福建二中届高三上学期期末考试数学文含答案.docx
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福建二中届高三上学期期末考试数学文含答案
2014-2015学年上学期期末考
高三数学(文)试卷
(考试时间:
120分钟总分:
150分)
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集,集合,,则(∁IA)∪B为()
A.{3}B.{1,3}C.{3,4}D.{1,3,4}
2..复数的虚部为()
A.B.C.D.2
3.已知向量,若,则()
A.B.C.D.
4.双曲线的渐近线方程为()
A.B.C.D.
5.阅读右边的程序框图,如果输出的函数值在区间内,那么输入实数的取值范围是()
A.B.C.D.
6.在边长为的正方形内任取一点,则点到点的距离小于的概率为()
A.B.C.D.
7.设变量x,y满足约束条件,则目标函数的最大值为()
(A)10(B)8(C)7(D)2
8.中,角的对边分别为,则“”是“是等腰三角形”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
9.设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,如图表示该函数在区间(-2,1]上的图像,则f(2014)+f(2015)=()
A.3B.2C.1D.0
10.某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体,其直观图和三视图如图所示,正视图为正方形,其中俯视图中椭圆的离心率为()
A.B.C.D.
11.已知定义在实数集R上的函数满足=2,且的导数在R上恒有,则不等式的解集为()
A.B.C.D.∪
12.已知是虚数单位,记,其中,给出以下结论:
①②③,则其中正确结论的个数是()
A.0B.1C.2D.3
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卷的相应位置.
13.已知,则的值为。
14.如图,在平面直角坐标系中,锐角的终边分别与单位圆交于两点.如果,点的横坐标为,则.
15.已知圆与圆交于两点,则直线的方程为.
16.如图,在透明材料制成的长方体容器
内灌注一些水,固定容器底面一边于桌面上,再将
容器倾斜,根据倾斜度的不同,有下列命题:
(1)水的部分始终呈棱柱形;
(2)水面四边形的面积不会改变;
(3)棱始终与水面平行;
(4)当容器倾斜如图所示时,是定值。
其中所有正确命题的序号是。
三、解答题:
本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知函数
(1)求函数的最小正周期和值域;
(2)已知的内角所对的边分别为,若,且求的面积.
18(本小题满分12分)
海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:
件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(I)求这6件样品中来自A,B,C各地区商品的数量;
(II)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.
19.(本小题满分12分)
设是公差大于零的等差数列,已知,.
(1)求的通项公式;
(2)设是以函数的最小正周期为首项,以为公比的等比数列,求数列的前项和.
20.(本小题满分12分)
如图,PA平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AB=,AD=1,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.
(Ⅰ)当点E为BC的中点时,证明EF//平面PAC;
(Ⅱ)求三棱锥E-PAD的体积;
(Ⅲ)证明:
无论点E在边BC的何处,都有PEAF.
21.(本小题满分12分)
已知x∈[0,1],函数.
(1)求函数f(x)的单调区间和值域;
(2)设a≤-1,若,总存在,使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.
22.(本小题满分14分)
已知抛物线,过点的直线与抛物线交于两点,且直线与轴交于点
(1)求证:
成等比数列;
(2)设,,试问是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
2014-2015学年上学期期末考
高三数学(文)参考答案
一、本大题共12小题,每小题5分,共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
B
C
B
C
B
A
A
D
A
D
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分.
13.314.15.16
(1)(3)(4)
17.(本小题满分12分)
解:
(1)………3分
所以函数的最小正周期,值域为………6分
,,,,………8分
由正弦定理得,
………9分
………10分
………12分
18.(本小题满分12分)
解析:
(Ⅰ)因为工作人员是按分层抽样抽取商品,所以各地区抽取商品比例为:
………3分
所以各地区抽取商品数为:
,,;……6分
(Ⅱ)设各地区商品分别为:
………7分
6件样品中随机抽取2件的基本事件为:
,共15个.……9分
2件商品来自相同地区的基本事件为:
…11分
记“这两件商品来自同一地区的事件”为A,则它的概率为:
.……12分
19.(本小题满分12分)
解:
(1)设的公差为,则
解得或(舍)……5分
所以…………6分
(2)
其最小正周期为,故首项为1;………7分
因为公比为3,从而…………8分
所以
故
………12分
20.(本小题满分12分)
解(Ⅰ)证明:
连结AC,EF
∵点E、F分别是边BC、PB的中点
∴中,…………………………………2分
又………………3分
∴当点E是BC的中点时,EF//平面PAC…………4分
(Ⅱ)∵PA平面ABCD且
∴,,
∴中,PA=,AD=1
∴………6分
又四边形ABCD为矩形
∴
又AD和PA是面PAD上两相交直线
∴
又AD//BC
∴AB就是三棱锥E-PAD的高.……………………………7分
∴.……………8分
(Ⅲ)∵,PA=AB=,点F是PB的中点
∴等腰中,…………………………9分
又,且PA和AB是平面PAB上两相交直线
∴BC平面PAB
又
∴…………………………………………………10分
又PB和BC是平面PBC上两相交直线
∴…………………………………………11分
又∴
∴无论点E在边BC的何处,都有PEAF成立.…………………………………12分
21.(本小题满分12分)解:
(Ⅰ)f'(x)=2x-,
令f'(x)=0,解得:
,x=-1(舍去)……………………2分
列表:
x
0
(0,)
(,1)
1
f'(x)
-
0
+
f(x)
ln2
↘
↗
1-ln
可知f(x)的单调减区间是(0,),增区间是(,1);……4分
因为<1-ln=ln2-(ln3-1) 所以当x[0,1]时,f(x)的值域为[,ln2]…………………6分 (Ⅱ)g'(x)=3(x2-a2) 因为a≤-1,x[0,1]所以g'(x)<0,…………………………8分 g(x)为[0,1]上的减函数,g (1)≤g(x)≤g(0), 所以g(x)[1-4a-3a2,-4a]…………………………………………10分 因为当x[0,1]时,f(x)的值域为[,ln2] 由题意知: [,ln2][1-4a-3a2,-4a] 所以 又a≤-1,得a≤-。 ……………………………………………………12分 22.(本小题满分14分) 解: (1)证明: 设直线的方程为: ,………1分 联立方程可得得①………2分 设,,,则,②………3分 ,………4分 而,∴,………5分 即成等比数列.………6分 (2)由,得 ,,………9分 即得: ,则………12分 由 (1)中②代入得,故为定值且定值为-1.………14分
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