列方程解应用题专题训练教研.docx
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列方程解应用题专题训练教研
列方程解应用题专题训练
知识要点:
1、列方程解应用题的意义
★用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。
2、列方程解答应用题的步骤
★弄清题意,确定未知数并用x表示;
★找出题中的数量之间的相等关系;
★列方程,解方程;
★检查或验算,写出答案。
3、列方程解应用题的方法
★综合法:
先把应用题中已知数(量)和所设未知数(量)列成有关的代数式,再找出它们之间的等量关系,进而列出方程。
这是从部分到整体的一种思维过程,其思考方向是从已知到未知。
★分析法:
先找出等量关系,再根据具体建立等量关系的需要,把应用题中已知数(量)和所设的未知数(量)列成有关的代数式进而列出方程。
这是从整体到部分的一种思维过程,其思考方向是从未知到已知。
4、常见的一般应用题
一、以总量为等量关系建立方程
例题 两列火车同时从距离536千米的两地相向而行,4小时相遇,慢车每小时行60千米,快车每小时行多少小时?
解法一:
快车4小时行的+慢车4小时行的=总路程
解设:
快车小时行X千米
4X+60×4=536
4X+240=536
4X=296
X=74
解法二:
解设:
快车小时行X千米
(X+60)×4=536
X+60=536÷4
X=134一60
X=74
答:
快车每小时行驶74千米。
练一练
1降落伞以每秒10米的速度从18000米高空下落,与此同时有一热汽球从地面升起,20分钟后伞球在空中相遇,热汽球每秒上升多少米?
2甲、乙两个进水管往一个可装8吨水的池里注水,甲管每分钟注水400千克,要想在8分钟注满水池,乙管每分钟注水多少千克?
3两城相距600千米,客货两车同时从两地相向而行,客车每小时行70千米,货车每小时行80千米,几小时两车相遇?
4两地相距249千米,一列火车从甲地开往乙地,每小时行55.5千米,行了多少小时还离乙地有27千米?
⑤电机厂计划生产1980台电动机,已经生产了4天,每天生产45台,由于改进了技术,以后每天比原来增产15台,实际完成任务需几天?
二、以总量为等量关系建立方程
例题 甲、乙两个粮仓一共有粮6800包,甲是乙的3倍,两仓各有多少包?
解设:
乙仓有粮X包,那么甲仓有粮3X包
甲粮仓的包数+乙粮仓的包数=总共的包数
X+3X=6800
4X=6800
X=1700
3X=3×1700=5100
检验:
1700+5100=6800包(甲乙两仓总共的包数)
或5100÷1700=3(甲仓是乙仓的3倍)
答:
甲原有粮5100包,乙原有粮1700包。
练一练
1学校买来乒乓球和蓝球一共135个,买来的乒乓球是蓝球的8倍,两种球各多少个?
2有一个上下两层的书架一共放了240书,上层放的书是下层的2倍,两层书架各放书多少本?
3图书馆买来文艺科技书共235本,文艺书的本数比科技书的2倍多25本,两种书各买了多少本?
4甲、乙、丙三人为灾区捐款共270元,甲捐的是乙捐的3倍,乙是丙的两倍,三人各捐多少元?
⑤A、B两个码头相距379.4千米,甲船比乙船每小时快3.6千米,两船同时在这两个码头相向而行,出发后经过三小时两船还相距48.2千米,求两船的速度各是多少?
三、以相差数为等量关系建立方程
例题:
化肥厂三月份用水420吨,四月份用水380吨,四月份比三月份节约水费60元,这两个月各付水费多少元?
解设:
每吨水费X元
三月份的水费一四月份的水费=节约的水费
420X一380X=60
40X=60
X=1.5
三月份付水费1.5×420=630(元)
四月份付水费1.5×380=570(元)
答:
三月份付水费630元,四月份付水费570元。
练一练:
1新华书店发售甲种书90包,乙种书68包,甲种书比乙种书多1100本,每包有多少本?
