中考数学专题训练专题一几何题型 中点M型无答案.docx
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中考数学专题训练专题一几何题型中点M型无答案
专题一中点 M 型
基本条件:
①∠PMQ=∠B=∠C;②M 是 BC 的中点
A
4. 如图,以矩形 OABC 的邻边 OA、OC 分别为 x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系,F 为线段
OA 上的一点,将△COF 沿直线 CF 翻折,点 O 落在 AB 的中点 E 处,且 OC=6.
D Q
(1) 求直线 EF 的解析式;
基本结论:
①
∽EBM∽△MCF.
P
F
(2) 将直线 EF 绕点 F 逆时针旋转 90°,得到直线 m,直线 m 交 y 轴于点 D,求点 D 的坐标。
②EM 平分∠BEF,FM 平分∠EFC.E
③EM 2 =EB·EF,FM 2 =FC·EF.
y
C B
常见特例:
B
M C
特例一:
条件:
①等边△ABC;②∠MPN=60°,③P 是 BC 的中点。
E
D
特例二:
条件:
①等腰直角△ABC,AC=BC,∠C=90°;②∠EDF=45°;③点 D 是 AB 的中点。
特例三:
条件:
①AB=AC;②∠BAC=120°,∠EDF=30°,③D 是 BC 的中点。
O
F A
x
特例四:
条件:
①矩形 ABCD;②∠GEF=90°,③E 是 AB 的中点。
特例五:
条件:
①直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠A=90°;②E 是 AD 的中点;③∠BEC=90°。
A
D C
MA
D C
DN
D A E
F G
F
E
B
B
特例一 特例二 特例三
C
A
B
特例五
巩固练习:
1.已知:
梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,E 为 AB 的中点,若 AD=2,
BC=4,∠CED=90°,则 CD 长为。
2.如图,在正方形 ABCD 中,点 E、F 在边 BC、CD 上,若AE=2,EF=1,
AF=5 ,则正方形的边长为。
3.已知:
等边 △ABC 中,AB=8,点 D 为 AB 的中点,点 M 为 BC 上一动点
,以 DM 为一边,在点 B 异侧作等边△DMN。
DN 交 AC 于点 F,当
∠DAN=90°时,则 FN 的长为。
A D
E
B C
巩固1
A D
F
B E C
巩固2
A
N
D F
B M C
巩固3
1.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=α ,点 D 为 BC 边的中点,BE⊥AC 于 E,DF⊥AB 于 F.
(1) 当 0 0 <α <90 0 ,(如图 1),求证:
AE+2BF=AB;
(2) 当 90 0 <α <180 0 ,(如图 2),则 AE、BF、AB 之间的数量关系;
2. 已知:
直角梯形 ABCD,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=BC,E 为射线 BC 上一点,连接 AE,过
点 E 作 AE 的垂线,分别交直线 AB、直线 CD 于点 G 和 F.
(1) 当点 E 在 BC 上时(如图 1),求证:
BE=BG+CF.
(2) 当点 E 在 BC 的延长线上时(如图 2),猜想 BE、BG 和 CF 的数量关系,并证明你的猜想;
(3) 在
(1)的条件下,过点 D 作 DG∥AB,交 AC 于 G,且 DF=GE=3 时(如图 3),求 BF 的值。
A
A
E
(3) 在
(2)的条件下,设 AE 交 CD 于点 H,若 CH= 2
9
4
BE,AB=2,且 CD< ,求 EG 的长。
3
A
F
A
G
D
E
F
F
E
B
D C
F
B E C
BDC
B D C
G
图1
A
D
H
BCE
F
G
图2
“A”字型专题
1.已知,在正方形 ABCD 中,点 E 是边 AB 上一点,点 G 在边 AD 上,连接 EG,EG=DG,
作 EF⊥EG,交边 BC 于点 F(图 1)。
(1) 求证:
AE+CF=EF;
(2) 连接正方形 ABCD 的对角线 AC,连接 DF,线段 AC 与线段 DF 相交于点 K(图 2),
探究线段 AE、AD、AK 之间的数量关系,直接写出你的结论。
(3) 在
(2)的条件下,连接线段 DE 与线段 AC 相交于点 P, 图 3)若 AK=8 2 ,△BEF
2. 如图,在△ABC 中,AB=2AC,点 D 在 BC 上,且∠CAD=∠B,点 E 在 AB 的中点,
连接 CE,CE 与 AD 交于点 G,点 F 在 BC 上,且∠CEF=∠BAC.
