一元一次方程知识点总结.docx

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一元一次方程知识点总结

一元一次方程

方程的有关概念

夯实基础

1．等式

用等号（“=”）来表示相等关系的式子叫做等式。

温馨提示

①等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等，所以等式可以表示不同的意义。

②不能将等式与代数式混淆，等式含有等号，是表示两个式子的“相等关系”，而代数式不含等号，它只能作为等式的一边。

如

才是等式。

2．等式的性质

性质1：

等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

即如果

，那么

。

性质2：

等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

即如果

，那么

；如果

，那么

。

温馨提示

①等式类似天平，当天平两端放有相同质量的物体时，天平处于平衡状态。

若在天平的两端各加（或减）相同质量的物体，则天平仍处于平衡状态。

所以运用等式性质1时，当等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式时，才能保证所得的结果仍是等式，应特别注意“都”和“同一个”。

如

，左边加2，右边也加2，则有

。

②运用等式的性质2时，等式两边不能同除以0，因为0不能作除数或分母。

③等式性质的延伸：

a.对称性：

等式左、右两边互换，所得结果仍是等式，即如果

，那么

。

b.传递性：

如果

，那么

（也叫等量代换）。

例1：

用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式哪一条性质，以及怎样变形得到的。

（1）如果

，那么

；

（2）如果

，那么

；

（3）如果

，那么

。

3．方程

含有未知数的等式叫做方程。

温馨提示

方程有两层含义：

①方程必须是一个等式，即是用等号连接而成的式子。

②方程中必有一个待确定的数，即未知的字母，这个字母就是未知数。

如

。

4．方程与等式的区别与联系

概念及其特点

区别

联系

方程

含有未知数的等式叫做方程。

一个式子是方程，要满足两个条件：

一是等式，

二含有未知数。

方程一定是等式，并且是含有未知数的等式。

方程是特殊的等式。

等式

用等号来表示相等关系的式子叫做等式。

等式的主体是相等关系。

等式不一定是方程，因为等式不一定含有未知数。

方程和等式的关系式从属关系，且有不可逆性。

5．方程的解与解方程

内容

实质

方程的解

使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解

具体的数值

解方程

求方程的解的过程叫做解方程

变形的过程

温馨提示

①检验一个数是否是方程的解，只要用这个数代替方程中的未知数，如果方程两边的值相等，那么这个数就是方程的解；如果不相等，这个数就不是方程的解。

②方程可能无解，可能只有一个解，也可能有多个解。

③等式的基本性质是解方程的依据。

④方程的解释结果，而解方程是得到这个结果的一个过程。

例3：

下列方程中解为

的是（）

A.

B.

C.

D.

例4：

利用等式的性质解下列方程：

（1）

（2）

掌握方法

1．等量关系的确定方法

列方程解应用题是初中数学的一个重点也是一个难点，要突破这一难关，学会寻找等量关系是关键，那么怎样寻找应用题中的等量关系呢？

（1）从关键词中找等量关系；

（2）对于同一个量，从不同角度用不同的方法表示，得到等量关系；

（3）运用基本公式找等量关系；

（4）运用不变量找等量关系。

例1：

某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20％，设把

公顷旱地改为林地，则可列方程为（）。

A.

B.

C.

D.

2．利用方程的解求待定字母的方法

利用方程的解求方程中的待定字母时，只要将方程的解代入方程，得到关于待定字母的方程，即可解决问题。

例2：

已知

是关于

的方程

的解，则

的值应为（）。

A.

B.

C.

D.

一元一次方程

解一元一次方程

夯实基础

1．一元一次方程

1.定义：

只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。

2.

标准形式：

方程

（其中

是未知数，

、

是已知数，并且

）叫做一元一次方程的标准形式。

温馨提示

①一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母不含未知数。

②一元一次方程只含有一个未知数，未知数的次数都为1。

如

，

，

都不是一元一次方程。

例1：

下列方程中，哪些是一元一次方程？

哪些不是？

（1）

；

（2）

；（3）

；

（4）

；（5）

。

2．移项

1.定义：

把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

2.示例：

解方程

时，可在方程的两边先加

，再减

，得

，即变形为

。

与原方程比较，这个变形过程如下：

温馨提示

①移项的原理就是等式的性质1。

②移项所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是方程的一边交换两个项的位置。

③移项时一定要改变所移动的项的符号，不移动的项不能变号。

如解方程

，

若移项，得

就出错了，原因是被移动的项“

”的符号没有改变，而改变了没有被移动的项“

”的符号。

④在移动时，最好先写左右两边不移动的项，再写移来的项。

例2：

下列各题中的变形为移项的是（）。

A.由

，得

B.由

，得

C.由

，得

D.由

，得

3．去括号与去分母

解一元一次方程的最终目标是要得到“

”这一结果。

为了达到这一目标，方程中有括号就要根据去括号法则去掉括号，即为去括号；方程中有分母的，根据等式性质2去掉分母，即为去分母。

温馨提示

（1）解含有括号的一元一次方程时，去括号时一般遵循去括号的基本法则。

但在实际去括号时，应根据方程的结构特点利用一些方法技巧，恰当地去括号，以简化运算。

对于一些特殊结构的方程，可采用以下去括号的技巧：

①先去外再去内。

即在解题时，打破常规，不是由内到外去括号，而是由外到内去括号。

②整体合并去括号。

有些方程，把含有的某些多项式看作整体，先合并，再去括号，往往会简单。

如，解方程

时，可把

看作整体先合并，再去括号。

（2）去分母时，在方程两边要同时乘以所有分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项。

当分母时小数时，需要把分母化整。

同时注意分母化整只与这一项有关，而与其他项无关，要与去分母区分开。

例3：

下列方程去括号正确的是（）。

A.由

得

B.由

得

C.由

得

D.由

得

例4：

方程

，去分母正确的是（）。

A.

