高中数学第一章导数及其应用章末优化总结优化练习.docx
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高中数学第一章导数及其应用章末优化总结优化练习
2019年高中数学第一章导数及其应用章末优化总结优化练习
章末检测
(一)
时间:
120分钟 满分:
150分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.曲线y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A.2e B.e
C.2D.1
解析:
由y=xex-1得y′=ex-1+xex-1,所以曲线在点(1,1)处切线的斜率k=y′|x=1=e1-1+1×e1-1=2.故选C.
答案:
C
2.二次函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数y=f′(x)的图象是如图所示的一条直线,y=f(x)的图象的顶点在( )
A.第Ⅰ象限B.第Ⅱ象限
C.第Ⅲ象限D.第Ⅳ象限
解析:
设f(x)=ax2+bx+c,∵二次函数y=f(x)的图象过原点,∴c=0,∴f′(x)=2ax+b,由y=f′(x)的图象可知,2a<0,b>0,∴a<0,b>0,∴->0,=->0,故选A.
答案:
A
3.设函数f(x)=ax+3,若f′
(1)=3,则a等于( )
A.2B.-2
C.3D.-3
解析:
∵f′(x)=li
=li=a,
∴f′
(1)=a=3.
答案:
C
4.若f(x)=x2-2x-4lnx,则f(x)的单调递增区间为( )
A.(-1,0)B.(-1,0)∪(2,+∞)
C.(2,+∞)D.(0,+∞)
解析:
f′(x)=2x-2-==,由f′(x)>0得x>2.
答案:
C
5.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为( )
A.-37B.-29
C.-5D.-11
解析:
由f′(x)=6x2-12x=6x(x-2)=0,解得x=0或x=2,又f(0)=m,f
(2)=m-8,
f(-2)=m-40,所以f(x)max=m=3,f(x)min=m-40=3-40=-37.
答案:
A
6.已知f(x)=2cos2x+1,x∈(0,π),则f(x)的单调递增区间是( )
A.B.
C.D.
解析:
∵f(x)=2cos2x+1=2+cos2x,x∈(0,π),
∴f′(x)=-2sin2x.
令f′(x)>0,则sin2x<0.
又x∈(0,π),∴0<2x<2π.
∴π<2x<2π,即 答案: C 7.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( ) A.函数f(x)有极大值f (2)和极小值f (1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f (1) C.函数f(x)有极大值f (2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f (2) 解析: 由图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-2 f′(x)>0.由此可以得到函数在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值,选D. 答案: D 8.由y=-x2与直线y=2x-3围成的图形的面积是( ) A.B. C.D.9 解析: 解得交点A(-3,-9),B(1,-1). 如图,由y=-x2与直线y=2x-3围成的图形的面积 S=-3(-x2)dx--3(2x-3)dx =-x3-(x2-3x)=. 答案: B 9.下列函数中,x=0是其极值点的函数是( ) A.f(x)=-x3B.f(x)=-cosx C.f(x)=sinx-xD.f(x)= 解析: 对于A,f′(x)=-3x2≤0恒成立,在R上单调递减,没有极值点;对于B,f′(x)=sinx,当x∈(-π,0)时,f′(x)<0,当x∈(0,π)时,f′(x)>0,故f(x)=-cosx在x=0的左侧区间(-π,0)内单调递减,在其右侧区间(0,π)内单调递增,所以x=0是f(x)的一个极小值点;对于C,f′(x)=cosx-1≤0恒成立,在R上单调递减,没有极值点;对于D,f(x)=在x=0没有定义,所以x=0不可能成为极值点,综上可知,答案选B. 答案: B 10.已知函数f(x)=asinx-bcosx在x=时取得极值,则函数y=f(-x)是( ) A.偶函数且图象关于点(π,0)对称 B.偶函数且图象关于点(,0)对称 C.奇函数且图象关于点(,0)对称 D.奇函数且图象关于点(π,0)对称 解析: ∵f(x)的图象关于x=对称,∴f(0)= f(),∴-b=a, ∴f(x)=asinx-bcosx=asinx+acosx=asin(x+), ∴f(-x)=asin(-x+)=asin(π-x)=asinx. 显然f(-x)是奇函数且关于点(π,0)对称,故选D. 答案: D 11.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f (1)=2,且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<1(x∈R),则不等式f(x)<x+1的解集为( ) A.(1,+∞) B.(-∞,-1) C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析: 不等式f(x)<x+1可化为f(x)-x<1, 设g(x)=f(x)-x, 由题意g′(x)=f′(x)-1<0,g (1)=f (1)-1=1,故原不等式⇔g(x)<g (1),故x>1. 答案: A 12.函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图象大致为( ) 解析: 在[-π,π]上, ∵f(-x)=[1-cos(-x)]sin(-x)=(1-cosx) (-sinx)=-(1-cosx)sinx=-f(x), ∴f(x)是奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称,排除B. 