数学高考一轮复习《对数与对数函数》.docx

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数学高考一轮复习《对数与对数函数》

2016届高三数学一轮基础巩固第2章第5节对数与对数函数新人教A版

一、选择题

1．（文）（2014·四川泸州一诊）2lg2－lg的值为（　　）

A．1　　　B．2　　　

C．3　　　D．4

[答案]　B

[解析]　2lg2－lg＝lg（22÷）＝lg100＝2，故选B．

（理）（2013·湖南省五市十校联考）已知函数f（x）＝满足f（a）＝3，则f（a－5）的值为（　　）

A．log23　　　　　　　B．

C．　D．1

[答案]　C

[解析]　∵f（a）＝3，∴　①

或　②

①无解，由②得，a＝7，所以f（a－5）＝22－3＋1＝，选C．

2．（文）（2013·山东威海期末）下列四个数中最大的是（　　）

A．（ln2）2　B．ln（ln2）

C．ln　D．ln2

[答案]　D

[解析]　由0

（理）若x∈（，1），a＝lgx，b＝lg2x，c＝lgx，则a、b、c的大小关系是（　　）

A．a

C．c

[答案]　B

[解析]　∵

∵a－c＝lgx－lgx＝lgx<0，∴a

故a

[点评]　比较对数式的值大小的方法：

①利用中间量0、1.

（2014·河北石家庄一模）已知a＝3，b＝log，c＝log2，则（　　）

A．a>b>c　B．b>c>a

C．c>b>a　D．b>a>c

[答案]　A

[解析]　因为3>1,0

所以a>b>c，故选A．

②指数互化

（2014·湖北省重点中学联考）∀α∈（，），x＝（sinα）logπcosα，y＝（cosα）logπsinα，则x与y的大小关系为（　　）

A．x>y　B．x

C．x＝y　D．不确定

[答案]　C

[解析]　因为logπx＝logπsinαlogπcosα，logπy＝logπsinα·logπcosα，所以logπx＝logπy，所以x＝y，故选C．

③作差法

（2014·山东临沂市重点中学月考）若x∈（e－1,1），a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则（　　）

A．a

C．b

[答案]　C

[解析]　因为x＝（e－1,1），所以－10，故c>a，综上b

④化同真借助图象

（2013·新课标Ⅱ）设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则（　　）

A．c>b>a　B．b>c>a

C．a>c>b　D．a>b>c

[答案]　D

[解析]　本题考查了对数的运算性质．

∵a＝log36＝1＋log32；

b＝log510＝1＋log52；

c＝log714＝1＋log72.

∵log32>log52>log72，∴a>b>c.

⑤用单调性

（2014·吉林长春质检）已知函数f（x）＝loga|x|在（0，＋∞）上单调递增，则（　　）

A．f（3）

（1）　B．f

（1）

C．f（－2）

（1）

（1）

[答案]　B

[解析]　因为f（x）＝loga|x|在（0，＋∞）上单调递增，所以a>1，f

（1）

（2）

又函数f（x）＝loga|x|为偶函数，

所以f

（2）＝f（－2），所以f

（1）

⑥转化法

若函数f（x）＝log2（x＋1）且a>b>c>0，则、、的大小关系是（　　）

A．>>　B．>>

C．>>　D．>>

[答案]　B

[解析]　∵、、可看作函数图象上的点与原点所确定的直线的斜率，结合函数f（x）＝log2（x＋1）的图象及a>b>c>0可知>>.故选B．

⑦综合法

（2013·宣城二模）若a＝，b＝ln2·ln3，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a>b>c　B．c>a>b

C．c>b>a　D．b>a>c

[答案]　A

[解析]　∵ln6>lnπ>1，∴a>c，排除B，C；b＝ln2·ln3<（）2＝＝a，排除D，故选A．

3．（2014·宁夏银川质检）设函数f（x）＝若f（a）>f（－a），则实数a的取值范围是（　　）

A．（－1,0）∪（0,1）　B．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

C．（－1,0）∪（1，＋∞）　D．（－∞，－1）∪（0,1）

[答案]　C

[解析]　f（a）>f（－a）化为

或

∴a>1或－1

4．（文）（2014·石家庄调研）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝log3（1＋x），则f（－2）＝（　　）

A．－1　B．－3

C．1　D．3

[答案]　A

[解析]　由条件知f（－2）＝－f

（2）＝－log3（1＋2）＝－1.

