三角函数的图象与性质教案.docx
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三角函数的图象与性质教案
§1.4三角函数的图象和性质
教学目的:
(一)1.理解并掌握作正弦函数和余弦函数图象的方法;
2.理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法;
3.理解并掌握用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式的方法.
(二)1.理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义;
2.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间;
3.会求简单函数的奇偶性.
(三)1.理解并掌握作正切函数和余切函数图像的方法;
2.理解并掌握用正切函数和余切函数的图像解最简三角不等式的方法;
3.掌握正切函数的性质和性质的简单应用;
4.会解决一些实际问题.
教学重点:
1.用单位圆中的正弦线作正弦、正切函数的图象;
2.正、余弦和正切函数的性质.
教学难点:
1.用单位圆中的余弦线作余弦、正切函数的图象;
2.正、余弦和正切函数性质的理解与应用.
教学过程:
一、复习引入:
1.弧度定义:
长度等于半径长的弧所对的圆心角称为
弧度的角.
2.正、余弦函数定义:
设
是一个任意角,在
的终边上任取(异于原点的)一点
与原点的距离
(
)
则比值
叫做
的正弦记作
比值
叫做
的余弦记作
比值
叫做
的正切记作
3.三角函数线:
根据正弦,余弦,正切的定义,
则有
这三条与单位圆有关的有向线段
分别叫做角
的正弦线,余弦线,正切线.
当角
的终边落在
轴上时,
与
重合,
与
重合,此时正弦线,正切线分别变成一个点;当角
的终边在
轴上时,
与
重合,余弦线变成一个点,过
的切线平行于
轴,不能与角
的终边相交,所以正切线不存在,此时角
的正切值不存在.
二、讲解新课:
(一)正弦函数、余弦函数的图象
1.用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法):
为了作三角函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值都为实数.在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的形状各不相同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识.
正弦函数
的图象
第一步,在直角坐标系的
轴上任取一点
以
为圆心作单位圆,从这个圆与
轴的交点
起把圆分成
(这里
)等份.把
轴上从
到
这一段分成
(这里
)等份.(预备:
取自变量
值—弧度制下角与实数的对应).
第二步,在单位圆中画出对应于角
…,
的正弦线正弦线(等价于“列表”).把角
的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与
轴上相应的点
重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点”).
第三步,连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,
就得到正弦函数
的图象.
根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着
轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为
就得到
的图象.
把角
的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与
轴上相应的点
重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数
的图象.
余弦函数
的图象
用几何法作余弦函数的图象,可以用“反射法”将角
的余弦线“竖立”.把坐标轴向下平移,过
作与
轴的正半轴成
角的直线,又过余弦线
的终点
作
轴的垂线,它与前面所作的直线交于
那么
与
长度相等且方向同时为正,我们就把余弦线
“竖立”起来成为
用同样的方法,将其它的余弦线也都“竖立”起来,再将它们平移,使起点与
轴上相应的点
重合,则终点就是余弦函数图象上的点.
也可以用“旋转法”把角的余弦线“竖立”(把角
的余弦线
按逆时针方向旋转
到
位置,则
与
长度相等,方向相同.)
根据诱导公式
还可以把正弦函数
的图象向左平移
单位即得余弦函数
的图象.
正弦函数
的图象和余弦函数
的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.
2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法):
正弦函数
的图象中,
五个关键点是:
余弦函数
的图像中,
五个关键点是:
只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.
因此在精确度不太高时,常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握.
(二)正弦函数、余弦函数的性质
1.定义域
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集
(或
).
2.值域
(1)值域
因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,
所以
即
也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是
.
(2)最值
正弦函数
①当且仅当
时,取得最大值
②当且仅当
时,取得最小值
余弦函数
①当且仅当
时,取得最大值
②当且仅当
时,取得最小值
3.周期性
由
知:
正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.
定义:
对于函数
如果存在一个非零常数
使得当
取定义域内的每一个值时,都有
那么函数
就叫做周期函数,非零常数
叫做这个函数的周期.
由此可知,
都是这两个函数的周期.
对于一个周期函数
如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做
的最小正周期.
根据上述定义,可知:
正弦函数、余弦函数都是周期函数,
都是它的周期,最小正周期是
.
4.奇偶性
由
可知:
(
)为奇函数,其图象关于原点
对称
(
)为偶函数,其图象关于
轴对称
5.对称性
正弦函数
的对称中心是
对称轴是直线
;
余弦函数
的对称中心是
对称轴是直线
(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于
轴的直线,对称中心为图象与
轴(中轴线)的交点).
6.单调性
从
的图象上可看出:
当
时,曲线逐渐上升,
的值由
增大到
当
时,曲线逐渐下降,
的值由
减小到
结合上述周期性可知:
正弦函数在每一个闭区间
上都是增函数,
其值从
增大到
;
正弦函数在每一个闭区间
上都是减函数,
其值从
减小到
.
