中考数学解题技巧专题训练隐圆问题训练含答案.docx
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中考数学解题技巧专题训练隐圆问题训练含答案
方法技巧专题:
隐圆问题训练
巴Q有些数学问题,将圆隐藏在已知条件里,隐晦地考查点和圆、直线和圆的位置关系.解题时,需要我们通过分析探索,发现这些隐藏的圆(简称隐圆,再利用和圆有关的一些知识进行求解.常见的隐圆模型有:
定弦对定角;动点到定点的距离为定长;四点共圆等.
1.[2019徐州一模]在矩形ABCD中,已知AB=2cm,BC=3cm,现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边(即两个端点始终落在矩形的边上,按逆时针方向滑动一周,则木棒的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为
B.3cm2
D.(6-%)crm
A.6cm2
C.(2+兀)crm
2.如图F10-1,已知AB=AC=AD,/CBD=2/BDC,/BAC=44〉贝U/CAD的度数为
图F10-1
3
.如图F10-2所示,四边形ABCD中,DC//AB,BC=1,AB=AC=AD=2,则BD的长为
4.如图F10-3,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段CB边上的动点,将△EBF沿EF所在直
线折叠彳#到^EB'F,连ZB'D,则B'D的最小值是.
图F10-3
5.如图F10-4,矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E,F分别为AD,DC边上的点,且EF=2,点G为EF的中点,点P为BC边上一动点,则PA+PG的最小值为.
6.如图F10-5,正方形ABCD中,AB=2,动点E从点A出发向点D运动,同时动点F从点D出发向点C运动,点E,F
图F10-5
于点P,则CP的最小值为
8.如图F10-7,点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),点P是该直角坐标系内的一个动点
⑴使/APB=30°的点P有个;
(2)若点P在y轴上,且/APB=30°,求满足条件的点P的坐标;
(3)当点P在y轴上移动时,/APB是否有最大值?
请说明理由.
9.[2018广州]如图F10-8,在四边形ABCD中,/B=60,/D=30,AB=BC.
(1)求/A+/C的度数;
(2)连结BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由;
⑶若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足AE2=BE2+CE2,求点E运动路径的长度.
图F10-8
10.如图F10-9,已知抛物线y=ax2+bx+c(aw即x轴交于A(1,0),B(4,0)两点,与y轴交于C(0,2),连结AC,BC.
(1)求抛物线解析式;
(2)线段BC的垂直平分线交抛物线于D,E两点,求直线DE的解析式;
(3)若点P在抛物线的对称轴上,且/CPB=/CAB,求出所有满足条件的P点坐标.
【参考答案】
1.D[解析]如图所示:
由题意根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出P到B点距离始终为1cm,
则木棒EF的中点P在运动过程中的轨迹为分别以A,B,C,D为圆心,1cm为半径的弧.
故所围成的图形的面积为:
矩形面积-4个扇形面积=6-4X丝需=(6-兀)(cm).
2.88°[解析]如图,•「AB=AC=AD,,点B,C,D在以点A为圆心,以AB的长为半径的圆上,
・./BAC=2/BDC.
•••/CBD=2/BDC,..ZBAC=/CBD,/CAD=2/BAC,而/BAC=44°,,/CAD=88°.
3.vl5[解析]以A为圆心,AB长为半彳5作圆,延长BA交。
A于F,连结DF.
•••DC//AB,.1.DF=BC,
DF=CB=1,BF=2+2=4,
•••FB是。
A的直径,/FDB=90°,
•・BD=,?
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牵石
4.2v10-2[解析]点B'在以E为圆心,EA长为半径的圆上运动,当D,B',E共线时,此时B'D的值最小.
根据折叠的性质,得任3504EB'F,
EB'±B'F,EB'=EB.
..E是AB边的中点,AB=4,,AE=EB'=2.
AD=6,.'.DE=V62+22=2V10,
B'D=2v10-2.
5.4[解析]:
EF=2,点G为EF的中点,,DG=1,,G是以D为圆心,以1为半径的圆弧上的点
作A关于BC的对称点A',连结A'D,交BC于P,交以D为圆心,以1为半径的圆于G,此时的PA+PG值最小,最小
值为A'G的长.
8产C
•.AB=2,AD=3,,AA'=4,,A'D=5,,A'G=A'D-DG=5-1=4...PA+PG的最小值为4.
6.v5-1[解析]如图,二.动点F,E的速度相同,
DF=AE.
又•••正方形ABCD中,AB=2,
AD=AB,/BAE=/ADF=90°.
AED
在那BE和ADAF中,
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Z^BE^ADAF.
/ABE=/DAF.
・./ABE+/BEA=90°,
・./FAD+ZBEA=90°,・./APB=90°.
,点P在运动中保持/APB=90°,
.••点P的路径是一段以AB为直径的弧.
1
设AB的中点为G,连结DG交弧于点P,此时DP的长度最小,AG=BG=^AB=1.
在RtAADG中,DG=,?
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色?
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=Vl2+22=v5.
PG=AG=1,..DP=DG-PG=v5-1,即线段DP的最小值为花-1.
7.1[解析],•,CD=AE,BD=CE.
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在AABD和4BCE中,{/?
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•・AABD^ABCE(SAS),故/BAD=/CBE.
•••/APE=/ABE+/BAD,/APE=/BPD,/ABE+/CBE=60°,
•./BPD=ZAPE=60=ZABC..--ZAPB=120°,•••点P的运动轨迹是?
