专题52 等差数列及其前n项和解析版.docx
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专题52等差数列及其前n项和解析版
第五篇数列及其应用
专题5.2等差数列及其前n项和
【考试要求】
1.理解等差数列的概念;
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式;
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题;
4.体会等差数列与一次函数的关系.
【知识梳理】
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式:
an+1-an=d(n∈N*,d为常数).
(2)若a,A,b成等差数列,则A叫做a,b的等差中项,且A=a+b.
2
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.
(2)前n项和公式:
Sn=na1+n(n-1)d=n(a1+an).
22
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广:
an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
Sn
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列
【微点提醒】
n也为等差数列.
1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.
2.在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
3.等差数列{an}的单调性:
当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).
【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.()
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.()
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()
【答案】
(1)√
(2)√(3)×(4)×
【解析】
(3)若公差d=0,则通项公式不是n的一次函数.
(4)若公差d=0,则前n项和不是二次函数.
【教材衍化】
2.(必修5P46A2改编)设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于()A.31B.32C.33D.34
【答案】B
【解析】由已知可得
a1=26,
3
a1+5d=2,
5a1+10d=30,
8×7
解得
d=-
∴S8=8a1+
,
3
d=32.
2
3.(必修5P68A8改编)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=.
【答案】180
【解析】由等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,∴a5=90,∴a2+a8=2a5=180.
【真题体验】
4.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()
A.-12B.-10C.10D.12
【答案】B
【解析】设等差数列{an}的公差为d,则3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即d=-3a1.又a1=2,∴d=-3,
2
∴a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.
5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{an}中,a2=1,前5项和S5=-15,则数列{an}的公差为()
A.-3B.-5
2
C.-2D.-4
【答案】D
【解析】设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
a1+d=1,
a2=1,
因为所以
5×4
S5=-15,解得d=-4.
5a1+
d=-15,
2
6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{an}中,已知a3+a8>0,且S9<0,则S1,S2,…,S9中最小的是.
【答案】S5
【解析】在等差数列{an}中,
∵a3+a8>0,S9<0,
∴a5+a6=a3+a8>0,S9=9(a1+a9)=9a5<0,
2
∴a5<0,a6>0,
∴S1,S2,…,S9中最小的是S5.
【考点聚焦】
考点一等差数列基本量的运算
【例1】
(1)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为()
A.1B.2C.4D.8
(2)(2019·潍坊检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,则m=()A.9B.10C.11D.15
【答案】
(1)C
(2)B
【解析】
(1)法一设等差数列{an}的公差为d,
(a1+3d)+(a1+4d)=24,
依题意得6a1+6×5d=48,所以d=4.
2
法二等差数列{an}中,S6=(a1+a6)×6=48,则a1+a6=16=a2+a5,
2
又a4+a5=24,所以a4-a2=2d=24-16=8,则d=4.
(2)设等差数列{an}的公差为d,依题意得
S11=11a1+11×(11-1)d=22,
a=-33,
2
a4=a1+3d=-12,
1
解得
d=7,
∴am=a1+(m-1)d=7m-40=30,∴m=10.
【规律方法】
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.
【训练1】
(1)等差数列log3(2x),log3(3x),log3(4x+2),…的第四项等于()
A.3B.4C.log318D.log324
(2)(一题多解)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=6,S4=12,则S6=.
【答案】
(1)A
(2)30
【解析】
(1)∵log3(2x),log3(3x),log3(4x+2)成等差数列,
∴log3(2x)+log3(4x+2)=2log3(3x),
∴log3[2x(4x+2)]=log3(3x)2,则2x(4x+2)=9x2,解之得x=4,x=0(舍去).
∴等差数列的前三项为log38,log312,log318,
∴公差d=log312-log38=log33,
2
∴数列的第四项为log318+log33=log327=3.
2
(2)法一设数列{an}的首项为a1,公差为d,
S3=3a1+3d=6,
a1=0,
由S3=6,S4=12,可得
所以S6=6a1+15d=30.
解得
S4=4a1+6d=12,
d=2,
法二由{an}为等差数列,故可设前n项和Sn=An2+Bn,
S3=9A+3B=6,
由S3=6,S4=12可得
A=1,
S4=16A+4B=12,
解得
B=-1,
即Sn=n2-n,则S6=36-6=30.
考点二等差数列的判定与证明
【例2】(经典母题)若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn1=0(n≥2),a1=1.
-
2
1
(1)求证:
Sn成等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
【答案】见解析
【解析】
(1)证明当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,
-
得Sn-Sn-1=-2SnSn
1,所以1-1=2,
又1=1=2,
SnSn-1
S1a1
1
故Sn是首项为2,公差为2的等差数列.
(2)解由
(1)可得1=2n,∴Sn=1.
Sn2n
当n≥2时,
a=S-S
=1-1=n-1-n=-1.
nnn-1
2n
2(n-1)
2n(n-1)
2n(n-1)
当n=1时,a1=1不适合上式.
