数学建模答案.docx
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数学建模答案
城市表层土壤重金属污染分析
摘要
本文对城市标称土壤中金属污染进行了深入的研究。
问题一,首先利用差值拟合三维曲面构造空间分布,然后利用地积累指数法将8种元素分7个污染指数,在已分等级的基础上,求5个区各个采样点污染指数的和,得到5个区域每个区域的总污染量,用总污染量除采样点个数,求得各区的平均污染程度。
问题二,用统计的方法统记统计8种元素五个区,按相同污染等级各个区域所含的采样点的个数进行排序,排序的先后赋予权重,用各区的采样点个数乘权重,得该区在这一污染指数下的污染评价值,最后对全部污染指数所得污染评价值累加得到各区的总评价值,我们看出,8重元素都在4区,交通区污染最严重,那么我们得出结论,重金属污染的主要原因是由于交通区的污染。
问题三,首先建立扩散模型,找出各个元素对应污染指数最大的采样点作为基点,然后依次在方形域内查找各个基点的临近点计算各临近点到基点的距离作为
,计算各个临近点与污染点的金属含量差作为
,用七次多项式拟合出函数。
再扩大方形域搜索范围,并提出原方形域中的采样点,同样求得个采样点到基点的距离作为
,将金属含量差作为
带入所建立的7次多项式,求得修正指数
,
。
建立假设模型,污染指数最大点为基点,依次连接多级临近点,将曲线上所有临近点带入所得扩散模型中,得到各点到污染源点的距离。
而后,得到一个污染点可能存在的区域,再以这个极值点为基点查找出多个向外辐射的曲线,求出各个污染点可能存在区域重合部分,这个就是污染点的最终范围。
问题四,将几个人为确定的污染源带入到建立的扩散模型中,得到的人工的金属含量与采样点原有金属含量做比较,得出模型与实际的误差,分析模型的不足。
关键词:
空间分布地积累指数污染指数扩散模型方形查找域假设模型
一、问题的重述
1.1基本信息
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加,人类活动对城市环境质量的影响日显突出。
对城市土壤地质环境异常的查证,以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价,研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式,日益成为人们关注的焦点。
按照功能划分,城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等,分别记为1类区、2类区、……、5类区,不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。
现对某城市城区土壤地质环境进行调查。
为此,将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域,按照每平方公里1个采样点对表层土(0~10厘米深度)进行取样、编号,并用GPS记录采样点的位置。
应用专门仪器测试分析,获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。
另一方面,按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样,将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。
附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息,附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度,附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。
1.2需要解决的问题
(1)给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布,并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
(2)通过数据分析,说明重金属污染的主要原因。
(3)分析重金属污染物的传播特征,由此建立模型,确定污染源的位置。
(4)分析你所建立模型的优缺点,为更好地研究城市地质环境的演变模式,还应收集什么信息?
有了这些信息,如何建立模型解决问题?