（理）（2013·开封一模）已知f（x）是奇函数，且f（2－x）＝f（x），当x∈（2,3）时，f（x）＝log2（x－1），则当x∈（1,2）时，f（x）＝（　　）

A．－log2（4－x）　B．log2（4－x）

C．－log2（3－x）　D．log2（3－x）

[答案]　C

[解析]　依题意得f（x＋2）＝f（－x）＝－f（x），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）．

当x∈（1,2）时，x－4∈（－3，－2），4－x∈（2,3），故f（x）＝f（x－4）＝－f（4－x）＝－log2（4－x－1）＝－log2（3－x），选C．

5．（2014·安徽皖南八校第一次联考）已知集合A＝{x|y＝log2（x2－1）}，B＝{y|y＝（）x－1}，则A∩B＝（　　）

A．（，1）　B．（1,2）

C．（0，＋∞）　D．（1，＋∞）

[答案]　D

[解析]　A＝{x|y＝log2（x2－1）}＝{x|x2－1>0}＝{x|x>1或x<－1}，B＝{y|y＝（）x－1}＝{y|y>0}，∴A∩B＝{x|x>1}．

6．（文）设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：

①>；　　②ac

③logb（a－c）>loga（b－c）．

其中所有的正确结论的序号是（　　）

A．①　B．①②

C．②③　D．①②③

[答案]　D

[解析]　本题考查不等式性质，比较大小．

－＝，∵a>b>1，c<0，∴>0，>，①正确；a>b>1，acb－c>1，

∴logb（a－c）>logb（b－c）>loga（b－c），③正确．

[点评]　比较大小的方法有作差法、单调性法等．

（理）（2013·北京东城区检测）给出下列命题：

①在区间（0，＋∞）上，函数y＝x－1，y＝x，y＝（x－1）2，y＝x3中有3个是增函数；②若logm3

A．1　　　B．2　　　

C．3　　　D．4

[答案]　C

[解析]　命题①中，在（0，＋∞）上只有y＝x，y＝x3为增函数，故①不正确；②中第1个不等式等价于log31>log3m>log3n，故02，故方程f（x）＝有2个实数根，④正确．故选C．

二、填空题

7．（文）函数y＝的定义域为________．

[答案]　{x|1≤x<或－

[解析]　要使函数有意义，应满足log（2－x2）≥0，

∵y＝logx为减函数，∴0<2－x2≤1，∴1≤x2<2，

∴1≤x<或－

（理）函数f（x）＝ln的定义域是________．

[答案]　（－∞，0）∪（1，＋∞）

[解析]　要使f（x）有意义，应有1＋>0，

∴>0，∴x<0或x>1.

8．（文）（2014·南京模拟）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞）上是单调递增函数．如果实数t满足f（lnt）＋f（ln）≤2f

（1），那么t的取值范围是________．

[答案]　[，e]

[解析]　由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（lnt）＝f（ln），由f（lnt）＋f（ln）≤2f

（1），得f（lnt）≤f

（1）．又函数f（x）在区间[0，＋∞）上是单调递增函数，所以|lnt|≤1，－1≤lnt≤1，故≤t≤e.

（理）（2014·浙江温州八校联考）设函数f（x）的定义域为R，且是以3为周期的奇函数，|f

（1）|>2，f

（2）＝loga4（a>0，且a≠1），则实数a的取值范围是________．

[答案]　

[解析]　由条件知，|f

（1）|＝|f（－1）|＝|f

（2）|＝|loga4|>2，

∴loga4>2或loga4<－2，

∴1

9．（文）方程log3（x2－10）＝1＋log3x的解是________．

[答案]　x＝5

[解析]　原方程化为log3（x2－10）＝log3（3x），由于y＝log3x在（0，＋∞）上严格单增，则x2－10＝3x，解之得x1＝5，x2＝－2.∵要使log3x有意义，应有x>0，∴x＝5.

（理）（2014·广东韶关调研）已知函数f（x）＝且关于x的方程f（x）＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．

[答案]　a>1

[解析]　如图，在同一坐标系中分别作出y＝f（x）与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．

三、解答题

10．（文）（2014·江西南昌第二中学第一次月考）已知f（x）＝log（x2－mx－m）．

（1）若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围；

（2）若函数f（x）在区间（－∞，1－）上是增函数，求实数m的取值范围．

[解析]　

（1）设g（x）＝x2－mx－m，要使得函数f（x）的值域为R，则g（x）＝x2－mx－m能取遍所有的正数，则有（－m）2－4×（－m）≥0，解得m≥0或m≤－4.

