第一单元 计算.docx

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第一单元计算

目录

第一单元计算

第一讲四则混合运算基础………………………………………2

第二讲计算方法与技巧

（一）…………………………………8

第三讲计算方法与技巧

（二）…………………………………16

第四讲计算方法与技巧（三）…………………………………24

第二单元几何

第五讲平面几何的认识……………………………………32

第六讲图形面积

（一）………………………………………44

第七讲图形面积

（二）………………………………………54

第八讲图形面积（三）………………………………………60

第三单元分数百分数问题

第九讲分数、百分数应用题………………………………68

第十讲比和比例……………………………………………78

第十一讲浓度问题……………………………………………88

第十二讲利润问题……………………………………………96

第十三讲工程问题……………………………………………104

附：

阅读材料立体图形…………………………………………112

第一讲四则混合运算基础

一、知识要点：

1、运算法则：

先乘除后加减，有括号的先算，从小括号开始。

2、运算律：

加法交换律：

结合律：

乘法交换律：

结合律：

分配律：

3、分数乘法：

分子之积作分子，分母之积作分母（实际计算中常先交叉约分再乘）。

分数除法：

除以一个数等于乘它的倒数。

4、重点：

按顺序计算。

难点：

按顺序简洁、规范运算步骤；

落实分、小数的混合计算处理（两种情形、两项基本功）；

细心观察，灵活局部简算；

5、基本功准备：

=0.5

=0.25

=0.125

=0.875

=0.04

=0.05

=0.75

=0.375

=0.625

=0.02

二、小数的四则混合运算：

【例题1】

（8.4×2.5+9.7）÷（1.05÷1.5+8.4÷0.28）

解：

原式=（2.1×0.4×2.5+9.7）÷（0.7+30）

=（21+9.7）÷30.7

=1

此题在第一个小括号内运用了乘法结合律进行局部简算，这是在解题过程中随时应该注意的，简言之，能简则简。

随堂练习：

计算：

（0.5+0.25+0.125）÷（0.5×0.25×0.125）

三、分数的四则混合运算：

1、分数乘法法则；（分子之积作分子，分母之积作分母；计算中常先交叉约

分再相乘。

）

2、分数除法法则。

（除以一个数，等于乘这个数的倒数。

）

【例题2】

计算：

解：

原式

随堂练习：

计算：

【例题3】

计算：

分析：

分数、小数乘除混合运算，约分优先。

有时可直接约分；有时则化为分数后再约分。

另外适当运用心算辅助。

解：

原式=（

【心算：

】

随堂练习：

计算：

计算：

【例题4】

计算：

分析：

分数、小数加减混合运算，小数优先。

如果有分数不能化为有限小数时才考虑用分数算。

另外适当运用心算辅助。

细心观察可发现：

和0.7先乘正好约分得1，接下来小括号内相减的两数和

分别乘时可以约分而简便运算。

解：

原式

随堂练习：

计算：

小结：

结合整数的四则混合运算法则，对小数、分数进行综合运算。

1、能根据运算顺序正确进行计算。

2、能根据运算律选择简便的方法。

3、能自觉检查计算过程和结果。

第二讲计算方法与技巧

（一）

一、技能要点：

1、速算与巧算主要是应用各种定律、运算性质和简便方法，利用数与数之间的特殊关系，合理灵活地进行组合与分解、凑整进行简捷、快速的运算。

2、强调：

初步确立大目标

仔细观察算式特点，联想相应条件

设法构造条件。

方法是对条件有充分的认识之后产生的。

重点：

对解题意识的培养。

二、巧用乘法的分配律：

1、乘法分配律：

【例题1】计算：

分析：

如果按照四则运算的规则，先算小括号的加法，但这三个异分母的分数相加，通分比较麻烦。

而分别乘时则能够约分，所以考虑利用乘法的分配律来计算。