二、问题分析与名词解释
2.1问题的初步分析
要根据传播特征判断污染源的位置,就要从污染较严重的地区入手,这样,就需要对该城区的各种金属污染程度分出明确的等级。
其中地形、区域与重金属污染程度的分布,有较明确的关系,这也就是问题最终要求的模型与算法。
对问题一,要建立8种元素在城区中的空间分布,就需要根据各采样点的坐标、海拔、所属区域,及与之相对应的8种元素的含量绘制2维、3维分布图。
由于采样点是不连续的,要绘制完整的分布图象,就需要在采样点间进行插值,这样就能绘制出完整的重金属空间分布。
要分析不同区域内重金属污染程度,就要利用题目所给出的背景值,来确定各种重金属明确的污染程度指标。
在此,分别用地累积指数法,来建立各种金属元素单独的污染指标。
而后,筛选出5个区的采样点,用所分的污染指标,求出各个区的平均污染指标,用各区的平均污染指标来表示各个区的污染程度。
对问题二,将8种元素污染指数最高采样点找出,分别统计每种元素每个最严重污染采样点所属区域、所在海拔。
然后再用同样的方法将8种元素污染指数次严重的采样点全部筛选出,统计所在区域,所属海拔。
建立比较模型,分析元素的污染与区域和海拔的关系。
对问题三,通过问题一所建立的各元素空间分布图象,可以看出重金属元素的污染源必定在污染极值点附近。
以各个元素的污染极值点为参考中心,用方形查找域查找极值点的相邻点,求得极值点与各相邻点的元素含量差值、距离、区域差别,并分析差值与距离、区域的关系。
用所确定的关系,通过建立假设模型,确定重金属元素污染源的位置。
对问题四,是检验查找污染源位置的模型,利用题目中给出的参考点数据对模型进行合理性分析,并结合得到的结果说明模型的精度。
为更好的研究地质演变模式提出新的模型,并在原有模型上提出改进模拟性,同时给出所需新数据。
2.2名词解释
背景值:
通常以一个国家或一个地区的土壤中某元素的平均含量作为背景值,以与污染区土壤中同一元素的平均含量进行对比,超过背景值即属土壤污染。
土壤背景值:
又称土壤本底值,是指在未受人类社会行为干扰(污染)和破坏时,土壤成分的组成和各组分(元素)的含量。
当今,由于人类活动的长期影响和工农业的高速发展,使得自然环境的化学成分和含量水平发生了明显的变化,要想寻找绝对未受污染的土壤十分困难。
所以,土壤背景值是环境保护的基础数据,是研究污染物在土壤中变迁和进行土壤质量评价与预测的重要依据,同时为土壤资源的保护和开发以及农林经济发展提供依据。
三、模型假设
(1)直线距离即为两点点距离;
(2)不考虑多于的外界因素例如空气流动、河流的冲刷对土壤元素传播的影响;
(3)各种区域间有严格的边界;
(4)元素间的传播互不影响
四、模型的建立与求解
从所要解决的问题和所做的假设出发,我们对问题进行了如下处理:
问题Ⅰ为构建各元素在该城区的空间分布,利用插值拟合的方法,将附件中数据导入
中,用
函数对数据进行插值,然后用
函数对数据进行
拟合得到元素的空间分布。
最后采用地积累指数算法对8种重金属元素划分污染程度。
问题Ⅱ通过统计污染极值点所属各个区域的个数,分析与其相邻点的海拔、位置关系得出污染的主要原因。
问题Ⅲ通过得到的极值点和相邻的含量差异与海拔、位置的关系,建立假设模型,用假设模型计算出污染源的位置。
最后用所得污染源位置及元素传播特点返推采样点数值,并与采样点实测数值做对比,验证模型的合理性。
问题Ⅳ通过验证模型。
4.1问题一的解答
4.1.1元素空间分布的建立
1)
元素的空间分布(见图1)
元素的空间分布,用于描述各种元素在平面坐标中的分布
图1As元素的空间分布
2)地积累指数法评价
式中:
为污染指数,
为元素含量,
为该元素背景值,
为某种元素。
污染指数
分级
污染程度
0
0
无污染
0~1
1
轻度污染~中等污染
1~2
2
中等污染
2~3
3
中等污染~强污染
3~4
4
强污染
4~5
5
强污染~及严重污染
5~10
6
及严重污染
表1Muller污染指数分级
将8种重金属元素分为7污染等级,形成8列的等级矩阵(见附表1,由于数据量很大,在此只显示一部分)。
用筛选法筛选出5个分区所包含的参考点构成的区域矩阵,将区域矩阵内参考点所对应的8组元素污染指数相叠加并求平均值,这样就求出了5个区域的平均污染程度。
(1)
(2)
(3)
其中
等元素,是属于该区域的评价值,我们定义为污染指数。