（2）函数f（x）＝log（x2－mx－m）的底数是，那么若函数f（x）在区间（－∞，1－）上是增函数，则函数g（x）＝x2－mx－m在区间（－∞，1－）上是减函数，则有解得2－2≤m≤2.

（理）（2013·北京朝阳期末）已知f（x）＝log3，x∈（0，＋∞），是否存在实数a，b，使f（x）同时满足下列条件：

①在（0,1）上是减函数，在[1，＋∞）上是增函数；②f（x）的最小值是1.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

[解析]　假设存在实数a，b使命题成立，

∵f（x）在（0,1）上是减函数，在[1，＋∞）上是增函数，

∴x＝1时，f（x）取得最小值1，

∴log3＝1，∴a＋b＝2.

∵f（x）在（0,1）上是减函数，

设0

∴f（x1）>f（x2）恒成立，

即>恒成立，

整理得>0恒成立．

∵00，

∴x1x2－b<0恒成立，即x1x2

而x1x2<1，∴b≥1.

同理，f（x）在[1，＋∞）上是增函数，

可得b≤1，∴b＝1.又∵a＋b＝2，∴a＝1.

故存在a＝1，b＝1同时满足题中条件．

一、选择题

11．（文）（2014·山东德州期末）函数y＝（0

[答案]　D

[解析]　因为y＝＝且0

（理）函数y＝ln||与y＝－在同一平面直角坐标系内的大致图象为（　　）

[答案]　C

[解析]　y＝ln||为偶函数，当x>0时，y＝ln＝－lnx为减函数，故排除A、B；y＝－≤0，其图象在x轴下方，排除D，故选C．

12．（文）已知符号函数sgn（x）＝则函数f（x）＝sgn（lnx）－ln2x的零点个数为（　　）

A．4　　　B．3　　　

C．2　　　D．1

[答案]　C

[解析]　由题意得f（x）＝sgn（lnx）－ln2x

＝则令1－ln2x＝0⇒x＝e或x＝（舍去）；令－ln2x＝0⇒x＝1；

当－1－ln2x＝0时，方程无解，所以f（x）＝sgn（lnx）－ln2x有两个零点，故选C．

（理）已知函数f（x）＝（）x－log3x，若实数x0是方程f（x）＝0的解，且0

A．不小于0　B．恒为正数

C．恒为负数　D．不大于0

[答案]　B

[解析]　若实数x0是方程f（x）＝0的解，即x0是函数y＝（）x和y＝log3x的图象的交点的横坐标，因为0log3x1，所以f（x1）恒为正数．

13．（文）（2013·湖南张家界一模）若logmn＝－1，则m＋3n的最小值是（　　）

A．2　B．2

C．2　D．

[答案]　B

[解析]　由logmn＝－1，得m－1＝n，则mn＝1.

由于m>0，n>0，∴m＋3n≥2＝2.故选B．

（理）（2015·广东肇庆检测）已知函数f（x）＝ax＋loga（x＋1）（a>0且a≠1）在区间[0,1]上的最大值为M，最小值为N.若M＋N＝a，则实数a的值为（　　）

A．　B．

C．2　D．4

[答案]　B

[解析]　因为y＝ax与y＝loga（x＋1）在[0,1]上具有相同的单调性，所以f（x）＝ax＋loga（x＋1）在[0,1]上单调，故M＋N＝f（0）＋f

（1）＝a，即1＋a＋loga2＝a，解得a＝.

14．定义在R上的奇函数f（x）满足：

当x>0时，f（x）＝2014x＋log2014x，则方程f（x）＝0的实根的个数为（　　）

A．1　　　B．2　　　

C．3　　　D．5

[答案]　C

[解析]　当x>0时，f（x）＝0即2014x＝－log2014x，在同一坐标系下分别画出函数f1（x）＝2014x，f2（x）＝－log2014x的图象（图略），可知两个图象只有一个交点，即方程f（x）＝0只有一个实根，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x<0时，方程f（x）＝0也有一个实根，又因为f（0）＝0，所以方程f（x）＝0的实根的个数为3.

二、填空题

15．（2014·河南郑州模拟）已知函数y＝f（x）的图象与函数y＝2－x－1的图象关于直线y＝x对称，则f（3）＝________.

[答案]　－2

[解析]　由题意y＝f（x）的图象与函数y＝2－x－1的图象关于直线y＝x对称，令f（3）＝a，则点（a,3）必在函数y＝2－x－1的图象上，所以2－a－1＝3，解得a＝－2，即f（3）＝－2.