2
1,n=1,
2
故an=-1,n≥2.
2n(n-1)
【迁移探究1】本例条件不变,判断数列{an}是否为等差数列,并说明理由.
【答案】见解析
【解析】因为an=Sn-Sn-1(n≥2),an+2SnSn-1=0,所以Sn-Sn-1+2SnSn-1=0(n≥2).
所以1-1=2(n≥2).
SnSn-1
又1=1=2,
S1a1
1
所以Sn是以2为首项,2为公差的等差数列.
所以1=2+(n-1)×2=2n,故Sn=1.
Sn
所以当n≥2时,a=S-S
2n
=
=1-1-1,
nnn-1
2n2(n-1)
2n(n-1)
-1
-1
-1
11
-1-1
所以an+1=
2n(n+1)
,又an+1-an=
-
2n(n+1)
=
2n(n-1)2n
n+1
n-1=
.
n(n-1)(n+1)
所以当n≥2时,an+1-an的值不是一个与n无关的常数,故数列{an}不是一个等差数列.
【迁移探究2】本例中,若将条件变为a1=3,nan
5
+1=(n+1)an+n(n+1),试求数列{an}的通项公式.
【答案】见解析
【解析】由已知可得an+1=an+1,即an+1-an=1,又a1=3,
ana3
n+1n
n+1n5
∴n是以
1=为首项,1为公差的等差数列,
15
∴an=3+(n-1)·1=n-2,∴an=n2-2n.
n555
【规律方法】
1.证明数列是等差数列的主要方法:
(1)定义法:
对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数.
(2)等差中项法:
验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立.
2.判定一个数列是等差数列还常用到结论:
(1)通项公式:
an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.
(2)前n项和公式:
Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.
【训练2】(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
【答案】见解析
【解析】
(1)设{an}的公比为q,由题设可得
a1(1+q)=2,
解得
a1(1+q+q2)=-6,
q=-2,a1=-2.
故{an}的通项公式为an=(-2)n.
(2)由
(1)可得
a1(1-qn)2
2n+1
Sn=
1-q
=-+(-1)n.33
42n+3-2n+2
由于Sn+2+Sn+1=-
+(-1)n.
33
-2
=23
+(-1)n·
2n+1
3=2Sn,
故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.考点三等差数列的性质及应用角度1等差数列项的性质
【例3-1】(2019·临沂一模)在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则a2+a14的值为()A.6B.12C.24D.48
【答案】D
【解析】∵在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,由等差数列的性质,a1+3a8+a15=5a8=120,
∴a8=24,∴a2+a14=2a8=48.
角度2等差数列和的性质
【例3-2】设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于()A.63B.45C.36D.27
【答案】B
【解析】由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),
得到S9-S6=2S6-3S3=45,所以a7+a8+a9=45.
【规律方法】
1.项的性质:
在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.
2.和的性质:
在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则
(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);
(2)S2n-1=(2n-1)an.
【训练3】
(1)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2015,S2015-S2009=6,则S2019=.
20152009
(2)(2019·荆州一模)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5=3,a8=8,则a12的值是()A.15B.30C.31D.64
(3)等差数列{a}与{b}的前n项和分别为S和T,若Sn=3n-2a7()
nnnn
,则等于
Tn2n+1b7
A.37
27
B.1914
C.3929
D.4
3
【答案】
(1)6057
(2)A(3)A
【解析】
(1)由等差数列的性质可得
Sn
n也为等差数列.
设其公差为d,则S2015-S2009=6d=6,∴d=1.
故S2019S1
2015
2009
=
2019
+2018d=-2015+2018=3,
1
∴S2019=3×2019=6057.
(2)由a3+a4+a5=3及等差数列的性质,
∴3a4=3,则a4=1.
又a4+a12=2a8,得1+a12=2×8.
∴a12=16-1=15.
a1+a13×13
a72a7a1+a132
S13
(3)====
b72b7
b1+b13
b1+b13×132
T13
37
3×13-2
==.
2×13+127
考点四等差数列的前n项和及其最值
【例4】(2019·衡水中学质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1≠0,常数λ>0,且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设a1>0,λ=100,当n为何值时,数列
【答案】见解析
lg1
an的前n项和最大?
【解析】
(1)令n=1,得λa2=2S=2a,a(λa-2)=0,
1
因为a1≠0,所以a1=2,
λ
1111
当n≥2时,2an=2+Sn,2an1=2+Sn1,
λλ
两式相减得2an-2an-1=an(n≥2).
所以an=2an-1(n≥2),
从而数列{a}为等比数列,a=a·2n-1=2n
nn1.