2一篮苹果比一篮梨子重30千克,苹果的千克数是梨子的2.5倍,求苹果和梨子各多少千克?
3小亮购买每支0.5元和每支1.2元的笔共20支,付20元找回404元,两种笔各买了多少支?
4两个水池共贮水60吨,甲池用去6吨,乙池又注入8吨水后,乙池的水比甲池的水少4吨,原来两池各贮水多少吨?
5师徒两人共同加工一批零件,徒弟每天做30个,师傅因有事只做了6天,比徒弟少做了3天还比徒弟多做12个零件,师傅每天做几个?
四、以题中的等量为等量关系建立方程
例题:
有两桶油,甲桶油重量是乙桶油的2倍,现在从甲桶中取出25.8千克,从乙桶中取出剩下的两桶油重量相等,两桶油原来各有多少千克?
解设:
乙桶油为X千克,那么甲桶油为2X千克
甲桶剩下的油=乙桶剩下的油
2X一25.8=X一5.2
2X一X=25.8一5.2
X=20.6
2X=20.6×2=41.2
答:
甲桶油重4102千克,乙桶油重20.6千克,
练一练:
1甲厂有钢材148吨,乙厂有112吨,如果甲厂每天用18吨,乙厂每天用12吨,多少天后两厂剩下的钢材相等?
2一个两层的书架,上层放的书是下层的3倍,如果把上层的书放90本到下层,则两层的书相等,原来上下层各有书多少本?
3甲车间有54人,乙车间有48人,在式作时,为了使两车间人数相等,甲车间应调多少人去乙车间?
4超市存有大米的袋数是面粉的3倍,大米买掉180袋,面粉买掉50袋后,大米、面粉剩下的袋数相等,大米、面粉原各多少袋?
5某校有苦于人住校。
若每一间宿舍住6人,则多出34人;若每一间宿舍住7人,则多出4间宿舍。
问有多少人住校?
有几间宿舍?
6甲仓所存的面粉是乙仓的3倍,如果从甲仓运走900千克,从乙仓运出80千克,则两仓所存的面粉相等,两仓原有面粉各多少千克?
7有箱桔子,甲箱的重量是乙箱的1.8倍,如果从甲箱中取出1.2千克放篱乙箱,那么两箱的重量相等了,原来甲乙两箱各多少千克?
8一个通讯员骑自行车要在规定的时间内把信件送到某地,他每小时15千米查以早到24分钟,每小时骑12千米要迟到15分钟,规定时间是多少?
他去某地的路程有多远?
9一列火车从甲地开往乙地每小时50千米,一小时后另一列火车也从甲地开往乙地每小时行60千米,结果两列火车同时到达乙3地,甲、乙两地相距多少千米?
⑩甲级糖每千克16.60元,乙级糖每千克8.80元。
商店用80千克甲级糖和若干乙级糖混合后平均每千克售价14.00元,乙级糖要多少千克?
五、以较大的量或几倍数为等量关系建立方程
例题:
两筐苹果,每筐的个数相等,从甲筐卖出150个,从乙筐卖出194个后,剩下的苹果甲筐是乙筐的3倍,原来每筐有多少个?
解设:
原来每筐X个
甲筐剩下的=乙筐剩下的3倍
X一150=(X一194)×3
X一150=3X一582
2X=432
X=216
答:
原来甲筐有苹果216。
练一练:
1修一条水渠计划需70人挖土,50人运土,而实际上挖土人数是运土人数的3倍,问从运土的人中调多少人去挖土?
2电力公司现有职工1240人,比五年前的6倍不多40人,五年前电力公司有多少人?
3有两堆煤,甲堆有32吨,乙堆有57吨,以后甲堆每天增加4吨,乙堆每天增加9吨,几天后乙堆的煤是甲堆的2倍?
4甲乙两厂用同样的原料生产同样的产品,甲厂有720吨,乙厂有540吨,两厂同时生产并每天都用去20吨,多少天后甲厂所剩的原料是乙厂所剩原料的2倍?