再将上述各区域内污染指数全部累加,除以属于该区域的总采样点数,得到各区域平均污染程度。
(4)
其中
为该区域内总采样点个数,
代表将矩阵内数据求和。
这样,就求出了5个区域内的平均污染程度(见表2)。
区域
1区
2区
3区
4区
5区
平均污染指数
5.0909
4.1111
6.1818
8.3333
3.75
表2各区域平均污染指数
4.2问题二的解答
首先我们用分层统计的方法来分析重金属污染指数与区域间的关系,五个区域中,各个区域统计各个元素污染指数最高的采样记为:
(5)
其中
,每个元素
都代表一个向量,里面包含数目不同的采样点,从各个元素中取出污染等级最高的采样点,统计他们在各个区的数目
并排序:
(6)
从个数排在第一的区域依次赋权重,
(7)
以
元素为例:
区域
污染等级
1区
2区
3区
4区
5区
0
28
19
10
66
25
1
14
14
55
69
9
2
2
2
1
1
1
3
0
1
0
2
0
4
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
表3As元素各区域污染等级采样数目
排序结果:
4区、2区、(1区、3区、5区),其中4区排第一位故4区值为
,2区排第二故2区值为:
,以此类推其余区值为0
同样再将污染指数最高的采样点个数累加到污染指数次高的采样中,
(8)
继续比较同种元素中,不同区域间采样点个数的不同,由于地累积指数法总共分7个等级,故分层比较7次,最后将5次比较的排序结果乘权重,加和七次的值,得到8种元素每个元素,在各个区域中的污染情况。
其余各元素见附表2~8
最后发现,8种元素全部元素污染最严重的区域都是4交通区。
所以可以确定,污染的主要原因中,有一个主要原因就是因为4区的交通污染。
我们用同样的方法筛选出8种元素七污染指数下各个采样点的海拔,
(9)
其中
采样点个数,同样从污染指数最高的点开始求采样点中海拔的方差,
(10)
求完污染指数最高的采样点的方差,将这些采样点划归到下一个等级污染指数的采样点中,
(11)
再求方差,当方差值变大时,将两个污染指数采样点的海拔平均值做差,
(12)
用污染指数高的减污染指数低的,最后七个等级会做出6个差值,
(13)
将差值相加作为污染指数间的海拔差异值,
(14)
由于有8个
最后得到8个海拔差异值。
当差异值为正时表示该元素的污染指数受海拔影响污染指数越高平均海拔越高,反之,当差异值为负时,说明该元素的污染指数受海拔影响,污染指数越大平均海拔越低。
4.4问题三的解答
要确定污染点位置,首先要分析重金属污染元素的传播特征。
从物理的角度分析,我们可以知道,污染物的传播在一定情况下近似于物质的扩散。
所以从各个元素污染指数最高的采样点开始分析,以采样点作为基点建立正方形搜索范围,首先人工赋予查找范围值为800进行小范围搜索,将8个元素污染指数最高的采样点的元素含量值、海拔、区域分别和与之对应的相邻点作比较。
由于采样点也在搜索范围之内,在此我们并不将采样点剔出,并对采样点进行与相邻点同样的操作,以此比较采样点和相邻点的差异性。
1)建立传播模型,我们将海拔值用到求两点之间的距离中,将相邻点数据逐个与基点求距离。
(15)
上述数据表示共
个相邻点,
表示第
个相邻点到基点的距离。
由于污染的传播属于一类扩散问题,所以污染源的传播特征必定与污染源和被传播点间的距离有关。
再由于第二问中可以看出重金属污染元素污染污染指数高的采样点主要集中在4区(交通区),以及通过数据分析我们发现即使某些相邻点与基点的距离很近但是其污染指数依旧与基点的污染指数相差甚远,所以在一些特定元素创建一个区域间的传播上衰减指
数来修正只由距离来建立的传播模型。
同时下衰减指数
来修正那种距离污染指数高的采样点近的相邻点元素含量变化少的情况。
同样,在数据分析时发现,在那些污染指数低的采样点中,两个采样点相邻很近而且污染指数相差不多,这样,判断出区间衰减指数必须是一个以和污染源距离为自变量的函数。
首先,以各元素污染指数最高的采样点作为基点,建立一个大范围方形查找域,
(16)
得到与基点相对应的相邻点,再在大范围方形域中建立一个与其范围相差不多的小范围方形域,
(17)
得到在这之内的相邻点,剔除掉大范围方形域中小范围方形域的相邻点。
(18)
求这些相邻点与基点的距离舍为变量X,