解：

原式

【心算：

先算

，再

】

随堂练习：

计算：

2、乘法分配律的推广

（一）：

【例题2】计算：

9999×2222+3333×3334

解：

原式=9×1111×2×1111+3×1111×（3×1111+1）

=（18+9）×1111×1111+3×1111

=（27×1111+3）×1111

=30000×1111=33330000

【例题3】

解：

原式＝

＝

＝

＝

随堂练习：

（1）

（2）

（3）587.5×3.4+58.75÷

-587.5

3、乘法分配律的推广

（二）：

【例题4】计算：

解：

原式

随堂练习：

计算：

三、凑整法

计算时通常根据需要，结合实际情况将某些数凑成整十、整百、整千的数来达到简算的目的。

【例题5】计算：

79998+7998+798+78

解：

原式=（79998+2）+（7998+2）+（798+2）+（78+2）-2×4

=88880-8

=88872

随堂练习：

计算

（1）49998-4998-498-48

（2）19999+1999+199+19

【例题6】计算：

101×89+99×111

解：

原式=（100+1）×89+（100-1）×111

=100×89+1×89+100×111-1×111

=100×（89+111）+89-111

=20000-22

=19978

随堂练习：

计算：

79064×99999

四、分组法

重新进行合理分组配对，利用四则运算的有关定律和性质，改变运算顺序，进行简便运算的方法。

【例题7】计算：

1993-1992+1991-1990+1989-1988+1987-1986+……-2+1

解：

原式=（1993-1992）+（1991-1990）+……+（3-2）+1

=1992÷2×1+1=997

随堂练习：

计算：

100+99-98-97+96+95-94-93+……8+7-6-5+4+3-2-1

【例题8】计算：

2+4+6+8+……+500

解：

原式=（2+500）+（4+498）+……+（250+252）

=502×250÷2

=62750

随堂练习：

计算：

0.01+0.03+0.05+0.07+……+0.99+1.1+1.3+1.5+1.7+……9.9

计算：

……+

+1

小结：

在各类数学考试中，都有一定数量的计算题。

计算题一般可以分为两类：

一类是基础题，主要考察对基础知识理解和掌握的程度（像前面介绍的第一讲）；另一类则是综合性较强和灵活性较大的计算，主要考查灵活、综合运用知识的能力（像本讲及后面即将介绍的两讲），这就要求有扎实的基础知识和熟练的技巧。

第三讲计算方法与技巧

（二）

一、知识要点：

本讲主要介绍速算与巧算的三种方法：

1、整体观察法，从算式本身入手，整体着眼，结合算式结构，数字特点，采用比较巧妙的方式解答。

2、约分化简，将分数的分子、分母中隐藏的公因数、公因式找出来约去达到简化的目的。

3、代数法，根据算式的结构特点和数字特点，用字母代替算式中的数或式子进行代数运算。

二、整体观察法：

【例题1】计算：

分析：

根据本题中分数的特点，可以直接写成分数形式，考虑约分。

解：

原式=

=

随堂练习：

计算：

【例题2】

（1）计算：

；

（2）计算：

分析：

（1）从整体上看就一分数的除法，除以一个数等于乘以这个数的倒数，只

是带分数的倒数，先要化为假分数，并且为便于计算，倒过来时应该把分子用两个数相乘的形式表示，即

的倒数是

解：

原式

想一想：

你还有好方法吗？

（2）从整体上看就一分数，因此只需将这个分数化简即可，直接计算比较麻烦，仔细观察分子、分母中各数的特点，可以考虑将分子变形。

解：

原式

随堂练习：

（1）计算：

；

（2）计算：

三、约分化简：

分数连乘——约分抵消

约分本意指在分数中约去分子、分母中的公因数，在公式计算中如果能够将分式中分子部分与分母部分都构造为若干部分相乘的形式而且有公因式，则同样可以借用“约分”将公因式约去。