5甲乙两个工程队,甲队原有240人,乙队原有168人,因工作需要将甲队的人数调整到乙队的2倍,应由乙队抽调多少人到甲队?
6兄妹两人各有钱若干,如果兄给妹20元两人钱数就相等,如果妹给兄25元,则兄的钱是妹的2倍,问兄妹两人各有多少钱?
7兄妹有相等的存款,如果兄给妹160元,那么妹的存款是兄的3倍,求兄妹两人存款之和?
8弟弟今年5岁,哥哥今年18岁,几年后哥哥的年龄是弟弟的2倍?
9父亲今年45岁,儿子今年15岁,几年前父亲的年龄是儿子的11倍?
⑩甲原有的钱是乙的4倍,若甲给乙40元则甲的钱是乙的3倍,甲、乙现有钱各多少?
六、根据题目中条件选择解题方法
例题:
桃树有300棵,杏树比桃树的2倍多30棵,杏树有多少棵?
解:
设:
杏树为X棵
2X+30=300
2X=270
X=135
答:
杏树有630棵。
练一练:
1地球绕太阳一周要用365天,比水星绕太阳一周要用的时间的4倍多13天,水星绕太阳一周要用多少天?
2某厂计划今年生产机器480台,比去年的2倍少30台,去年生产机器多少台?
3世界上最小的鸟是蜂鸟,一只蜂鸟重2.1克,一只麻雀的体重比蜂鸟的50倍多1克,一只麻雀衙多少克?
4我国发射的第一颗人造地球卫星重173千克,比美国发射的第一颗人造地球卫星的2倍还重0.38千克。
美国发射的第一颗人造地球卫星重多少千克?
5厂今年烧煤50吨,去年烧的煤比今年的2倍少10吨,去年烧煤多少吨?
【典型题目解析】:
1、10名同学参加数学竞赛,前4名同学平均得分150分,后6名同学平均得分比10人的平均分少20分,这10名同学的平均分是________分。
【解】:
设10人的平均分为a分,这样后6名同学的平均分为a-20分,所以列方程:
[10a-6×(a-20)]÷4=150
解得:
a=120。
2、某商店想进饼干和巧克力共444千克,后又调整了进货量,使饼干增加了20千克,巧克力减少5%,结果总数增加了7千克。
那么实际进饼干多少千克?
(02年人大附中入学测试题)
【解】:
设饼干为a,则巧克力为444-a,
列方程:
a+20+(444-a)×(1+5%)-444=7
解得:
a=184。
3、某文具店用16000元购进4种练习本共6400本。
每本的单价是:
甲种4元,乙种3元,丙种2元,丁种1.4元。
如果甲、丙两种本数相同,乙、丁两种本数也相同,那么丁种练习本共买了_________本。
【解】:
设甲、丙数目各为a,那么乙、丁数目为
,所以列方程
4a+3×
+2a+1.4×
=16000解得:
a=1200。
4、六年级某班学生中有
的学生年龄为13岁,有
的学生年龄为12岁,其余学生年龄为11岁,这个班学生的平均年龄是_________岁。
【解】:
因为是填空题,所以我们直接设这个班有16人,计算比较快。
所以题目变成了:
1个学生年龄为13岁,有12个学生年龄为12岁,3个学生学生年龄为11岁,求平均年龄?
(13×1+12×12+11×3)÷16=11.875,即平均年龄为11.875岁。
如果是需要写过程的解答题,则可以设这个班的人数为a,则平均年龄为:
=11.875。
5、某个五位数加上20万并且3倍以后,其结果正好与该五位数的右端增加一个数字2的得数相等,这个五位数是__________。
【解】:
设这个五位数为x,则由条件(x+200000)×3=10x+2,
解得x=85714。
6、大小酒桶共80个,每个大桶可装酒25千克,每个小桶可装酒15千克,大桶比小桶共多装600千克,则大酒桶有个。
解:
方法一:
设有大桶x个,于是25x-15(80-x)=600,解得x=45个。
方法二:
鸡兔同笼,假设全是大桶,这样就是0个小桶,这样大桶比小桶多装80×25=2000千克,而现在只有多装了600千克,所以多2000-600=1400千克,每个大桶变成小桶大桶比小桶多装的就减少25+15=40千克,所以有1400÷40=35个小桶,所以大桶的数目为45个。
7、某自来水公司水费计算办法如下:
若每户每月用水不超过5立方米,则每立方米收费1.5元,若每户每月用水超过5立方米,则超出部分每立方米收取较高的定额费用,1月份,张家用水量是李家用水量的
,张家当月水费是17.5元,李家当月水费27.5元,超出5立方米的部分每立方米收费多少元?