16．（文）（2013·安徽师大附中、安庆一中联考）已知函数f（x）的定义域为A，若其值域也为A，则称区间A为f（x）的保值区间．若g（x）＝x＋m＋lnx的保值区间是[e，＋∞），则m的值为________．

[答案]　－1

[解析]　由题意得，g（x）的值域为[e，＋∞），由x≥e时，g′（x）＝1＋>0，所以当x≥e时，g（x）为增函数，由题意可得g（e）＝e＋m＋1＝e，解得m＝－1.

（理）（2014·山东郯城一中月考）对任意实数a、b，定义运算“*”如下：

a*b＝则函数f（x）＝log（3x－2）*log2x的值域为________．

[答案]　（－∞，0]

[解析]　易知函数f（x）的定义域为（，＋∞），在同一直角坐标系中画出函数y＝log（3x－2）和y＝log2x的图象，

由a*b的定义可知，f（x）的图象为图中实线部分，

∴由图象可得f（x）＝的值域为（－∞，0]．

三、解答题

17．（文）（2014·吉林长春模拟）设f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a>0，a≠1），且f

（1）＝2.

（1）求a的值及f（x）的定义域；

（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．

[解析]　

（1）∵f

（1）＝2，∴loga4＝2（a>0，a≠1），∴a＝2.

由得x∈（－1,3），

∴函数f（x）的定义域为（－1,3）．

（2）f（x）＝log2（1＋x）＋log2（3－x）

＝log2[（1＋x）（3－x）]＝log2[－（x－1）2＋4]，

∴当x∈（－1,1]时，f（x）是增函数；

当x∈（1,3）时，f（x）是减函数，

函数f（x）在[0，]上的最大值是f

（1）＝log24＝2.

（理）已知函数f（x）＝log（a是常数且a<2）．

（1）求f（x）的定义域；

（2）若f（x）在区间（2,4）上是增函数，求a的取值范围．

[解析]　

（1）∵>0，∴（ax－2）（x－1）<0，

①当a<0时，函数的定义域为∪（1，＋∞）；

②当a＝0时，函数的定义域为（1，＋∞）；

③当0

（2）∵f（x）在（2,4）上是增函数，

∴只要使在（2,4）上是减函数且恒为正即可．

令g（x）＝，

即当x∈（2,4）时g′（x）≤0恒成立且g（4）≥0.

解法一：

g′（x）＝＝，

∴当a－2<0，即a<2时，g′（x）≤0.

g（4）≥0，即1－2a≥0，∴a≤，∴a∈.

解法二：

∵g（x）＝＝－a＋，

∴要使g（x）＝－a＋在（2,4）上是减函数，只需2－a>0，∴a<2，

以下步骤同解法一．

18．（文）已知函数f（x）＝loga（3－ax）．

（1）当x∈[0,2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；

（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？

如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

[解析]　

（1）由题意，3－ax>0对一切x∈[0,2]恒成立，∵a>0且a≠1，

∴g（x）＝3－ax在[0,2]上是减函数，从而g

（2）＝3－2a>0得a<.∴a的取值范围为（0,1）∪.

（2）假设存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.

由题设f

（1）＝1，即loga（3－a）＝1，

∴a＝，此时f（x）＝log，当x＝2时，函数f（x）没有意义，故这样的实数a不存在．

（理）（2014·四川资阳二诊）设函数f（x）＝log4（4x＋1）＋ax（a∈R）．

（1）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；

（2）若不等式f（x）＋f（－x）≥mt＋m对任意x∈R，t∈[－2,1]恒成立，求实数m的取值范围．

[解析]　

（1）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，得f（x）＝f（－x）恒成立，

即log4（4x＋1）＋ax＝log4（4－x＋1）－ax，

所以2ax＝log4＝log4＝－x，

所以（2a＋1）x＝0恒成立，

则2a＋1＝0，故a＝－.

（2）f（x）＋f（－x）＝log4（4x＋1）＋ax＋log4（4－x＋1）－ax＝log4（4x＋1）＋log4（4－x＋1）＝log4[（4x＋1）·（4－x＋1）]＝log4（2＋4x＋4－x）≥log4（2＋2）＝1.

所以mt＋m≤1对任意t∈[－2,1]恒成立，令h（t）＝mt＋m，

由解得－1≤m≤，故实数m的取值范围是[－1，]．