第三章13可线性化的回归分析.docx

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第三章13可线性化的回归分析

　可线性化的回归分析

[学习目标]

1．进一步体会回归分析的基本思想．

2．通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度．

[知识链接]

1．有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型

答　首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型．

2．如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程

答　可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程．

（

[预习导引]

1．非线性回归分析

对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型．

2．非线性回归方程

曲线方程

曲线图形

公式变换

变换后的线性函数

y＝axb

·

c＝lna

v＝lnx

u＝lny

u＝c＋bv

y＝aebx

c＝lna

u＝lny

u＝c＋bx

y＝ae

.

c＝lna

v＝

u＝lny

u＝c＋bv

y＝a＋blnx

v＝lnxu＝y

u＝a＋bv

#

要点一　线性回归分析

例1　某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x（万元）

4

2

3

5

销售额y（万元）

49

26

…

39

54

（1）由数据易知y与x具有线性相关关系，若b＝，求线性回归方程y＝a＋bx；

（2）据此模型预报广告费用为4万元时的销售额．

解　

（1）

＝

＝，

＝

＝42，

∴a＝

－b

＝42－×＝

∴回归直线方程为y＝＋.

（2）当x＝4时，y＝＋×4＝，

故广告费用为6万元时销售额为万元．

跟踪演练1　为了研究3月下旬的平均气温（x）与4月20日前棉花害虫化蛹高峰日（y）的关系，某地区观察了2006年2011年的情况，得到了下面的数据：

￥

年份

2006

2007

2008

2009

2010

2011

x/℃

）

y/日

19

6

1

10

1

-

8

（1）对变量x，y进行相关性检验；

（2）据气象预测，该地区在2012年3月下旬平均气温为27℃，试估计2012年4月化蛹高峰日为哪天．

解　制表.

i

1

2

3

4

5

{

6

xi

yi

19

…

6

1

10

1

8

≈，

y2＝563，

＝，

x

＝5，

xiyi＝1

（1）r＝

≈－8.

由|r|＞，可知变量y和x存在很强的线性相关关系．

（2）b＝

≈－，a＝

－b

≈.所以，线性回归方程为y＝－.当x＝27时，y＝－×27＝.据此，可估计该地区2012年4月12日或13日为化蛹高峰日．

"

要点二　可线性化的回归分析

例2　在一化学反应过程中，化学物质的反应速度y（g/min）与一种催化剂的量x（g）有关，现收集了8组观测数据列于表中：

催化剂的量x/g

15

18

21

24

27

30

33

\

36

化学物质的反应速度y（g·min－1）

6

8

30

27

70

205

65

350

解　根据收集的数据，作散点图（如图），根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲数y＝c1ec2x的周围，其中c1和c2是待定的参数．

令z＝lny，则z＝lny＝lnc1＋c2x，

即变换后的样本点应该分布在直线z＝a＋bx（a＝lnc1，b＝c2）的周围．

由y与x的数据表可得到变换后的z与x的数据表：

x

15

18

21

24

!

27

30

33

36

z

，

作出z与x的散点图（如图）．

由散点图可观察到，变换后的样本点分布在一条直线的附近，所以可用线性回归方程来拟合．

由z与x的数据表，可得线性回归方程：

z＝＋，

所以y与x之间的非线性回归方程为

y＝e－＋.

*

规律方法　可线性化的回归分析问题，画出已知数据的散点图，选择跟散点拟合得最好的函数模型进行变量代换，作出变换后样本点的散点图，用线性回归模型拟合．

跟踪演练2　电容器充电后，电压达到100V，然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U＝Aebt（b＜0）表示，现测得时间t（s）时的电压U（V）如下表：

t/s

0

1

2

3

4

5

6

（

7

8

9

10

U/V

100

75

55

40

30

$

20

15

10

10

5

5

试求：

电压U对时间t的回归方程．（提示：

对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题）

解　对U＝Aebt两边取对数得lnU＝lnA＋bt，令y＝lnU，a＝lnA，x＝t，则y＝a＋bx，得y与x的数据如下表：

x

0

.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

{

y

/

根据表中数据作出散点图，如下图所示，从图中可以看出，y与x具有较强的线性相关关系，由表中数据求得

＝5，

≈，进而可以求得b≈－，

a＝

－b

＝，所以y对x的线性回归方程为y＝－.

由y＝lnU，得U＝ey，U＝－＝·e－，因此电压U对时间t的回归方程为U＝·e－.

要点三　非线性回归模型的综合应用

例3　某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：

身高x/cm

60

【

70

80

90

100

110

体重y/kg

-

身高x/cm

120

130

140

150

160

170

体重y/kg

（

试建立y与x之间的回归方程．

解　根据题干表中数据画出散点图如图所示．

由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝lny.

*

x

60

70

80

90

100

110

120

130

140

￥

150

160

170

z

&

画出散点图如图所示．

由表中数据可得z与x之间的线性回归方程：

z＝＋，则有y＝＋.

规律方法　根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1和c2是待定参数；可以通过对x进行对数变换，转化为线性相关关系．

*

跟踪演练3　对两个变量x，y取得4组数据（1，1），（2，，（3，，（4，，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下：

甲　y＝＋1，

乙　y＝－＋＋，

丙　y＝－·＋，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际．

解　甲模型，当x＝1时，y＝；当x＝2时，y＝；

当x＝3时，y＝；当x＝4时，y＝.

乙模型，当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝；

当x＝3时，y＝；当x＝4时，y＝.

丙模型，当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝；

当x＝3时，y＝；当x＝4时，y＝.

观察4组数据并对照知，丙的数学模型更接近于客观实际.