(1) 若∠BAC=90°,如图 1,求证:
EG+EF= 2 AC;
(2) 若∠BAC=120°,如图 2,此时线段 EG、EF、AC 三者之间的数量关系为 ;
(3) 在
(2)的条件下,在∠BAD 的内部作∠DAM=60°,∠DAM 的一边 AM 交 BC 于点 M,
AM 与 CE 交于点 N,若 AC=2,求线段 MN 的长。
C
的周长为 24,求 PK 的长。
A G D
G
D
F
E
A
E B
图1
BFC
图1
C
D
AGD
G
E
K
BFC
图2
AGD
EP
K
BFC
图3
F
A E B
图2
3.已知,在△ABC 中, BC=AC,∠MCN=
⊥CB 交 CN 于点 F.
1
∠ACB,CM 交 AB 于点 E,过点 B 作 BF
1. 已知,A、C 分别为∠BOE 两边上的两点,D 为∠BOE 内一点,DC∥OB,DA∥OE,连接 OD、AC
相交于点 F,G 为 FD 上一点,过点 G 的直线交 OE 于 Q,交 CD 于点 P,交 AD 于点 N,交 OB 于点 M.
(1) 当 ∠ACB=90°(如图 1 所示)时,求证:
BE-AE=2 BF;
(2) 当∠ACB=120°(如图 2 所示)时,线段 BE、AE 与 BF 之间的数量关系为;
(3) 在
(2)的条件下,FB、CE 的延长线相交于点 G,连接 AG、FE,直线 AG、FE 交于点
H,若 AC=6,BF=BE,求 AH 的长。
AM
E
F
1
(1) 若 FG= FD 时(如图 1),求证:
PQ+MN=PN;
3
1
(2) 若 FG= FD 时(如图
),且 OAC 为等边三角形,OC=4,CQ=3,现将∠DAC 绕点 A 顺时针
2
旋转,旋转后 AD 所在边交 OC 于 S,AC 所在边交 CD 于点 T,当旋转到 AT∥MQ 时,连接 ST,
求:
ST 长。
E
Q
N
C
P D
CB
G
图1
F
A
O
A M B
M
图1
E
CB
E
Q
F
图2N
C
P D
G
A
F
M
E
CB
F
备用图N
O
A M B
图2
2.如图,已知 R
ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,sin∠BAC=
4
5 ),P 为 AB 边上
一点,过点 P 作 PM⊥BC,PN⊥AD 垂足为 M、N。
(1) 当点 M 与点 D 重合时,求证:
PM=5 P N.
(2) 当点 N 与点重合时,连接 AM 交 PD 于点 E,将射线 PD 绕点 P 顺时针旋转 45°,交 AM 于点 F;
“M”字型专题
1. 已知,四边形 ABCD 中,AD=AB,AD∥BC,∠A=90°,M 为 AD 的中点,F 为 BC 边上一点,连接
MF,过 M 点作 ME⊥MF,交边 AB 于点 E。
(1) 如图 1,当∠ADC=90°时,求证:
4AE+2CF=CD.
若 AC=3,求 EF 的长。
B
(2) 如图 2,当∠ADC=135°时,线段 AE、CF、CD 的数量关系为 .