余弦函数在每一个闭区间
上都是增函数,
其值从
增加到
;
余弦函数在每一个闭区间
上都是减函数,
其值从
减小到
.
和
的图象和性质(表中
)
函数
图象
定义域
值域
最值
当
当
当
当
奇偶性
奇函数
偶函数
对称中心
对称轴
最小正周期
单调性
递增
递减
递增
递减
(三)正切函数的图象和性质
1.正切函数
的图像
在区间
内作出函数
图像,根据正切函数的周期性,把上述图像向左、右扩展,得到正切函数
且
的图像,称“正切曲线”.
2.正切函数和余切函数的性质
(1)定义域:
(2)值域:
(3)周期:
的周期为
(最小正周期)
(4)奇偶性:
正切函数是奇函数
由诱导公式
我们可以证明正切函数是奇函数,正切函数的图像关于原点对成.
(5)对称性:
对称中心是
特别提醒:
正(余)切型函数的对称中心有两类:
一类是图象与
轴的交点,另一类是渐近线与
轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处.
(6)单调性:
由图像可知,正切函数再区间
内都是单调增函数.
三、讲解范例:
(一)图象问题
例1画出
与
两函数的图象,观察两曲线的平移关系.
解:
略
例2作下列函数的简图:
(1)
(2)
(3)
解:
略
例3用五点法作函数
的简图,并求其与直线
交点个数.
解:
略
例4分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的
的集合:
(1)
(2)
解:
略
例5求下列函数的定义域:
(1)
(2)
(3)
解:
略
补充例题:
(1)函数
图象的对称轴是____;对称中心是_____.
(2)函数
图象的对称轴是_____;对称中心是__.
(3)函数
图象的对称轴是_____;对称中心是__.
(4)函数
与
的图象关于________对称.(填一种情况即可)
(5)方程
的根的个数为()
A.
B.
C.
D.
(6)用五点法作函数
的图象时,首先应描出的五个点横坐标可是()
A.
B.
C.
D.
(二)定义域、值域问题
例1求下列函数的定义域:
(1)
(2)
(3)
求下列函数的值域:
(1)
(2)
(3)
解:
略
例2求使下列函数取得最大值的自变量
(
)的集合,并说出最大值是什么;
若
呢?
(1)
;
(2)
解:
略
例3已知函数
的定义域为
值域为
.
求
的值.
解:
略
例4求函数
的最大值.
解:
略
例5
(1)已知
(
),求
的最大值和最小值.
(2)求
的最大值和最小值.
(注:
)
解:
略
(三)周期性、奇偶性问题
例1判断下列函数的奇偶性:
(1)
(2)
(
)
(3)
(4)
解:
略
例2
(1)已知
且
求
.
(2)若
为奇函数,且当
时,
求当
时,
的解析式.
(3)若函数
是偶函数,求
的值.
解:
略
例3求下列三角函数的周期,并探究其结.
(1)
(2)
(3)
(4)
解:
略
点评:
一般地,函数
及函数
(其中
、
、
为常数,且
)的周期
.
例4
(1)求函数
的周期.
(2)求函数
的周期.
解:
略
例5求下列函数的最小正周期:
(1)
(2)
(3)
解:
略
例6
(1)已知
是周期为
的周期函数,且
求
.
(2)已知奇函数
是
上的函数,且
求
.
解:
略
例7
是定义在
上的偶函数,其图象关于
对称,对任意的
都有
.
(1)设
求
;
(2)证明:
是周期函数.
解:
略
例8
(1)若函数
(
)的图象关于直线
与
(
)都对称,
求证:
是周期函数,且
是它的一个周期;
(2)若函数
(
)满足
(常数
),求证:
是周期函数,且
是它的一个周期.
解:
略
(四)单调性问题
例1求下列函数(
)的单调区间:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
解:
略
例2求下列的单调递增区间:
(1)
(2)
解:
略
例3不通过求值,比较下列各式的大小:
(1)
(2)
(3)
(4)
解:
略
例4求函数
的单调增区间.
解:
略
例5已知
.
(1)求
的定义域和值域;
(2)判断它的奇偶性、周期性;
(3)判断
的单调性.
解:
略
(1)
(2)奇函数,周期函数
(2)增区间:
;减区间:
(五)正切函数的图象和性质
例1讨论函数
的性质.(定义域,值域,周期性,奇偶性,单调性)
解:
略
例2
(1)用描点法作函数
的图像.
(2)作出函数
的图像,并根据图像求其单调区间.
(3)作出函数
且
的简图.
解:
略
例3不通过求值,比较
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