【解题必备】要判定事件是何种事件,首先要看清条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的,第二步再看它是一定发生,还是不一定发生,还是一定不发生,一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.
1.下列事件中,为随机事件的是
A.长度为3,4,5的三条线段可以构成一个三角形
B.长度为2,3,4的三条线段可以构成一个直角三角形
C.方程x2+2x+3=0有两个不相等的实根
D.函数y=logax(a>0且a≠1)在定义域上为增函数
2.下列事件中,不可能事件为
A.三角形内角和为180°
B.三角形中大边对大角,大角对大边
C.锐角三角形中两个内角和小于90°
D.三角形中任意两边的和大于第三边
3.从1,2,3,…,10这10个数中,任取3个数,那么“这3个数的和大于6”这一事件是
A.必然事件 B.不可能事件
C.随机事件D.以上选项均不正确
1.D【解析】A为必然事件,B、C为不可能事件.
2.C【解析】若两内角的和小于90°,则第三个内角必大于90°,故不是锐角三角形,所以C为不可能事件,而A、B、D均为必然事件.
3.C【解析】从所给的10个数中,任取3个数,其和最小为6.故事件“这3个数的和大于6”为随机事件.
随机试验结果的判断
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指出下列试验的条件和结果:
(1)某人射击一次,命中的环数;
(2)从装有大小相同但颜色不同的a,b,c,d四个球的袋子中,任取1个球;
(3)从装有大小相同但颜色不同的a,b,c,d四个球的袋子中,任取2个球.
【参考答案】详见试题解析
【试题解析】
(1)条件为射击一次;结果为命中的环数:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,共11种可能结果.
(2)条件为从袋中任取1个球;结果为a,b,c,d,共4种可能结果.
(3)条件为从袋中任取2个球;若记(a,b)表示一次试验中取出的球是a和b,则试验的全部结果为(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6种可能结果.
【解题必备】准确理解随机试验的条件、结果等有关定义,并能使用它们判断一些事件,指出试验结果,这是求概率的基础.在写试验结果时,一般采用列举法写出,必须首先明确事件发生的条件.根据日常生活经验,按一定次序列举,才能保证所列结果没有重复,也没有遗漏.
1.先后抛掷1元、5角的硬币各一枚,观察落地后硬币向上的面的情况,则下列事件包含三个基本事件的是
A.“至少一枚硬币正面向上”
B.“只有一枚硬币正面向上”
C.“两枚硬币都是正面向上”
D.“两枚硬币一枚正面向上,另一枚反面向上”
2.写出下列试验的结果:
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球;
(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差.
1.A【解析】“至少一枚硬币正面向上”包括“1元正面向上,5角正面向下”“1元正面向下,5角正面向上”“1元、5角都正面向上”三个基本事件.
2.【解析】
(1)结果:
红球,白球;红球,黑球;白球,黑球.
(2)分别作差:
1-3=-2,3-1=2;
1-6=-5,6-1=5;
1-10=-9,10-1=9;
3-6=-3,6-3=3;
3-10=-7,10-3=7;
6-10=-4,10-6=4.
即试验的结果为-2,2,-5,5,-9,9,-3,3,-7,7,-4,4.
概率含义的正确理解
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有以下一些说法:
①昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的;
②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖;
③做10次抛硬币的试验,结果3次正面朝上,因此正面朝上的概率为;
④某厂产品的次品率为2%,则该厂的50件产品中可能有2件次品.
其中说法错误的序号是________.
【参考答案】①②③
【试题解析】①中降水概率为95%,仍有不降水的可能,故①错;
②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时,有1%的机会中奖,但不一定买100张彩票一定有1张会中奖,故错误;
③中正面朝上的频率为,概率仍为,故③错误;
④中次品率为2%,但50件产品中可能没有次品,也可能有1件或2件或3件……次品,故④的说法正确.
【解题必备】利用概率的意义解题的三个关键点
1.概率是随机事件A发生可能性大小的度量,是随机事件A的本质属性,随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值.
2.由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映.
3.正确理解概率的意义,要清楚概率与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和整体上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.
1.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查,其中有1台是次品,若用C表示抽到次品这一事件,则对C的说法正确的是
A.概率为B.频率为
C.概率接近D.每抽10台电视机,必有1台次品
2.天气预报中预报某地降水概率为10%,则下列解释正确的是
A.有10%的区域降水
B.10%太小,不可能降水
C.降水的可能性为10%
D.是否降水不确定,10%没有意义
1.B【解析】事件C发生的频率为,由于只做了一次试验,故不能得出概率接近的结论.