(3) 如图 3,在
(1)的条件下,连接 EF、EC、EC 与 FM 相交于点 K,线段 FM 关于 FE 对称的线段与
P
D (M)
3 ,FC=AE,求 MK 的长。
AMD
N
E
A
C
B
P
M
B F C
图1
D (N)
AC
A M
E
D
P
B
M
B F C
图2
A M D
E
E
F
D (N)
N
K
B F C
AC
图3
2.如图,已知 R
ABC 中,∠C=90°,过点 B 作∠BAC 平分线 AD 的垂线,垂足为 D,AD 交 BC 于点 E.2.如图
,在ABC 中,AC=BC ,∠ACB=90°,点 D 为 AB 边中点,以点 D 为顶点,作∠PDQ=
(1)当
BC 3 1
= 时,求证:
DE= AE;
AC 5 8
90°,DP、DQ 分别交直线 AC、BC 于 E、F,分别过点 E、F 作 AB 的垂线,垂足分别为 M、N.
BC4
(2)当=时,判断 DE、AE 的关系;
AC5
(1) 求证:
EM+FN=
2
2
AC.
(3)在
(2)的条件下,取 CD 中点 F,连结 EF 并延长交 AC 延长线于点 G,交 CD 于 F,现有一个 45°
角顶点与 F 重合,将它旋转一边交 CG 于点 M,另一边交 BC 于点 N,若 CM=MG,AC=3,求 CN 的长。
B
(2) 把∠PDQ 绕点 D 旋转,当点 E 在线段 AC 的延长线上时(如图 2)
A
E D
C
B
E
D
F
N
A
C M G
特别资料
已知:
AB
、 BCE 均为等边三角形,且 A、B、C 共线,
一、基本图形:
“A”字型
AB +
1
BC =
1
MN
E
1.计算,已知:
△ABC 中,DA 交 BF 于点 E,AE=ED,BD:
CD=1:
2,AC=4,求 AF 的值。
A
D
F
M N
E
A
B C
B
D C
2.已知,△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠BAC=120°,若 AC=6,BC=37 ,求 AD 的长。
B
A
D C
已知, ABC 中,AD、CE 分别平分∠BAC,∠ACB ,∠B=60°,
求证:
(1)AE+CD=AC
(2)若 AD=5,PC=6,求 AE 的长。
A
E
2 ,求 DE 的长度。
A
B
P
D C
B
E F
D C
二、基本图形:
“X”字型
1.已知:
ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥DE,且 DB=BC,若 AE:
EC=1:
3,AB=5,求 AD 的长。
B
4.已知,D 在 BC 的延长线上,DF 交 AC 于点 E,E 为 AC 的中点,BF=3AF.
求证:
BC=2CD.A
F
E
B
CD
A
D
E C
2.已知:
△ABC 中,AD⊥BC,BE⊥AC 交 AD 于点 F,若∠BAC=45°,CD=1,BD= 3
2
求 AD 的长。
A
5. 已知:
△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,AB⊥BD,∠DAE=60°,求证:
BD+2EC= 3 AC.
A
B
E
F
D C
B
D
E C
2 AB.
F
3.已知,矩形 ABCD 沿 BE 折叠后 C 与 G 重合,若 DE=1,CE=2,BC=6,求 AF 的长。
G
G
AD
F
E
A
D
BC
4.已知:
R
ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BF 平分∠ABC,且 FC=2AF,求证:
BE=EF.
A
F
E
B E C
7. 已知:
矩形 ABCD 中,B(8,5),点 P(m,0)且 0<m<8,点 O 关于直线 PC 的对称点为 O ' ,
直线 CO ' 交直线 AB 于 Q,求 m 为何值时,△PCQ 是以 PQ 为底边的等腰三角形。
y
C B
B
D C
O A
x
三、基本图形“直射影、斜射影”
1.已知:
△ABC 中,∠BAD=∠C, 若 AB=4,BD=2,求 AD 长。
5.已知:
R
ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC,延长 AC 至 E 使∠CED=∠CBE,求证:
AC=CE .
A
A
B
D
C
BDC
E
6. 已知:
R
ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E 为 AD 中点,且 EF⊥EC,求证:
BF=3DF .
A
已知:
ABC 中,AD⊥AC, 若 AB=AC=6,BD=1,求 BC 的长。
A
E
B
F D C
BDC
3.已知:
AB⊥CD,∠CED=90°,DF⊥AC 交 BE 于点 G,若 BG=3,AE=6,求 EG 的长。
A
7.已知:
梯形 OABC 中,BC∥OA,B(3,6),A(8,0)点 P(m,n)在 AB 边上(3<m<8),过 P
作 OA 平行线 OA,交 AC 于 D,过 P 作 OA 的垂线交 OA 于点 E,
y
求,当 m 为何值时,△ODE 为直角三角形?