(19)
求两点之间元素含量的差值定为因变量Y。
(20)
用多项式拟合来球得分变量与自变量的关系多项式拟合的次数定位7次多项式。
(21)
其次,由于我们建立的7次拟合多项式是由离基较远的相邻点构成的,所以必定在一些元素中必定不符合与基点很近的含量情况,所以这样,我们就利用在大方形域中的小方形域搜索域来确立相邻点,进行衰减值
的确定。
这里我们用所求得的七次多项式赋予采样点的坐标值求得相邻点的假象值并与采样点的真实值做差求出采样点同样用这个差值作为因变量
,用相邻点到基点的距离作为自变量
同样用多项式拟合求出一个与相邻点到基点距离有关的5次多项式,作为修正值来修正。
(22)
另一些元素的相邻点在近处与基点的元素含量差值很小,而在远处的差值很大,所以每种元素有各自的修正值及扩散方程。
这样,我们就共求得8组扩散方程、修正多项式。
(23)
2)建立查找污染点的假设模型
依然将8种元素污染指数最高的点定义为基点
,然后建立方形查找域,
查找与基点相邻的小范围搜索域,
再以各个相邻点为次基点建立小范围搜索域,以基点到次基点为方向向量在已求的相邻点中筛选与次基点不超过原有向量不超过
,的相邻点。
这样连续进行3次搜索就可以确定4个点,这4个点近似成以基点为中心向外发散的曲线。
将这些点带入到对应元素的扩散方程中。
求得各点到污染源的距离,我们根据这些距离确定一个污染源范围,而后再将剩下的曲线带入到方程中,当其他曲线所得污染源有60%落在此范围内,则证实此范围正确。
4.5问题四的解答
模型的优点:
充分利用了题目中所给出的给项数据,紧贴题目要求。
扩散模型很联系实际,反映了实际情况
模型的缺点:
由于对数据反复的调用与分组,增加了编写程序的困难,同时增加了数据处理的频率,这就大大延长了运算时间与工作效率。
为了更好地研究城市地质环境的演变模式,还应收集不同时间土壤中重金属污染物的含量。
有了不同时间土壤中重金属污染物的含量,我们可以根据不同位置、不同时间及土壤中重金属污染物的含量,作为BP神经网络的输入,而将某一位置重金属污染物的含量作为输出,建立神经网络模型。
BP神经网络模型由3部分组成:
输入层、隐层和输出层。
输入层和输出层一般只有一个,隐层可能有若干个。
各层神经元并行分布,只存在层与层神经元之间的联系,层内神经元之间没有任何联系。
它采用有教师指导的学习训练算法,把学习过程分为两个阶段:
即正向传播阶段和反向传播阶段。
两个阶段反复交替进行,直到网络输出与期望输出一致为止。
学习训练完毕后的网络结构和状态就代表了输入——输出之间关系的映射模型,它不是常规的用数学表达式表示出的函数或回归模型,而是一种黑箱的、智能的仿真模型,神经网络图见附表图12。
六、参考文献
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高等教育出版社,2003
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七、附录
As
Cd
Cr
Cu
Hg
Ni
Pb
Zn
0
1
1
0
3
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
2
1
2
2
1
0
2
0
0
1
0
5
1
1
0
0
2
0
3
4
0
2
3
2
3
0
4
5
0
4
4
0
0
2
2
2
1
0
0
0
3
3
6
6
2
4
4
0
3
0
3
6
0
2
4
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
3
1
1
1
0
0
1
2
2
0
0
2
0
1
0
0
2
0
0
1
1
0
3
3
0
1
2
4
0
2
0
3
2
0
2
3
2
3
2
3
2
0
4
3
0
2
0
4
2
1
2
2
0
0
0
3
3
0
0
2
0
0
2
2
0
1
0
2
0
2
5
3
2
0
3
4
0
0
0
0
0
1
0
2
0
3
5
6
2
3
2
5
0
0
2
3
0
0
0
3
附表1
24
16
14
61
11
13
6
50
33
17
6
11
2
36
4
1
3
0
7
3
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
