考研数学三真题与答案.docx

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考研数学三真题与答案

2012年考研数学三真题

一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）

（1）曲线渐近线的条数为

（A）0（B）1

（C）2（D）3

【答案】C。

【解析】

由,

得是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；

由得是曲线的一条垂直渐近线；

由得不是曲线的渐近线；

综上所述，本题正确答案是C

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线

（2）设函数,其中为正整数，则

（A）（B）

（C）（D）

【答案】A

【解析】

【方法1】

令,则

故应选A.

【方法2】

由于,由导数定义知

.

【方法3】

排除法，令,则

则（B）（C）（D）均不正确

综上所述，本题正确答案是（A）

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念

（3）设函数连续，则二次积分

（A）

（B）

（C）

（D）

【答案】B。

【解析】

令,则所对应的直角坐标方程为,所对应的直角坐标方程为。

由的积分区域

得在直角坐标下的表示为

所以

综上所述，本题正确答案是（B）。

【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算

（4）已知级数绝对收敛，级数条件收敛，则

（A）（B）

（C）（D）

【答案】D。

【解析】

由级数绝对收敛，且当时，故,即

由级数条件收敛，知

综上所述，本题正确答案是（D）

【考点】高等数学—无穷级数—数项级数敛散性的判定

（5）设,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为

（A）（B）

（C）（D）

【答案】C。

【解析】

个维向量相关

显然

所以必线性相关

综上所述，本题正确答案是（C）。

【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关和线性无关

（6）设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若,则

（A）（B）

（C）（D）

【答案】B。

【解析】由于经列变换（把第2列加至第1列）为，有

那么

=

综上所述，本题正确答案是（B）。

【考点】线性代数—矩阵—矩阵运算、初等变换

（7）设随机变量相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则

（A）（B）

（C）（D）

【答案】D。

【解析】

而

即是在正方形上等于常数1，其余地方均为0，

实际上就是单位圆1在第一象限的面积。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—二维随机变量分布

（8）设为来自总体的简单随机样本，则统计量的分布为

（A）（B）

（C）（D）

【答案】B。

【解析】

1，，故；

2，，故，,

3，与相互独立。

与也相互独立，

所以

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】概率论与数理统计—数理统计的概念

二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。

）

（9）。

【答案】。

【解析】这是一个‘’型极限，由于

所以

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限

（10）设函数,则。

【答案】

【解析】

可看做,与的复合，当时

由复合函数求导法则知

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念

（11）设连续函数满足,则

。

【答案】

【解析】

由，且连续，可得,且

由可微的定义得,即

【考点】高等数学—多元函数的微分学—多元函数偏导数的概念与计算

（12）由曲线和直线及在第一象限中围成的平面图形的面积为。

【答案】

【解析】

曲线和直线及在第一象限中围成的平面域如下图，则所围面积为

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的应用

（13）设为3阶矩阵，为的伴随矩阵。

若交换的第1行与第2行得到矩阵，则。

【答案】-27

【解析】

【方法1】

两行互换两列互换变成，所以,再由行列式乘法公式及，则

【方法2】根据题意

，即

那么

从而

【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质

线性代数—矩阵—伴随矩阵，矩阵的初等变换

（14）设是随机事件，互不相容，则。

【答案】

【解析】

互不相容，自然有,当然更有，所以

【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—事件的关系与运算，概率的基本公式，事件的独立性

三、解答题：

小题，共94分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）求极限

【解析】

【方法1】

（等价无穷小代换）

（洛必达法则）

【方法2】

（等价无穷小代换）

（泰勒公式）

【方法3】

（拉格朗日中值定理）

（洛必达法则）

（）

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算

高等数学—一元函数微分学—微分中值定理，洛必达（L'Hospital）法则

（16）计算二重积分其中是以曲线及轴为边界的无界区域。

【解析】

【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法

高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算

（17）某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000（万元）。

设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别是（件）和（件），且这两种产品的边际成本分别为（万元/件）与（万元/件）.

（I）求生产甲、乙两种产品的总成本函数（万元）；

（II）当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？

求最小成本；

（III）求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释经济意义。

【解析】

（I）总成本函数（万元）

（II）由题意知，求在时的最小值，构造拉格朗日函数

解方程组得.

因可能极值点唯一，且实际问题存在最小值，故总产量为50件时，甲乙两种产品的产量分别是24,26时可使总成本最小，且此时投入总费用

（万元）

（III）甲产品的边际成本函数：

于是，当总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本

其经济意义为：

当甲乙两种产品的产量分别是24,26时，若甲的产量每增加一件，则总成本增加32万元。

（18）证明：

【解析】

【方法1】

记,则

当时，由于,所以,从而单调增加。

又因为，所以，当时，;当时，，于是是函数在内的最小值。

从而当时，

即

【方法2】

记,

显然，是偶函数，因此只要证明

由于

从而有，

有

则当时，

即

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算，函数单调性的判别，函数的极值

（19）已知函数满足方程及

（I）求的表达式；

（II）求曲线的拐点。

【解析】

（I）联立

得,因此

代入，得,所以

（II）

当时，;当时，,又,所以曲线的拐点为

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算，函数单调性的判别，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线

（20）设,.

（I）计算行列式；

（II）当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解。

【解析】

（I）按第一列展开

（II）当时，方程组有无穷多解，由上可知或

如果

方程组无解，舍去

当时，

，方程组有无穷多解，取为自由变量，得方程组通解为

为任意常数

【考点】线性代数—线性方程组—线性方程组有解和无解的判定，非齐次线性方程组的通解

（21）已知,二次型的秩为2

（I）求实数的值；

（II）求正交变换将化为标准形。

【解析】

（I）因为,对做初等行变换

所以，当时，

（II）由于，所以，矩阵的特征多项式为

，

于是的特征值为

当时，由方程组,可得到属于的一个单位特征向量；

当时，由方程组,可得到属于的一个单位特征向量；

当时，由方程组,可得到属于的一个单位特征向量。

令,

则在正交变换下的标准形为

【考点】线性代数—矩阵—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质

线性代数—二次型—二次型的标准形和规范形，用正交变换和配方法化二次型为标准形

（22）设二维离散型随机变量的概率分布为

0

1

2

0

1

0

0

2

（I）求；

（II）求.

【解析】

（I）

（II）由的概率分布可得

所以

所以

【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质

（23）设随机变量相互独立，且都服从参数为1的指数分布，记.

（I）求的概率密度；

（II）求.

【解析】

（I）

当时，，

（II）

【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—常见随机变量的分布，连续型随机变量的概率密度，随机变量函数的分布

概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质