【例题3】

解：

原式=

=

=

随堂练习：

（1）

（2）

【例题4】

解：

原式=

=

=

随堂练习：

（1）

（2）

构造为相乘形式最常用的方法——逆用分配律，提出相同因数。

【例题5】计算：

解：

原式=

=

随堂练习：

计算：

（1

×1

×

）÷（

×1

×

）

计算：

【例题6】计算：

分析：

此题的难点在于对减数的处理，如果按部就班的先去括号，计算得复杂性是可想而知的，仔细观察，可以发现每个分数都是可以约分的。

解：

原式

随堂练习：

计算：

四、代数法

用字母代替算式中的数或式子

【例题7】

分析：

此题如果按照常规计算，先算小括号，然后乘积相减，显然比较麻烦。

考虑到小括号中有很多加数反复出现，相同的部分很多，最后还有减号相连，首想抵消；而抵消的前提是打开括号。

所以考虑用代数法将相同的式子看作一个整体用字母表示，再用分配律打开括号。

解：

令

=

，

=

原式=（1+

）×

－（1+

）×

=

=

=

随堂练习：

计算：

（1+

+

）×（

+

+

）-（1+

+

+

）×（

+

）

小结：

速算与巧算的方法有很多，而这些方法都是源自题目本身，包括算式的结构特点，数字特点，所以在计算解答时，必须对算式本身有很好的认识，找到它的特点也就找到了解决它的方法。

第四讲计算方法与技巧（三）

一、知识要点：

本讲继前面两讲仍然对计算方法与技巧进行探讨，主要介绍利用公式进行化简解答。

二、公式法：

1、你会算吗：

1＋2＋3＋…＋200=？

在等差数列中，求和公式（高斯法）：

求项公式：

（由植树原理推演而来）

【例题1】

计算：

分析：

认真观察可以发现，

；

；

，……，

，由此可以看出，公差=

，项数

，那么前37项的和，可以根据等差数列的求和公式计算。

解：

观察发现，各个加数能组成公差为

的等差数列，项数

，

原式

随堂练习：

计算：

计算：

2、你会算吗：

？

？

？

拆项公式：

，

，

其形式上是将一个分母是两数之积、分子是两数之差的分数拆为两个单位分数之差，目的是为了在连加运算中构造抵消。

或者其形式上是将一个分母是两数之积、分子是这两数之和的分数拆为两个单位分数之和，目的是为了在加减交替运算中构造抵消。

【例题2】

计算：

解：

原式=

-

+

-

＋……+

-

=

-

=

随堂练习：

计算：

计算：

【例题3】

计算：

分析：

从整体来看，是若干个分数求和，显然通分的方法不可取。

进一步仔细观察即可发现：

连加算式中的每一个加数的分母为相差3的两数叠加相乘、只是分子不为3.如果构造条件再用拆项公式分拆，进行加减抵消化简，此题便可巧解。

解：

原式

随堂练习：

计算：

3、你会算吗：

98

-97

=？

29×31=？

平方差公式：

【例题4】

计算：

分析：

利用平方差公式对每一组数处理，

；

；……

解：

原式

随堂练习：

计算：

4、错位相减法

【例题5】

计算：

分析：

此题在前面我们已经通过找规律算出了它的结果，现介绍另外一种方法，错位相减法。

解：

设

；

则

，

观察这两个式子可以发现，等式的右边有很多加数是相同的，如果把这两个式子相减，便可以抵消掉中间相同的数，而我们要求的

即可利用方程的思想求解出来，

两式相减得：

随堂练习：

计算：

小结：

速算与巧算，主要还是应用各种定律和运算性质，利用数与数之间的特殊关系，合理灵活地进行组合与分解、凑整，进行简洁、快速地运算。

对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应掌握一些特殊的运算技巧，这包括前面三讲所介绍的各种方法与技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。

思考与提高：

【例题6】

计算：

分析：

看到如此大的数进行运算是不是很烦，可以理解。

我们知道，此题的解答肯定是有技巧的，根据刚才的经验，我们先来简化一下。

解：

设

，则

原式

此处利用了平方差公式：