附表2
19
13
16
48
8
21
21
49
81
26
3
1
1
6
1
0
1
0
2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
附表3
17
15
18
45
24
9
2
46
22
9
10
12
2
48
1
6
5
0
17
1
2
1
0
5
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
附表4
13
7
14
26
8
20
11
51
68
17
7
6
1
26
6
3
5
0
10
3
1
2
0
2
0
0
3
0
1
1
0
2
0
5
0
附表5
22
17
14
42
8
22
18
50
94
27
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
附表6
17
18
8
58
7
21
8
56
54
22
4
8
2
26
5
1
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
附表7
12
13
5
49
12
19
9
60
45
19
9
9
1
31
2
2
2
0
8
1
1
3
0
3
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
附表8
图2As的分布
图3Cd的分布
图4
图5
图6
图7
图8
图9
图10
图11
图12
%//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
fori=1:
8
z=yuansu(:
1+i)
scatter(x,y,5,z)%É¢µãͼ
figure
[X,Y,Z]=griddata(x,y,z,linspace(0,28654)',linspace(0,18449),'linear');%²åÖµ
pcolor(X,Y,Z);shadinginterp%α²Êɫͼ
figure,contourf(X,Y,Z)%µÈ¸ßÏßͼ
figure,surf(X,Y,Z)%ÈýάÇúÃæ
end
%////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
forj=1:
8
fori=1:
5
A(yuansux(find(yuansux(:
13)==i),1),i+((j-1)*5))=yuansux(find(yuansux(:
13)==i),14+j);
end
end
%½«5¸öÇøÊÜÄÄÖÖÎÛȾ¶¼·Ö³öÀ´
forj=1:
8
fori=1:
5
B(yuansux(find(yuansux(:
13)==i),1),i+((j-1)*5))=jishu(find(yuansux(:
13)==i),j);
end
end
%·Ö¼¶½«B¸³ÓèÎå¸ö·ÖÇø8¸öÔªËصÄÎÛȾµÈ¼¶
fori=1:
5
C(:
i)=B(:
i)+B(:
i+5)+B(:
i+10)+B(:
i+15)+B(:
i+20)+B(:
i+25)+B(:
i+30)+B(:
i+35);
end
tx=[]
tx=[tx;as{1,3}(:
1:
2);zeros(1,2)];
tx=[tx;as{2,4}(:
1:
2);zeros(1,2)];
tx=[tx;as{3,4}(:
1:
2);zeros(1,2)];
tx=[tx;as{4,5}(:
1:
2);zeros(1,2)];
tx=[tx;as{5,6}(:
1:
2);zeros(1,2)];
tx=[tx;as{6,3}(:
1:
2);zeros(1,2)];
tx=[tx;as{7,4}(:
1:
2);zeros(1,2)];
tx=[tx;as{8,6}(:
1:
2);zeros(1,2)];
dx=find(tx==0)
cx=[]
fori=1:
length(ux)
gx=[]
gx(1,1)=yuansu(find(yuansux(:
11)==ux(i,2)),2)%////////////////
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