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刘杰051第9章多元回归分析17页
第9章:
多元回归分析
实验目的:
1.直观了解多元回归分析的基本内容;
2.掌握用数学软件求解多元回归分析问题。
实验内容:
1.多元回归分析的基本理论;
2.用数学软件求解多元回归分析问题;
3.课堂实验练习。
一、多元线性回归
(一)回归模型
称如下模型为多元线性回归模型(高斯-马尔可夫线性模型)
其中
,
,
,
。
称
为回归平面方程。
%Y必须是列向量
多元线性回归分析的主要任务是:
(1)用样本值对未知参数
和
作点估计;
(2)对回归系数
作假设检验;
(3)在
处对y作预测与控制,并对y作区间估计。
(二)模型参数估计
1.回归系数
的最小二乘估计
作离差平方和:
最小二乘法就是选择
的估计
,使得
称
为
的最小二乘估计(LS估计)。
2.
的无偏估计
残差平方和:
则
,称
为剩余方差,它是
的无偏估计。
(三)检验、预测与控制
1.回归方程的显著性检验
对回归方程
的显著性检验,可提出如下原假设:
若假设
被拒绝,则回归显著,认为
与
之间确有线性关系,所求的线性回归方程有意义;否则回归不显著。
2.预测
(1)点预测:
根据回归方程,给定自变量
,预测
.
(2)区间预测:
给定自变量
,预测
的置信区间
.
(四)回归分析的相关命令
1.确定回归系数的点估计:
b=regress(Y,X)
2.求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型:
[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)
(1)相关系数
越接近1,说明回归方程越显著;
(2)
时拒绝
,
值越大,说明回归方程越显著;
(3)
时,拒绝
,说明回归模型成立。
3.画出残差及置信区间:
rcoplot(r,rint)%筛选不符合的数据
4.方程回归系数的检验:
stepwise(X,Y)
【例9-1】火柴消费与各因素之间的关系分析
火柴公司的火柴销售量与各方面因素有很大联系,根据往年的销售情况,收集到了以下的一些数据:
年份
火柴销售量y
/万件
煤气、液化气用户x1/万户
卷烟销售量x2
/万箱
蚊香销售量x3
/十万盒
打火石销售量
X4/万粒
1971
17.84
27.43
21.43
11.09
25.78
1972
18.27
29.95
24.96
14.48
28.16
1973
20.29
33.53
28.37
16.97
24.26
1974
22.61
37.31
42.57
20.16
30.18
1975
26.71
41.16
45.16
26.39
17.08
1976
31.19
45.73
52.46
27.04
7.39
1977
30.50
50.59
45.3
23.08
3.88
1978
29.63
58.82
46.80
24.46
10.53
1979
29.69
65.28
51.11
33.82
20.09
1980
29.25
71.25
53.29
33.57
21.22
1981
31.05
73.37
55.36
39.59
12.63
1982
32.28
76.68
54.00
48.49
11.17
试分析火柴的销售量与各个因素之间的关系。
1.回归分析及其检验
运行结果如下:
从上述分析结果可得:
回归方程:
相关系数:
,说明线性程度较好;
检验统计量:
,说明回归方程显著;
接受原假设的概率:
,说明回归方程显著。
2.残差分析,作残差图
从上图可以看出,第9个点和第11个点为奇异点,可以舍弃后重新求解回归方程。
3.对系数进行逐步检验
从上表可以看出系数
对
影响不显著,可以认为蚊香的销售量与火柴的销售量基本无关,删除该变量,重新计算如下:
经过重新计算,可得回归方程如下:
二、一元多项式回归
(一)回归
1.确定多项式系数
格式:
[p,s]=polyfit(x,y,m)
功能:
利用m次多项式对数据x,y进行曲线拟合,p为多项式系数,s为一个矩阵,用来估计预测误差。
2.一元多项式回归命令
格式:
polytool(x,y,m)
功能:
此命令产生一个交互式的画面,画面中有拟合曲线和y的置信区间。
(二)预测和预测误差估计
格式1:
Y=polyval(p,x)
功能:
求回归多项式p在x处的预测值Y。
格式2:
[Y,delta]=polyconf(p,x,s,alpha)
功能:
求回归多项式p在x处的预测值Y,以及预测值Y的置信区间Y±delta.
