水,需加水多少克?
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