1．在一次试验中，当变量x的取值分别为1，

，

，

时，变量y的值分别为2，3，4，5，则y与

的回归方程为（　　）

A．y＝

＋1B．y＝

＋3

C．y＝2x＋1D．y＝x－1

答案　A

解析　由数据可得，四个点都在曲线y＝

＋1上．

2．某种产品的广告费支出与销售额（单位：

百万元）之间有如下对应数据：

广告费

2

~

4

5

6

8

销售额

30

40

60

50

70

@

则广告费与销售额间的相关系数为（　　）

A．B．0.919C．D．

答案　B

3．根据统计资料，我国能源生产发展迅速．下面是我国能源生产总量（单位：

亿吨标准煤）的几个统计数据：

年份

1996

2001

2006

2011

产量

·

根据有关专家预测，到2020年我国能源生产总量将达到亿吨左右，则专家所选择的回归模型是下列四种模型中的哪一种（　　）

A．y＝ax＋b（a≠0）B．y＝ax2＋bx＋c（a≠0）

C．y＝ax（a>0且a≠1）D．y＝logax（a>0且a≠1）

答案　A

4．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有下表关系，现在知道其中一个数据弄错了，则最可能错的数据是__________.

x/万元

）

2

4

5

6

8

y/万元

30

40

60

50

?

70

答案　（6，50）

一、基础达标

1．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据．根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程是y＝＋，那么表中t的值是（　　）

x

3

4

5

6

，

y

t

4

A.4.5B．4C．3D．

答案　C

2．下列数据x，y符合哪一种函数模型（　　）

x

1

$

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y

。

2

3

4

】

＝2＋

xB．y＝2ex

C．y＝2e

D．y＝2＋lnx

答案　D

解析　取x＝1，2，…，10分别代入各解析式判断．

3．指数曲线y＝aebx的图像为（　　）

答案　B

解析　∵y＝aebx，∴a＞0时y＞0，排除A、C，且x∈R，排除D，选B.

4．为研究广告费用x与销售额y之间的关系，有人抽取了5家餐厅，得到的数据如下表：

广告费用x/千元

*

销售额y/千元

^

在同一坐标系中画散点图，直线L：

y＝24＋，曲线C：

y＝

，如图所示．更能表现这组数据之间的关系的是（　　）

A．直线L　　

B．曲线C

C．直线L和曲线C都一样　　

D．无法确定

答案　B

5．已知线性回归方程的斜率的估计值是，样本点的中心为，5），则线性回归方程是__________．

答案　y＝＋

]

解析　在回归方程中，已知b＝，则a＝

－b·

＝.

6．对于回归方程y＝257＋，当x＝28时，y的估计值是__________．

答案　390

解析　当x＝28时，y＝257＋×28＝390，∴y的估计值为390.

7．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（mg/L）与消光系数读数结果如下.

尿汞含量（xi）

2

4

6

8

\

10

消光系数（yi）

64

138

205

285

360

（1）画出对应数据的散点图；

（2）求线性回归方程；

（3）根据

（2）的结果，估计当xi为12mg/L时的消光系数yi.

【

解　

（1）

（2）y＝－＋.

（3）当xi＝12时代入y＝－＋，得yi＝432.

二、能力提升

8．观察下图中的4个散点图，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（　　）

A．①②B．①③C．②③D．③④

答案　B

解析　在研究两个变量之间的关系时，可以根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．这种方法既直观又方便，因而对解决相关性检验问题比较常用．

\

9．下表是某厂1～4月份用水量（单位：

百吨）的一组数据，

月份x

1

2

3

4

用水量y

4

3

'

由某散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y＝－＋a，则a＝__________．

答案　

解析　

＝，

＝，b＝－，

∴a＝＋×＝.

10．已知某个样本点中的变量x，y线性相关，相关系数r＜0，则在以（

，

）为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第__________象限．

答案　二、四

解析　∵r＜0时b＜0，

∴大多数点落在第二、四象限．

11．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：

（

x

1

2

4

y

16

12

5

$

2

1

试建立y与x之间的回归方程．

解　根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，设y＝

，令t＝

，则

y＝kt，原数据变为

t

4

2

1

{

y

16

12

5

2

1

由散点图也可以看出y与t呈近似的线性相关关系．列表如下：

序号

》

ti

yi

tiyi

t

y

1

4

16

64

16

#

256

2

2

12

24

4

144

3

1

5

。

5

1

25

4

2

1

4

5

、

1

5

1

∑

36

5

[

430

∴

＝，

＝.

b＝

≈4.

a＝

－b

≈.∴y＝＋.

∴y与x的回归方程是y＝＋

.

12．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表.

气温/℃

26

18

13

~

10

4

－1

杯数

20

24

34

38

50

64

（

画出散点图并判断热茶销售量与气温之间是否具有线性相关关系．

解　画出散点图如图所示．

＝

（26＋18＋13＋10＋4－1）≈，

＝

（20＋24＋34＋38＋50＋64）≈，

xiyi＝26×20＋18×24＋13×34＋10×38＋4×50－1×64＝1910，

x

＝262＋182＋132＋102＋42＋（－1）2＝1286，

y

＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10172，

由r＝

可得r≈.

}

由于r的值较大，所以x与y具有很强的线性相关关系．

三、探究与创新

13．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：

身高x/cm

60

70

80

90

100

110

?

体重y/kg

身高x/cm

120

130

140

150

160

170

体重y/kg

（1）试建立y与x之间的回归方程；

（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的倍为偏胖，低于倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为82kg的在校男生体重是否正常

解　

（1）根据表中的数据画出散点图（如图所示）．

由图可看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝lny，得下表：

X

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

Z

作出散点图如图所示．

由表中数据可得z与x之间的线性回归方程为

z＝＋，则有y＝＋.

（2）当x＝175时，预测平均体重为

y＝＋×175≈，

由于×≈＜82，

所以这个男生偏胖．