【例9-2】观测物体降落的距离s与时间t的关系,得到数据如下表:
t(s)
1/30
2/30
3/30
4/30
5/30
6/30
7/30
s(cm)
11.86
15.67
20.60
26.69
33.71
41.93
51.13
t(s)
8/30
9/30
10/30
11/30
12/30
13/30
14/30
s(cm)
61.49
72.90
85.44
99.08
113.77
129.54
146.48
1.作二次多项式回归
运行结果:
即回归模型为:
2.预测与作图
上图的结果表明二次多项式回归方程效果显著。
思考:
可否将上例中的一元多项式回归转化为多元线性回归进行分析?
【课堂练习】
1.(人口预测)以下是美国人口两个世纪以来的统计数据:
(单位:
百万)
年份
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
1870
1880
1890
1900
人口
5.3
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
31.4
38.6
50.2
62.9
76.0
年份
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
人口
92.0
106.5
123.2
131.7
150.7
179.3
204.0
226.5
251.4
275.0
(1)请利用一元多项式回归方法建立美国人口预测模型;
(2)试预测2020年的美国人口数量。
2.世界卫生组织推荐的“体质指数”BMI(BodyMassIndex)的定义为BMI=W/H,其中W表示体重(单位:
kg),H表示身高(单位:
m)。
显然它比体重本身更能反映人的胖瘦,对30个人测量他(她)们的血压和体质指数,如下表所示:
序号
血压
/mmHg
年龄
体质指数
吸烟习惯
序号
血压
/mmHg
年龄
体质指数
吸烟习惯
1
144
39
24.2
0
16
130
48
22.2
1
2
215
47
31.1
1
17
135
45
27.4
0
3
138
45
22.6
0
18
114
18
18.8
0
4
145
47
24.0
1
19
116
20
22.6
0
5
162
65
25.9
1
20
124
19
21.5
0
6
142
46
25.1
0
21
136
36
25.0
0
7
170
67
29.5
1
22
142
50
26.2
1
8
124
42
19.7
0
23
120
39
23.5
0
9
158
67
27.2
1
24
120
21
20.3
0
10
154
56
19.3
0
25
160
44
27.1
1
11
162
64
28.0
1
26
158
53
28.6
1
12
150
56
25.8
0
27
144
63
28.3
0
13
140
59
27.3
0
28
130
29
22.0
1
14
110
34
20.1
0
29
125
25
25.3
0
15
128
42
21.7
0
30
175
69
27.4
1
(1)请建立血压与年龄以及体质指数之间的模型,并作回归分析;
输入的程序:
x=[1443924.20;
2154731.11;
1384522.60;
1454724.01;
1626525.91;
1424625.10;
1706729.51;
1244219.70;
1586727.21;
1545619.30;
1626428.01;
1505625.80;
1405927.30;
1103420.10;
1284221.70;
1304822.21;
1354527.40;
1141818.80;
1162022.60;
1241921.50;
1363625.00;
1425026.21;
1203923.50;
1202120.30;
1604427.11;
1585328.61;
1446328.30;
1302922.01;
1252525.30;
1756927.41];
X=[ones(size(x(:
1))),x(:
2:
3)];
Y=x(:
1);
[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X)
输出的结果:
b=
30.7550
0.4701
3.6754
bint=
-10.475271.9852
0.02550.9147
1.61995.7309
r=
5.9657
47.8444
3.0258
3.9400
5.4949
-2.6329
-0.6769
1.0948
-4.2234
25.9836
-1.7534
-1.9067
-18.8301
-10.6145
-2.2560
-4.9143
-17.6163
5.6851
-7.2217
5.2914
-3.5643
-8.5563
-15.4615
4.7617
8.9565
-2.7876
-20.3860
4.7526
-10.4959
11.1013
rint=
-22.126634.0580
31.795663.8933
-24.939630.9911
-24.246832.1268
-21.681632.6713
-30.892925.6272
-27.613626.2598
-25.587727.7774
-31.395722.9489
4.178147.7891
-29.200425.6935
-29.927526.1141
-45.60027.9399
-37.604516.3754
-30.040825.5287
-32.514522.6858
-44.35699.1244
-20.499531.8697
-33.770419.3270
-21.366831.9495
-31.420524.2918
-36.517819.4053
-42.972812.0498
-22.085031.6083
-18.540836.4537
-30.243924.6688
-46.59715.8252
-22.889332.3946
-36.568415.5767
-15.539937.7426
stats=
0.635723.55250.0000189.4198
(2)如果他(她)们还有吸烟习惯的纪录,怎样在模型中考虑这个因素,吸
烟会使血压升高吗?
