导数解答题及其答案doc.docx
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导数解答题及其答案doc
第十一节导数在研究函数中的应用
一、学情自测:
BDAAD
二、典例探究
利用导数研究函数的单调性
(2012-课标全国卷)设函数J[x)=ex-ax-2.
⑴求人v)的单调区间;
(2)若。
=1,k为整数,旦当r>o时,a—kyxr+x+i〉。
,求#的最大值.
【思路点拨】
(1)分。
W0和。
〉0两种情况解不等式/(x)〉0与/(X)<0.
(2)分离参数A,转化为恒成立问题求解.
【尝试解答】(iyu)的定义域为(-8,+8),加=
若qWO,则/(x)X),所以/U)在(-8,+8)上单调递增.
若。
>0,则当%E(-oo,in。
)时,/(x)<0;
当x^(ln67,+8)时,
所以,/U)在(-8,in”)上单调递减,在(ln〃,+8)上单调递增.
(2)由于。
=1,所以。
一k)f(x)+x+1=(x-k)(e'-1)+工+1.
故当工>0时,(x-^(x)+x+1>0等价于
X+1c
k
CI
W(ex-x-2)
X1
八x—xe—1
令亦)=厂7小,贝"=(—1)2+1=—(e'l)2•
由
(1)知,函数/?
(x)=ex-x-2在(0,+8)上单调递增.而//(l)vO,/z
(2)>0,所以/?
⑴在(0,+8)上存在唯一的零点,故丫⑴在(0,+8)上存在唯一的零点,设此零点为以,则。
右(1,2).
当*6(0,以)时,g,(x)vO;当(以,+8)时,,(工)>0.
所以g⑴在(。
,+8)上的最小值为gS).
又由g'(a)=O,可得e"=cc+2,所以g(a)=i+l£(2,3).
由于①式等价于k 已知函数f(x)=x+~+Inx(aeR). (1)求函数/(])的单调区间; (2)若函数_/U)在(1,+8)上单调递增,求〃的取值范围. 【解】 (1)函数f(x)=x+~+Inx的定义域为(0,+8),X 2 a1x+x-a /(x)=1—p+一=2. 」xxx %1当1=l+4oW0,即。 W—彳时,得J+x—qNo,则/(x)N0..,-函数./U)在(0,+8)上单调递增, %1当,=1+物〉0,即。 >-,时,令/(x)=0,x+x-a=0, -1-/1+4。 -1+/1+4。 醒付2<0,松=2. Vxe(O,+8),.・/(工)〉0,.・.函数/(x)在(0,+8)上单调递增. —]+v1+4。 (订)若。 >0,则xe(o,*)时,/(X)<0; 一1+、/1+4〃一1+、/1+4. 函数冷)在区间(0,3)上单调递减,在区间(*,+8)上单调递增. 综上所述,当〃W()时,函数/U)的单调递增区间为((),+8); —1+、11+4〃—1+*\/1+4〃 当4〉0时,函数7U)的单调递减区间为(O,3单调递增区间为(1,+ )• (2)由题意知,0在(1,+8)上恒成立,即J+x-qNO在(1,+8)上恒成立, 令g(x)=X2+X-a=(x+-a, 则g(x)>2—。 ,从而2-。 NO,「.“W2. 当。 =2时,/。 )>0在(1,+8)上恒成立, 因此实数。 的取值范围是(-8,2], 利用导数研究函数的极值 皿(2013•合肥模拟)^^)=TT^,其中"为正实数•1ICtA 4 ⑴当。 =衣时,求的极值点; (2)若犬x)为R上的单调函数,求。 的取值范围. 4 【思路点拨】 (1)当时,求/⑴=0的根,然后利用极值与导数的关系判定; (2)转化为判定,(')不变号满足的不等式,求"的范围. 1+—9/>Y 【尝试解答】由必)=苛;,得S•(算罕① JLC<^vxJL“人) x/t428、 4 (1)当。 =寻时, 3(1+|? )2 C(+? ~~3a)ex(4x2-8x+3) /«=4 (1成)2 令f(x)=0,即er(4x2-8x+3)=0,恒大于0,.・.4j-8x+3=0. .••x=3或 结合①式,可知 X (-8,f) 2 2 13 3 2 3 G,+8) + 0 — 0 + fW 极大值 极小值 3] 所以,X]=5是极小值点,*2=5是极大值点• (2)若/(X)为R上的单调函数,则/(#在RJ1不变号. 