取x=,则f()=(1-cos)sin=1>0,排除A. ∵f(x)=(1-cosx)sinx,∴f′(x)=sinx·sinx+(1-cosx)cosx =1-cos2x+cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+1. 令f′(x)=0,则cosx=1或cosx=-. 结合x∈[-π,π],求得f(x)在(0,π]上的极大值点为π,靠近π,选C. 答案: C 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中的横线上) 13.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f′ (1)=________. 解析: 令ex=t,则x=lnt,所以f(x)=lnx+x,即 f′(x)=1+,则f′ (1)=1+1=2. 答案: 2 14.曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为________. 解析: 因为y=e-5x+2,所以y′=-5e-5x,所求切线的斜率为k=y′|x=0=-5e0=-5,故所求切线的方程为y-3=-5(x-0),即y=-5x+3或5x+y-3=0. 答案: y=-5x+3或5x+y-3=0 15.若函数f(x)=在区间(m,2m+1)上单调递增,则实数m的取值范围是________. 解析: f′(x)=,令f′(x)>0,得-1 又f(x)在(m,2m+1)上单调递增,所以解得-1 答案: (-1,0] 16.周长为20cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为_______. 解析: 设矩形的长为x,则宽为10-x(0 V=πx2(10-x)=10πx2-πx3,∴V′(x)=20πx-3πx2. 由V′(x)=0得x=0(舍去),x=,且当x∈(0,)时,V′(x)>0,当x∈(,10)时,V′(x)<0, ∴当x=时,V(x)取得最大值为πcm3. 答案: πcm3 三、解答题(本大题共有6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)求曲线y=x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积. 解析: 因为f′(3)=li=27,所以在点(3,27)处的切线方程为y-27=27(x-3),即y=27x-54. 此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0),(0,-54). 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为×2×54=54. 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4. (1)求a,b的值; (2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值. 解析: (1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4. 由已知得f(0)=4,f′(0)=4.故b=4,a+b=8. 从而a=4,b=4. (2)由 (1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)(ex-). 令f′(x)=0,得x=-ln2或x=-2. 从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(-2,-ln2)时,f′(x)<0. 故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减. 当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2). 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x3+ax2+bx在区间(-2,1)内x=-1时取极小值,x=时取极大值. (1)求函数y=f(x)在x=-2时的对应点的切线方程; (2)求函数y=f(x)在[-2,1]上的最大值与最小值. 解析: (1)f′(x)=-3x2+2ax+b. 又x=-1,x=分别对应函数取得极小值、极大值, 所以-1,为方程-3x2+2ax+b=0的两个根. 所以a=-1+,-=(-1)×. 于是a=-,b=2,则f(x)=-x3-x2+2x. 当x=-2时,f(-2)=2,即(-2,2)在曲线上. 又切线斜率为k=f′(-2)=-8,所求切线方程为y-2=-8(x+2), 即为8x+y+14=0. (2)当x变化时,f′(x)及f(x)的变化情况如下表: x -2 (-2,-1) -1 (-1,) (,1) 1 f′(x) - 0 + 0 - f(x) 2 - 则f(x)在[-2,1]上的最大值为2,最小值为-. 20.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)=3x2-3x,直线l1: x=2和l2: y=3tx(其中t为常数,且0 (1)求函数S(t)的解析式; (2)定义函数h(x)=S(x),x∈R.若过点A(1,m)(m≠4)可作曲线y=h(x)(x∈R)的三条切线,求实数m的取值范围. 解析: (1)由得x2-(t+1)x=0, 所以x1=0,x2=t+1. 所以直线l2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0,t+1. 因为0 所以S(t)=[3tx-(3x2-3x)]dx+[(3x2-3x)-3tx]dx =+ =(t+1)3-6t+2. (2)依据定义,h(x)=(x+1)3-6x+2,x∈R,则 h′(x)=3(x+1)2-6. 因为m≠4,则点A(1,m)不在曲线y=h(x)上. 过点A作曲线y=h(x)的切线,设切点为M(x0,y0), 则切线方程为
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- 高中数学 第一章 导数 及其 应用 优化 总结 练习