2.C【解析】A、B、D三个选项错误地理解了概率的意义,只有C项正确.
游戏公平性的判断
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袋子中分别装有大小相同的球,从袋中取球的三种游戏规则如下表所示.
游戏1
游戏2
游戏3
3个黑球和1个白球
1个黑球和1个白球
2个黑球和2个白球
取1个球,再取1个球
取1个球
取1个球,再取1个球
取出的两个球同色→甲胜
取出的球是黑球→甲胜
取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜
取出的球是白球→乙胜
取出的两个球不同色→乙胜
若从袋中无放回地取球,则其中不公平的游戏是
A.游戏1 B.游戏1和游戏3
C.游戏2D.游戏3
【参考答案】D
【试题解析】游戏1中,取两球的所有可能情况是(黑1,黑2)(黑1,黑3)(黑2,黑3)(黑1,白)(黑2,白)(黑3,白),∴甲胜的概率为,游戏是公平的.
游戏2中,显然甲胜的概率为,游戏是公平的.
游戏3中,取两球的所有可能情况是(黑1,黑2)(黑1,白1)(黑2,白1)(黑1,白2)(黑2,白2)(白1,白2),∴甲胜的概率为,游戏是不公平的.
【解题必备】判断游戏是否公平的思路
无论是什么游戏,游戏的公平性都是看参与游戏的每个个体获胜的概率是否相同,相同则公平,不相同则不公平.
1.甲、乙两人做游戏,下列游戏中不公平的是
A.抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则甲获胜,向上的点数为偶数则乙获胜
B.同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则甲获胜,两枚都正面向上则乙获胜
C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则甲获胜,扑克牌是黑色的则乙获胜
D.甲、乙两人各写一个数字1或2,如果两人写的数字相同则甲获胜,否则乙获胜
2.玲玲和倩倩下象棋,为了确定谁先走第一步,玲玲对倩倩说:
“拿一个飞镖射向如图所示的靶中,若射中区域所标的数字大于3,则我先走第一步,否则你先走第一步”.你认为这个游戏规则公平吗?
3.某校高二年级
(1)
(2)班准备联合举行晚会,组织者欲使晚会气氛热烈、有趣,策划整场晚会以转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负者表演一个节目.
(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案:
两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相加,和为偶数时
(1)班代表获胜,否则
(2)班代表获胜.
该方案对双方是否公平?
为什么?
1.B【解析】B中,同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上的概率为,两枚都正面向上的概率为,所以对乙不公平.
2.【解析】如题图所示,所标的数字大于3的区域有5个,而小于或等于3的区域则只有3个,所以玲玲先走的概率是,倩倩先走的概率是.所以不公平.
3.【解析】该方案是公平的,理由如下:
两次转动转盘所得的数字相加的和的各种情况如下表所示.
转盘数字
4
5
6
7
1
5
6
7
8
2
6
7
8
9
3
7
8
9
10
由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种,其中两数字之和为偶数的有6种,为奇数的也有6种,所以
(1)班代表获胜的概率P1==,
(2)班代表获胜的概率P2==,即P1=P2,机会是均等的,所以该方案对双方是公平的.
概率的应用
高考频度:
★★☆☆☆难易程度:
★★☆☆☆
商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双,商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况,以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本,分为5组,已知第3组的频率为0.25,第1,2,4组的频数分别为6,7,9,若第5组表示的是尺码为40~42的皮鞋,则售出的这300双皮鞋中尺码为40~42的皮鞋约为 双.
【参考答案】60
【试题解析】∵第1,2,4组的频数分别为6,7,9,∴第1,2,4组的频率分别为=0.15,=0.175,=0.225.∵第3组的频率为0.25,∴第5组的频率是,∴售出的这300双皮鞋中尺码为40~42的皮鞋约为0.2×300=60(双).
【解题必备】此类题主要考查概率与频率的关系及由样本数据估计总体的能力.解题的关键是假定每个个体被抽取的可能性是相等的,可用样本的频率近似估计总体的概率,或由此列出方程,求出较难得到的数据.
1.如果袋中装有数量差别很大的白球和红球(只是颜色不同),从中无放回地任取1个球,取了100次,得到80个白球,估计袋中数量较多的是 .
2.为了估计水库中鱼的尾数,可以使用以下的方法:
先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2000尾,给每尾鱼做上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中的其他鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.试根据上述数据,估计水库中鱼的尾数.
3.随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17