结合①式,及。 >0,得qU-2ax+1&。 在R上恒成立. 所以二次方程1+履-2ax=0无解或有两个相同实数解,/=4c『-4gW0,即0WoWl.又・.・。 〉0. 故实数“的取值范围是(0,1]. 阻*真■争」(2013•绍兴模拟)已知函数/(工)=-疽+姒2+敏,族R). (1)要使/3)在(0,2)上单调递增,试求。 的取值范围; (2)当〃V0时,若函数满足y极大=1,y极小=—3,试求),=/(x)的解析式. 【解】 (1)/(%)=一3J+2ax. 依题/⑴N0在(0,2)上恒成立. 即2ax^3x2.'-'x>0,2qN3x,24/36..'・。 以3. 即。 的取值范围是[3,+8). (2)'//(X)=-3x2+2ax=x(-3x+2a), 2 •.w〈o,当xe(-oo,了n时,/.wo, .•J(x)递减. jt6(§〃,0)时,/(x)>0,冷)递增. xC[0,+8)时,r(x)W0,递减. q=_3,b=1. 为以(0)=1, .•.<2n &小(铲)=-3.u ••/W=-工3-3x2+1. 擅邕(2012-北京高考)已知函数J[x)=ax2+l(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=fM^j曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求。 ,力的值; (2)当a2=4b时,求函数/U)+g(x)的单调区间,并求其在区间(一8,—1]上的最大值. 【审题视点】 (1)求出两条切线方程比较系数求解. (2)讨论极值点与区间(-8,—1]的关系,从而确定最大值. [尝试解答】(1W)=2",g'(x)=3x2+/? 因为曲线)=冷)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以/U)=g⑴,且/ (1)="1)・ EPq+1=1+/? 且山=3+/? . 解得。 =3,b=3. (2)记/? (%)=必)+g(x).当b=时, h(x)=『+ax2+^a2x+h hf(x)=3x2+2ax+^2. 令h'(X)=0,得JT]=-《,x2=~7. a>0时,/? (x)与/? '(x)的变化情况如下: X (一8,--) a ! ■! 2 aa(F-8) a~6 3+8) h + 0 0 + g 所以函数/? (x)的单调递增区间为(-8,-《)和(-§,4-OO); 单调递减区间为(与-勺. 当一-1,即0v〃W2时, 函数/心)在区间(-8,一1]上单调递增,/心)在区间(-00,-1]上的最大值为力(-1)=。 - 当一§<一1,且一§2-1,即2 函数/? (X)在区间(-8,-号)上单调递增,在区间(-*-1]上单调递减,力(工)在区间(-8,-1]上的最大值为人(-号)=i. 当--1,即a>6时, 函数/? 。 )在区间(-8,-*上单调递增,在区间(-? ,-%上单调递减,在区间(-%-1]上单调递增, 又因为/z(-§)一/z(-1)=1-a+-2)2>0, 所以/? (x)在区间(-8,-1]上的最大值为/? (-*=1. 。 娈式训练(2013•济南模拟)巳知函数/⑴=(D我 ⑴求龄)的单调区间; (2)若对于任意的xe(o,+8),都有求R的取值范围. X 【解】 (1)由fix)=(x-k)2ek,得 1if(x)=Z(J-户)火令f(x)=0,得x=±k,若k〉o,当尤变化时,yw与疗⑴的变化情况如下: X (-8,-k) -k (-k,k) k (k,+8) fM + 0 — 0 + fM ^e1 0 所以.冷0的单调递增区间是(-8,-k)和(k,+8),单调递减区间是(-奴k).若上<0,当x变化时,,/u)与/(工)的变化情况如下: X (-8,&) k (奴-k) -k (-奴+8) fM — 0 + 0 — fM 0 43 所以/(x)的单调递减区间是(-8,k)和(-k,+8),单调递增区间是(奴一k). (2)当k〉0时,因为那+l)=ck〉{,e 所以不会有VxC(0,+8),e 4妒当*<0时,由⑴知.