B.

C.

D.

4．解一元一次方程的一般步骤

步骤

具体做法

变形依据

去分母

在方程的两边同乘各分母的最小公倍数

等式性质2

去括号

先去小括号，再去中括号，最后去大括号

去括号法则、分配律

移项

把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边（记住移项要变号）

等式性质1

合并同类项

把方程化为

的形式

合并同类项法则

系数化为1

在方程的两边都除以未知数的系数

，得到方程的解

等式性质2

温馨提示

1.解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，根据方程的特点灵活运用。

2.在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下：

去分母

（1）分子是多项式的，去分母后要加括号；

（2）不要漏乘不含分母的项

去括号

（1）括号前的数要乘括号内的每一项；

（2）括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号

移项

（1）移项时不要漏项；

（2）将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置

时不变号

合并同类项

按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当

系数化为1

（1）未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数；

（2）未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数

例5：

解一元一次方程

。

掌握方法

1．一元一次方程概念的应用

原方程为一元一次方程，即未知数的次数为1，系数不为0，由此来确定原方程中待定字母的值。

例1：

（1）若

是关于

的一元一次方程，则

=；

（2）若方程

是关于

的一元一次方程，则

。

2．利用合并同类项与移项解方程的方法

（1）合并同类项时，不能用连等号与原方程相连。

（2）几个常数项也是同类项，移项时应该把它们放到一起。

（3）移项时把某项改变符号后移到等式的另一边，而不是等式一边的两项交换位置。

（4）移项必变号，不变号不能移项。

例2：

解方程：

（1）

；

（2）

。

3．利用去分母解方程的方法

利用等式的性质2，在方程的两边同时乘各分母的最小公倍数，将分母去掉，把系数为分数的方程转化为系数为整数的方程。

（1）分数线具有括号的作用，分子如果是一个多项式，去掉分母后，要把分母后，要把分子放在括号里。

（2）去分母时，不能漏乘不含分母的项。

例3：

解方程

。

4．含小数的一元一次方程的解法

将小数化成整数，是根据分数的基本性质把含小数的项的分子、分母乘同一个适当的数，而不是方程所有的项都乘这个数。

小数化成整数，是对分母含小数的项的恒等变形。

例4：

解方程：

。

5．有关同解方程的解题方法

如果两个方程的解相同，那么我们把这两个方程称为同解方程。

已知两个一元一次方程是同解方程，求其中待定字母的取值，主要有两种常见题型，其解法有所不同。

（1）在两个同解方程中，如果只有一个方程中含有待定字母，一般先解不含待定字母的方程，再把未知数的值代入含有待定字母的方程中，求出待定字母的值。

（2）如果在两个同解方程中都含有相同的待定字母，一般是分别解两个方程，用这个待定字母分别表示两个方程的解，并建立等式，形成关于这个待定字母的方程，求出该待定字母的值。

例5：

已知方程

的解与关于

的方程

的解相同，求

的值。

一元一次方程

列一元一次方程解应用题

夯实基础

1．列一元一次方程解应用题的一般步骤

（1）审：

弄清题意和题目中的数量关系。

（2）设：

用字母表示题目中的一个未知量。

（3）找：

找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。

（4）列：

根据这个相等关系列出方程。

（5）解：

解所列的方程，求出未知数的值。

（6）验：

检验方程的解是否符合问题的实际意义。

（7）答：

写出答案。

二．设未知数的几种方法

设未知数的方法有三种：

（1）直接设未知数：

题目求什么就设什么为未知数。

（2）间接设未知数：

对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。

（3）设辅助未知数：

如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。

温馨提示

①采用直接设未知数的方法，原则是使分析条件更方便，列方程更简单，这样比较容易得到方程，同时还要兼顾所得到的方程求解时难易。

直接设未知数，好处是容易选取未知数，而且在解方程时可以直接得到问题的解。

②如果题目里涉及的几个量存在某种数量关系或某种比例关系，多采用间接设未知数的方法，间接设未知数是在直接设未知数、分析条件或列方程感到困难的时候才采取的方法。

其优点是列出方程和解方程的过程都比较容易。

③如果应用题涉及的量较多，各量之间的关系又不明显，若能设立适当的辅助未知数，把不明显的关系表示出来，就可以顺利地列出方程或方程组。

例1：

通讯员原计划5h从甲地到乙地，因为任务紧急，他每小时比原计划快3km，结果提前1h到达，求甲、乙两