计数问题讲义.docx
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计数问题讲义
学生“一对一”个性化辅导讲义
(2010-2011学年第二学期)
任教科目数学
授课题目计数问题
年级六年级
任课教师
教学部编
教研组长签名:
__________时间:
__________
“一对一”个性化辅导学案
授课教师
授课对象
授课时间
2011.4.15
授课题目
计数问题
课型
新课
使用教具
讲义、笔、纸
教学
目标
1.掌握加法原理和乘法原理
2.熟练运用加法原理和乘法原理解题
3.掌握其他一些计数问题的解决方法
教学重难点
在运用中加法原理与乘法原理的区别
参考教材
教学内容
知识纵横
计数问题是数学竞赛中常见的问题。
最基本的计数办法是把所有要计数的东西一一列举出来,如数篮子里的鸡蛋一样,计数时只须不重复,也不遗漏就可以了,但是有些问题是不易一一列举的。
例如:
1.某城市电话号码从7位升至8位,可以增加多少个电话号码?
2.法国的邮政编码用5位数字,中国的邮政编码用6位数字,两国的邮政编码各有多少个?
显然这里靠一一列举是难以数清的,下面我们介绍两种常用的计算办法。
1.加法原理
问题1从甲地到乙地,有火车、汽车、轮船三种交通工具,一天中,有火车5班,汽车4班,轮船3班,问一天中从甲地到乙地乘坐这些交通工具,共有几种不同的走法?
解:
因为每一种走法都可以从甲地到乙地,我们只要把从甲地到乙地的乘火车、汽车、轮船的每一类中的走法相加,共有
(种)不同走法。
一般地,有下面
加法原理做一件事情,完成它可以有几类办法,第一类办法中有
种不同的方法,第二类办法中有
种不同的方法,
,第n类办法中有
种不同的方法,那么完成这件事情共有
种不同的方法。
2.乘法原理
问题2由A村去B村有2条路可走,由B村去C村有4条路可走,问从A村经B村去C村,共有多少种不同的走法?
解:
从A村到C村必须经过B村,即必须分2步:
先从A村到B村,再从B村到C村,才能满足要求。
所以把每一步走法相乘,共有
(种)不同的走法。
一般地,有下面
乘法原理做一件事情,完成它要分n步,做第一步有
种不同的方法,做第二步有
种不同的方法,
,做第n步有
种不同方法,那么完成这件事情共有
种不同的方法。
例题讲解
例1在所有四位数中,数字和是34的数有多少个?
分析由于四位数的数字和不超过
,而34比36小2,所以四位数中至少有二个9,这样可以把符合条件的数枚举出来。
举一反三三个圆A、B、C在同一条直线上,如图所示,一只青蛙在这三个圆之间跳来跳去,它先从A开始,跳了4次以后又回到了A,问:
它有多少种不同的跳法。
例2自然数的平方按大小排成:
4916253649
问:
第612个位置的数字是几?
分析把平方数分成一位数、二位数、三位数、四位数等,分别计算他们所占的位置数。
举一反三印刷某一本书的页码时,所用页码的个数是975个(如23也用2个数码,第100页用3个数码),那么这本书应有的页数是多少?
例3分子小于6而分母小于60的不可约真分数有多少个?
分析:
“不可约真分数”的意义是:
分子小于分母且分子与分母互质,由于分子的取值范围是从1到5,因此可以分别对分子是1、2、3、4、5的情形逐一考虑,然后利用加法原理求出总个数。
例4在一次比赛中,每个代表队要从小学、初一、初二年级各两名选手中选派3人。
规定小学生至少出1人,初二学生至多派一名。
问一个比赛队按年级的组成方式有多少种?
举一反三用0、1、2、3、4、5六个数字可以组成多少个没有重复数字且能被5整除的四位数。
例5在1、2、3、
、100这100个数中取出不同的两数,要使取出的两数相加的结果是3的倍数,有多少种不同的取法?
分析:
两数的和是3的倍数,则这两个数除以3的余数或者都是0,或者一个是1、另一个是2.
例6将
化成小数等于0.5,是有限小数;
化成小数等于0.0909
,是纯循环小数,简记为
;
化成小数等于0.1666
,是混循环小数,简记为
。
现在将2004个分数
化成小数,其中纯循环小数有多少个?
分析若
是纯循环小数,则p中没有2也没有5作为因子。
例7有6个同学要站成一排,其中甲乙两人必须相邻,共有多少种站法?
分析把甲、乙两人捆在一起,当作一个人站队,再考虑甲、乙互换站位,可以利用乘法原理。
例8小于10且分母为36的最简分数共有多少个?
分析设满足题设条件的数为x,则
,其中
。
R取小于36且与36互质的自然数1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,共12个。
例9两条直线相交可得一个交点,在同一平面上6条直线最多可得多少个交点?
分析两条直线最多一个交点,三条直线可以看成两条直线的基础上又增加一条直线,要使交点最多,必须使第三条与前两条直线都相交,且不能有三线共点的情况出现,可用递推法求解。
举一反三一条直线分一张平面为两部分,二条直线最多分一张平面为四部分,问:
五条直线最多分一张平面为多少部分?
课后作业
设计
1.把37分拆成若干个不同的质数之和,有多少种不同的拆法?
2.1995的数字和是1+9+9+5=24.问:
小于2000的四位数中数字和等于24的数共有多少个?
3.如图所示,有6个点9条线段,一只甲虫从A点出发,要沿着几条线段爬到F点。
行进中,同一点或同一线段只能经过一次,这只甲虫最多有多少种不同的走法?
4.从1到10000之间有多少个整数,它们的各位数字之和都等于5?
5.在所有的两位数中,十位数字比个位数字大的两位数有多少个?
6.有三个工厂共订300份报纸,每个工厂订了至少99份,至多101份。
问:
一共有多少种不同的订法?
7.给一本书编页码,一共用了723个数字,这本书一共有多少页?
8.五个瓶子都贴有标签,其中恰好贴错了三个,贴错的可能情况有多少种?
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