心)在(0,+8)上的最大值是犬-幻=——. c 1AL11 所以VxC(0,+8),等价于X- CCC 解得-普Wk<0. 故当V"(0,+8),必)4时,k的取值范围是[-! ,0).ez 三、自主体验 1、B 2.(2012-安徽高考)设函数f(x)=a^+-^+b(a>0). C€V (1)求冷)在[0,+8)内的最小值; 3 (2)设曲线),=四)在点(2,人2))处的切线方程为),=产求s力的值. 【解】 (1)/(工)=血'-土? , C€V 当/(x)>0,即x>-lntz时,/(》)在(Tno,+8)上递增; 当/(x)vO'即xv-hi。 时’/(x)在(一8,-ina)上递减. %1当0<6/<1时,-ln〃>0,犬同在(0,-Ina)上递减,在(-In”,+8)上递增,从而/⑴在[0,+8)上的最小位为f(-In白)=2+b; %1当oNl时,-InoWO,/(*)在[0,+8)上递增,从而/(*)在[0,+8)上的最小值为人0)="+£+b. 131 (2)依题意/ (2)=ae2-狎=冒,解得ae2=2或ae2=-3(舍去)' 2|| 所以〃帽,代入原函数可得2+尸力=3,即力=亍四、课后作业十四 10.(2013•潍坊模拟)巳知函数fM=x3-ax2-x+a,其中。 为实数. ⑴求加; (2)若/(—1)=0,求/W在[一2,3〕上的最大值和最小值; (3)若必)在(一8,—2]和[3,+8)上都是递增的,求。 的取值范围. 【解】 (1)/(x)=3x2-2ax-1. (2)f(-1)=3+2(7-1=0,=-1,=x3+x2-x~Lf(x)=3x2+2r-1, 由f(x)=0可得x='或x=-1. 又•.顶*)=-券犬一2)=-3,人3)=32,犬一1)=0,••./U)在[-2,3]上的最大值为32,最小值为-3. (3/(*)=3J-2or-1,其图象开口向上,且恒过点(0,-1), 于是有 /(-2) /(3)W0, 30, 解得- 二。 的取值范围是[-? y-J. 11.(2013-烟台模拟)已知函数/(%)=? +2alnx. (1)若函数您: )的图象在(2,人2))处的切线斜率为1,求实数。 的值; (2)求函数人工)的单调区间; 2 ⑶若函数舲)=-+冷)在[1,2〕上是减函数,求实数。 的取值范围. la2x~+2a .1 【解】(l)/V)=2r+;=—-•AeA 由已知/ (2)=1,解得a=-3. (2)函数/U)的定义域为(0,+8). %1当。 N0时,/(x)〉0,/U)的单调递增区间为(。 ,+8); 右、I,…I…2(x+yj-a)(x-yl-a) %1 2a 当。 <0时,加=vy 当工变化时,/(x),/U)的变化情况如下: X (0,C) yj-a N_a,+°°) fM — 0 + f(x) 极小值 由上表可知,函数冷)的单调递减区间是(0,寸^);单调递增区间是(J二,+8). 2]上h\x)=-\-2x= X -(,+处)<0, 7所以/Q)在[1,2]上为减函数,/? (X)min=/? (2)=-" 7 所以aW-3. 7 故实数a的取值范围为{gIqW-3}. 12.(2013-金华模拟)已知函数Ax)=olnx—且。 云0). (1)求/U)的单调区间; (2)是否存在实数s使得对任意的xe[l,+8),都有j(x)WO? 若存在,求。 的取值范围;若不存在,请说明理由. 【解】(iyu)的定义域为(0,+8). 当Q<0时,在区间(0,+8)上,/3)<0. 所以/(x)的单调递减区间是(0,+8). 当q>0时,令/(X)=0得x=灯或x=-山(舍).函数yw,了⑴随*的变化如下: 所以/U)的单调递增区间是(0,$),单调递减区间是(戒,+8). 综上所述,当。 <0时,/U)的单调递减区间是(0,+8); 当。 〉0时,/U)的单调递增区间是(0,血),单调递减区间是糖,+8). ⑵由⑴可知: 当。 <0时,犬工)在[1,+8)上单调递减. 所以/(X)在[1,+8)上的最大值为犬1)=0,即对任意的xefl,+8)都有/(.x)W0.当〃>()时,
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