典型极坐标参数方程练习题带答案.docx
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典型极坐标参数方程练习题带答案
极坐标参数方程练习题
1.在直角坐标系xOy中,直线C1:
x=-2,圆C2:
(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=
(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
解:
(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,
C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.
(2)将θ=
代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-3
ρ+4=0,解得ρ1=2
,ρ2=
.故ρ1-ρ2=
,即|MN|=
.
由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为
.
4.(2014·辽宁,23,10分,中)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)写出C的参数方程;
(2)设直线l:
2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
解:
(1)设(x1,y1)为圆上的点,经变换为C上点(x,y),依题意,得
由x
+y
=1得x2+
=1.
即曲线C的方程为x2+
=1.
故C的参数方程为
(t为参数).
(2)由
解得
或
不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为
,所求直线斜率为k=
,于是所求直线方程为y-1=
.化为极坐标方程,并整理得
2ρcosθ-4ρsinθ=-3,
即ρ=
.
(2)(2015·吉林长春二模,23,10分)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos
=1,M,N分别为曲线C与x轴,y轴的交点.
①写出曲线C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;
②设M,N的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
【解析】
(1)将2ρcos2θ=sinθ两边同乘以ρ,得2(ρcosθ)2=ρsinθ,化为直角坐标方程为2x2=y,①
C2:
ρcosθ=1化为直角坐标方程为x=1,②
联立①②可解得
所以曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2).
(2)①∵ρcos
=1,
∴ρcosθ·cos
+ρsinθ·sin
=1.
又
∴
x+
y=1,
即曲线C的直角坐标方程为x+
y-2=0.
令y=0,则x=2;令x=0,则y=
.
∴M(2,0),N
.
∴M的极坐标为(2,0),N的极坐标为
.
②M,N连线的中点P的直角坐标为
,
P的极角为θ=
.
∴直线OP的极坐标方程为θ=
(ρ∈R).
注:
极坐标下点的坐标表示不唯一.
【点拨】 解答题
(1)的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法;题
(2)先转化为直角坐标问题求解,再转化为极坐标.
(2013·课标Ⅰ,23,10分)已知曲线C1的参数方程为
(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
【解析】
(1)将
消去参数t,化为普通方程为(x-4)2+(y-5)2=25,
即C1:
x2+y2-8x-10y+16=0.
将
代入x2+y2-8x-10y+16=0,得
ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.
所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.
(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.
联立C1,C2的方程
解得
或
所以C1与C2交点的极坐标分别为
,
.
【点拨】 本题主要考查圆的参数方程、极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关系,解题的关键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解.
(2012·辽宁,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C1:
x2+y2=4,圆C2:
(x-2)2+y2=4.
(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.
解:
(1)由
知圆C1的极坐标方程为ρ=2,圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ.
解
得ρ=2,θ=±
,
故圆C1与圆C2的交点坐标为
,
.
注:
极坐标系下点的表示不唯一.
(2)方法一:
由
得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1,
),(1,-
).
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为
(-
≤t≤
).
方法二:
将x=1代入
得ρcosθ=1,从而ρ=
.
于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为
.
5.(2015·河北邯郸二模,23,10分)已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的参数方程为
(t为参数),点A的极坐标为
,设直线l与圆C交于点P,Q.
(1)写出圆C的直角坐标方程;
(2)求|AP|·|AQ|的值.
解:
(1)因为圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,
所以ρ2=2ρcosθ,
将其转化成直角坐标方程为x2+y2=2x,
即(x-1)2+y2=1.
(2)由点A的极坐标
得直角坐标为A
.
将直线l的参数方程
(t为参数)代入圆C的直角坐标方程(x-1)2+y2=1,得t2-
t-
=0.
设t1,t2为方程t2-
t-
=0的两个根,则t1t2=-
,
所以|AP|·|AQ|=|t1t2|=
.
2.(2015·课标Ⅱ,23,10分,中)在直角坐标系xOy中,曲线C1:
(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:
ρ=2sinθ,C3:
ρ=2
cosθ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
解:
(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,
曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2
x=0.
联立
解得
或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和
.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.
因此A的极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(2
cosα,α).
所以|AB|=|2sinα-2
cosα|
=4
.
当α=
时,|AB|取得最大值,最大值为4.
3.(2015·陕西,23,10分,易)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为
(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2
sinθ.
(1)写出⊙C的直角坐标方程;
(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.
解:
(1)由ρ=2
sinθ,得
ρ2=2
ρsinθ,
从而有x2+y2=2
y,
所以x2+(y-
)2=3.
(2)设P
,又C(0,
),
则|PC|=
=
,
故当t=0时,|PC|取得最小值,
此时,P点的直角坐标为(3,0).
5.(2014·课标Ⅱ,23,10分,中)在直线坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈
.
(1)求C的参数方程;
(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:
y=
x+2垂直,根据
(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
解:
(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).
可得C的参数方程为
(t为参数,0≤t≤π).
(2)设D(1+cost,sint).由
(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,tant=
,t=
.
故D的直角坐标为
,即
.
7.(2013·课标Ⅱ,23,10分,中)已知动点P,Q都在曲线C:
(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程;
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
解:
(1)依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),
因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α).
M的轨迹的参数方程为
(α为参数,0<α<2π).
(2)M点到坐标原点的距离
d=
=
(0<α<2π).
当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.
(2014·课标Ⅰ,23,10分)已知曲线C:
+
=1.直线l:
(t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
【思路导引】
(1)由基本关系式可消参求出普通方程;
(2)把|PA|用参数θ来表示,从而求其最值.
【解析】
(1)曲线C的参数方程为
(θ为参数).
直线l的普通方程为2x+y-6=0.
(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为
d=
|4cosθ+3sinθ-6|.
则|PA|=
=
|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=
.
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为
.
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为
.
(2013·辽宁,23,10分)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos
=2
.
(1)求C1与C2交点的极坐标;
(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点,已知直线PQ的参数方程为
(t∈R为参数),求a,b的值.
【解析】
(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,
直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
解
得
所以C1与C2交点的极坐标为
,
.
注:
极坐标系下点的表示不唯一.
(2)由
(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.
由参数方程可得y=
(x-a)+1=
x-
+1,
所以
解得a=-1,b=2.
【点拨】 解答本题的关键是明确转化思想的运用,即把极坐标化为直角坐标,把参数方程化为普通方程求解问题.
2011·课标全国,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
(α为参数),M是C1上的动点,P点满足
=2
,P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程;
(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=
与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
解:
(1)设P(x,y),
则由条件知M
.
由于M点在C1上,所以
即
从而C2的参数方程为
(α为参数).
(2)C1化为普通方程为x2+(y-2)2=4,故曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ,同理可得曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.
射线θ=
与C1的交点A的极径为
ρ1=4sin
=2
,
射线θ=
与C2的交点B的极径为
ρ2=8sin
=4
.
所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2
.
5.(2014·辽宁锦州一模,23,10分)已知圆的极坐标方程为ρ2-4
ρcos(θ-
)+6=0.
(1)将极坐标方程化为普通
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- 典型 坐标 参数 方程 练习题 答案