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依口下图),/AOB=120°.连结CO,/OA=OB,CA=CB,OC=OC,
•••AAOCBOC(SS§,
•・./OAC=ZOBC,ZACO=/BCO=30°.
•••/AOB+ZACB=180°,,/OAC+/OBC=180,..ZOAC=/OBC=90°.
1
OC=ACcos30=2,OA=-OC=1,
OP=1.
PCRC-OP,••.PC>1,.PC的最小值为1.
8.解:
(1)无数[解析]以AB为边,在第一象限内作等边三角形ABC,以点C为圆心,AC为半径作。
C,交y轴于点
P1,P2.
1,一1
在伏弧APiB上任取一点P,如图①,则/APB=22ACB=2><60°=30°.
・••使/APB=30°的点P有无数个.
故答案为:
无数.
①
(2)a.当点P在y轴的正半轴上时,过点C作CGLAB,垂足为G,如图①.
••点A(1,0),点B(5,0),
OA=1,OB=5.
•.AB=4.
•・・点C为圆心,CG,AB,
1
AG=BG=-AB=2,/.OG=OA+AG=3.
..~\BC是等边三角形,..AC=BC=AB=4,
CG=v?
?
?
?
?
?
^V42-22=2,
•••点C的坐标为(3,2餐).
过点C作CDLy轴,垂足为D,Pi,P2是。
C与y轴的交点,连结CP2,如图①.
•・・点C的坐标为(3,2S),,CD=3,OD=2v3.
P1P2是。
C与y轴的交点,
.-.zAPiB=ZAP2B=30°.
CP2=CA=4,CD=3,DP2=田=v7.
.•点C为圆心,CD,PiP2,「.PiD=P2D=5,
P2(0,2v3-vf),Pi(0,2Ai+v7).
b.当点P在y轴的负半轴上时,
同理可得:
P3(0,-2v3-v7),P4(0,-2v5+V7).
综上所述:
满足条件的点P的坐标有:
(0,2Ai-V7),(0,2v3+v7),(0,-2v3-aJ),(0,-2v3+V7).
(3)如图②,当过点A,B的。
E与y轴相切于点P时,/APB最大.
理由:
可证/APB=/AEH,当/APB最大时,/AEH最大.
2
由sinZAEH=不洌当AE最小即PE最小时,ZAEH最大.
所以当圆与y轴相切时,/APB最大.
9.解:
⑴二.在四边形ABCD中,/B=60:
/D=30;
ZA+ZC=360-ZB-ZD=270.
(2)AD,CD2=BD2.理由:
如图ABCD绕点B逆时针旋转60;得用人少,连结DD1
D'
A
11\
BD=BD',CD=AD',/DBD'=60,ZBAD'=/C,,ABDD'是等边三角形
DD'=BD.
又/BAD+ZC=270°,
・./BAD+ZBAD'=270°,
・./DAD'=90°.
AD2+AD'2=DD'2即AD2+CD2=BD2.
⑶如图,将ABEC绕点B逆时针旋转60得ABE'A,连结EE'.
BE=BE',/EBE'=60°,
・•・ABEE'是等边三角形.
・./BE'E=60°.
・••AE2=BE2+CE2,BE=EE',CE=AE',
AE2=EE'2+AE'2/AE'E=90;
・./BE'A=150...ZBEC=150°.
・••点E在以BC为弦,劣弧?
?
?
?
对的圆心角为60°的圆上.
以BC为边在下方作等边三角形BCO,则O为圆心,半径BO=1.
・••点E运动路径为?
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=■=3.
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+?
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=0,
10.解:
(1)由题意得{16?
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+4?
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+?
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=0,?
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=2,
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?
=1
2,
解得{?
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=-!
?
?
=2,
故这个抛物线的解析式为y=2x2-|x+2.
(2)如图①,设BC的垂直平分线DE交BC于M,交x轴于N,连结CN,过点M作MF,x轴于F.
"MFS^BCO,.・.蔡盛篇!
B(4,0),C(0,2),,CO=2,BO=4,
MF=1,BF=2,..M(2,1).
•••MN是BC的垂直平分线,••.CN=BN,
设ON=x,则CN=BN=4-x,
在RtAOCN中,CN2=OC2+ON2,
.、ccc..一3If31
•.(4-x)2=22+x2,解得x=2,,.N<2,0'.
设直线DE的解析式为y=kx+b,
2?
?
+?
?
=1
依题意,得{3丘°解得{?
?
=2,
2?
+?
?
=0,?
r=-3.
・•・直线DE的解析式为y=2x-3.
.1c55
G,则点G-|,2
(3)由
(1)得抛物线解析式为y=2x2-2x+2,匕的对称轴为直线x=2.
(i)如图②,设线段BC的垂直平分线交抛物线对称轴于点
5
以G为圆心,GA长为半径回圆交对称轴于点Pi,则/CPiB=/CAB,GA=-,
5
(ii)如图③,GN为线段BC的垂直平分线,由
(2)得BN=-,・•.BN=BG,.••点G,N关于直线BC对称.
・•・以N为圆心,NB长为半彳5的。
N与。
G关于直线BC对称.
。
N交抛物线对称轴于点P2,则/CP2B=/CAB.设对称轴与x轴交于点H,则NH=2-2=1,「.HP2=?
.•.点P2的坐标为[5]).综上所述,当P点的坐标为(2,-1)^(5,^21)H^,ZCPB=/CAB.
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