C B
F
C
4.已知:
AD 平分∠BAC,E 在 BC 的延长线上,EF 垂直平分 AD 且 CE=2CD,
求证:
DE=2BD.A
F
E
G
B D
O A x
y
C B
O A x
B
D C E
已知:
ABC 中,BC=2AB,P 为 BC 中点,∠ABC=∠APF=120°,且∠ABD=∠C,
3. 已知:
Rt △ABC 中,∠BAC=90°,D 为 BC 中点,∠EDF=∠B=45°,若 BF=2,AE=3,求 EF 的
(1)求证:
PF=AE
(2)若 AD=7 ,求 DE 的长。
长。
E
A
A
D
E
F
BPC
F
B D C
已知:
ABC 为等边三角形,D 为 BC 中点,∠EDF=60°,若 AE=3,EF=7,求 FC 的长。
A
E
F
B
D C
四、基本图形“M”型①直 M 型②斜 M 型
5. 已知:
△ABC 中,∠BAC=120°,∠EDF=∠B=30°,且 AB=2AE,求证:
DF=CF。
E
1.已知:
Rt △ABC 中,∠C=90°,D 为 BC 中点,∠ADE=∠B,若 AC=2,BC=4,求 BE 的长。
A
A
F
E
B
D C
CDB
2.已知:
梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=∠AEF=90°,若 AB=3,BE=1,AD=6,EC=8,求 DF 的长。
6. 已知:
Rt △ABC 中,∠A=90°,∠EDF=∠B=45°,若 AE:
BD=1:
2 ,求证:
EC=2AE。
A
E
F
AD
B
D C
F
7.已知:
梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=AD=CD,PA:
PD=1:
2,且 ∠A=∠EPF=120°
BEC
求证:
PF=3PE.
A P D
E
B C F
上,PO⊥PQ,求当 m 为何值时, BQ3 5
2 ,8),点 P 在 BC 边上,点 Q(m,n)在 AB 边
五、基本图形:
(1)“双高型”①含 45°必全等②有 6+2 对相似,
(2)斜“A”型,(3)斜“X” 型,
(2)“双斜”型,
已知:
ABC 中,BD⊥AC,CE⊥AB,AD:
BD=1:
2,BC= 5 ,求 DE 的长。
CP
B
Q
E
A
OA
D
B C
2.已知:
矩形 ABCD 中,BC=3AB,CE:
BE=1:
2,求∠1+∠2 的度数。
A D
9. Rt △ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AD,且 AC=2CD,
(1)求证:
BD=2BE.
(2)连接 EC 交 AD 于 F,BD·CD=60,求 DF 的长。
A
E
2 1
B E C
3.已知:
Rt △ABC 中,∠C=90°, AB=AC,D 为 BC 的中点,∠EDF=45°,若 BE=4,DE=2 3 ,
求 EF 的长。
A
F
E
B
D C
B
D C
已知:
等边ABC 边长为 8
间的函数关系式。
B
3 AC,求证:
∠1=∠2。
DEF =y,求 y 与 x 之
E
A
F
D C
A
D
7.已知:
梯形 ABCD 中,AD∥BC,BD=CD,∠AEB=∠C=60°,求证:
AD+DE=BD.
A D
O
E
B C
已知:
ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,DE⊥AC,F 为 DE 中点,求证:
AF⊥BE.
A
E
E
1
D C
2
9.已知:
Rt △ABC 中,∠BAC=90°, AD⊥BC,∠EDF=90°,且 AD:
BD=1:
2,
(1)求证:
DE=2DF.
(2)若 CD·PE=DF·AF,AC=5,求 PF 的长。
已知:
ABC 中,AD⊥BC,BF⊥AC,且∠ABC=60°,求证:
AB+3 CE=2CB.
A
A
E
P
F
F
E
B
D C
B
D C
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