;
输入的程序:
x=[1443924.20;
2154731.11;
1384522.60;
1454724.01;
1626525.91;
1424625.10;
1706729.51;
1244219.70;
1586727.21;
1545619.30;
1626428.01;
1505625.80;
1405927.30;
1103420.10;
1284221.70;
1304822.21;
1354527.40;
1141818.80;
1162022.60;
1241921.50;
1363625.00;
1425026.21;
1203923.50;
1202120.30;
1604427.11;
1585328.61;
1446328.30;
1302922.01;
1252525.30;
1756927.41];
X1=[ones(size(x(:
1))),x(:
2:
4)];
Y=x(:
1);
[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X1)
输入的结果:
b=
45.3636
0.3604
3.0906
11.8246
bint=
3.553787.1736
-0.07580.7965
1.05305.1281
-0.148223.7973
r=
9.7907
44.7583
6.5734
-3.2986
1.3429
2.4867
-2.5039
2.6172
-7.3956
28.8084
-4.7870
4.7197
-10.9972
-9.7362
0.4360
-13.0960
-11.2613
4.0473
-6.4176
5.3424
0.3993
-14.1789
-12.0459
4.3303
3.2017
-6.6774
-11.5292
-5.6311
-7.5639
8.2656
rint=
-16.370335.9517
30.018459.4982
-19.603032.7499
-28.996022.3987
-24.174226.8599
-23.810528.7839
-27.982522.9747
-22.641127.8754
-32.848118.0569
9.363548.2532
-30.583821.0099
-20.918930.3583
-35.726113.7317
-35.346615.8742
-25.803326.6754
-37.375111.1832
-36.261513.7389
-20.788328.8828
-31.616318.7811
-19.946330.6311
-25.757526.5561
-39.623011.2651
-38.119114.0273
-21.150829.8115
-22.408128.8115
-32.302418.9477
-35.477012.4186
-29.534318.2722
-32.255617.1277
-16.979433.5106
stats=
0.685518.89060.0000169.7917
(3)画残差图,并作残差分析;
输入的程序:
rcoplot(r,rint)
stepwise(x(:
2:
4),x(:
1))
输出的结果:
回归方程:
y=58.5101+0.4302*x1+2.3449*x2+10.3065*x3
(4)请对50岁且体质指数为25的吸烟者的血压做预测。
输入:
x1=50;
x2=25;
x3=1;
y=58.5101+0.4302*x1+2.3449*x2+10.3065*x3
输出:
y=
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1、世事忙忙如水流,休将名利挂心头。
粗茶淡饭随缘过,富贵荣华莫强求。
2、“我欲”是贫穷的标志。
事能常足,心常惬,人到无求品自高。
3、人生至恶是善谈人过;人生至愚恶闻己过。
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