λ
(2)当a>0,λ=100时,由
(1)知,a=2n,
1n
100
则bn=lg1=lg100=lg100-lg2n=2-nlg2,
an2n
所以数列{bn}是单调递减的等差数列,公差为-lg2,
所以b1>b2>…>b6=lg100=lg100>lg1=0,
2664
当n≥7时,bn≤b7=lg100 27 所以数列 lg1 an的前6项和最大. 【规律方法】求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法: (1)函数法: 利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn(a≠0),通过配方或借助图象求二次函数的最值. (2)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,进而求Sn的最值. am≥0, ①当a1>0,d<0时,满足 am+1≤0 的项数m使得Sn取得最大值为Sm(当am+1=0时,Sm+1也为最大值); ②当a1<0,d>0时,满足 am≤0, 的项数m使得Sn取得最小值为Sm(当am+1=0时,Sm+1也为最小值). am+1≥0 【训练4】 (1)等差数列{an}的公差d≠0,且a3,a5,a15成等比数列,若a5=5,Sn为数列{an}的前n项和, Sn 则数列 n的前n项和取最小值时的n为() A.3B.3或4 C.4或5D.5 (2)已知等差数列{an}的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和Sn的最大值为. 【答案】 (1)B (2)110 【解析】 (1)由题意知 (a1+2d)(a1+14d)=25, a1+4d=5, 由d≠0,解得a1=-3,d=2, na1+n(n-1)d ∴Sn=2=-3+n-1=n-4, nn 则n-4≥0,得n≥4, ∴数列 的前n项和取最小值时的n为3或4. (2)因为等差数列{an}的首项a1=20,公差d=-2, Sn=na1+n(n-1)d=20n-n(n-1)×2 22 n-212212 =-n2+21n=-2+2, 又因为n∈N*,所以n=10或n=11时,Sn取得最大值,最大值为110. 【反思与感悟】 1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质,另外还常用前n项和Sn=An2+Bn及通项an=pn+q来判断一个数列是否为等差数列. 2.等差数列基本量思想 (1)在解有关等差数列的基本量问题时,可通过列关于a1,d的方程组进行求解. (2)若奇数个数成等差数列,可设中间三项为a-d,a,a+d. 若偶数个数成等差数列,可设中间两项为a-d,a+d,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. (3)灵活使用等差数列的性质,可以大大减少运算量. 【易错防范】 1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”,如证明了an+1-an=d(n≥2)时,应注意验证a2-a1是否等于d,若a2-a1≠d,则数列{an}不为等差数列. 2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时,一定要注意自变量n是正整数. 【分层训练】 【基础巩固题组】(建议用时: 40分钟) 一、选择题 1.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=() A.100B.99C.98D.97 【答案】C 【解析】设等差数列{an}的公差为d,由已知, 9a1+36d=27, 得所以 a1+9d=8, a1=-1,d=1, 所以a100=a1+99d=-1+99=98. 2.(2019·淄博调研)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a6=9,则S11=() a511S9 A.1B.-1C.2D.12 【答案】A 【解析】由于S11=11a6=11×9=1. S99a5911 111 3.(2019·中原名校联考)若数列{an}满足- an+1 =d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为调和数列,已知数列xn an 为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=() A.10B.20C.30D.40 【答案】B 11 【解析】依题意,1-1=xn+1-xn=d, xn+1xn ∴{xn}是等差数列. 又x1+x2+…+x20=20(x1+x20)=200. 2 ∴x1+x20=20,从而x5+x16=x1+x20=20. 4.(2019·北京海淀区质检)中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题: “九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是: 把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小 的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是() A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤 【答案】B 【解析】用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数,由题意得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996, ∴8a1+8×7×17=996,解之得a1=65. 2 ∴a8=65+7×17=184,即第8个儿子分到的绵是184斤. 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=9,S9-S5=-4,则Sn取最大值时的n为() 95 A.4B.5C.6D.4或5 【答案】B 【解析】由{an}为等差数列,得S9-S5=a5-a3=2d=-4, 95 即d=-2, 由于a1=9,所以an=-2n+11,令an=-2n+11<0,得n>11, 2 所以Sn取最大值时的n为5. 二、填空题 6.已知等差数列{an}的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为25,则这个数列的项数为. 【答案】10 【解析】设项数为2n,则由S偶-S奇=nd得,25-15=2n解得n=5,故这个数列的项数为10. 7.已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=2anan+1,则a6=. 【答案】1 11 【解析】将an-an1=2anan1两边同时除以anan1,1-1=2. +++ 11 an+1an a 所以an是以=1为首项,2为公差的等差数列, 1 所以1=1+5×2=11,即a6=1. a611 8.设Sn是等差数列{an}的前n项和,S10=16,S100-S90=24,则S100=. 【答案】200 【解析】依题意,S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90依次成等差数列,设该等差数列的公差为d.又S10 =16,S100-S90=24,因此S100-S90=24=16+(10-1)d=16+9d,解得d=8,因此S100=10S10+10×9d= 10×16+10×9 2 三、解答题 92 × 8=200. 9 9.等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=[an],求数列{bn}的前1
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