【解】:
设出5立方米的部分每立方米收费X,
(17.5-5×1.5)÷X+5=[(27.5-5×1.5)÷X+5]×(2/3)
解得:
X=2。
8、(★★)商店在销售二种售价一样的商品时,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件商品总的是盈利还是亏损.
解:
设这两件商品售价都为x元
因为进价为,x/(1+25%)+x/(1-25%)=4/5x+4/3x=32/15x
售价为,x+x=2x
32/15x>2x即进价>售价
所以亏损
9、(★★★)高中学生的人数是初中学生人数的5/6,高中毕业生的人数是初中毕业生人数的12/17。
高、初中的毕业生离校后,高、初中留下的人数都是520。
那么,高、初毕业生共有多少人?
[思路]:
要想求出高、初中毕业生共有的人数,可以先分别求出高中毕业生与初中毕业生各是多少.已知条件中高中毕业生是初中毕业生人数的12/17,又知高、初中毕业生离校后都留下520人.如果设初中毕业生为x人,则原初中生有(x+520)人,高中毕业生为(12/17)x人,原高中生有(12/17x+520)人。
根据高中学生人数是初中学生人数的5/6找出等量关系.
【解】:
设初中毕业生有x人,依题意,有
(
x+520)=
(x+520)
x=
x=680
高中毕业生共有
x=
×680=480(人)
高、初中毕业生共有:
680+480=1160(人).
10、(★★)某商店原来将一批苹果按100%的利润(即利润是成本的100%)定价出售,由于定价过高,无人购买,后来不得不按38%的利润重新定价,这样售出了其中的40%。
此时,因害怕剩余水果腐烂变质,不得不再次降价,售出了剩余的全部水果。
结果,实际获得的总利润是原定利润的30.2%。
那么,第二次降价后的价格是原定价的百分之多少?
[方法一]:
列方程
[思路]:
根据“实际获得的总利润是原定利润的30.2%”列方程。
解:
设成本为单位1。
原定价是按100%的利润定价的,则原定价是200%。
第一次降价是按38%的利润定价的,则第一次降价后的定价是138%。
设第二次降价是按x%的利润定价的,则第二次降价后的定价是x%+1.
根据题意列方程:
38%×40%+x%×(1-40%)=30.2%×1
解得:
x%=25%。
则第二次降价后的定价是25%+1=125%。
125%÷200%=62.5%。
所以第二次降价后的价格是原定价的62.5%。
[方法二]:
[思路]:
设份数,通过利润关系求解。
解:
设成本为100,总共有货物100。
第一次降价后卖出:
40×138=5520,
最后总利润:
100×100×130.2%=13020
第二次降价后价格:
(13020-5520)÷60=125
所以第二次降价后的价格是原定价:
125÷(100+100)=62.5%
[总结]:
此题也可以通过设未知数来求解,经济问题可以大胆的设未知数,一般到最后跟未知数都没有关系。
11、(★★★)参加迎春杯数学竞赛的人数共有2000多人。
其中光明区占1/3,中心区占2/7,朝阳区占1/5,剩下的全是远郊区的学生。
比赛结果,光明区有1/24的学生得奖,中心区有1/16的学生得奖,朝阳区有1/18的学生得奖,全部获奖者的1/7是远郊区的学生。
那么参赛学生有多少名?
获奖学生有多少名?
[思路]:
通过整除性质和估算求解
解:
获奖人数占总人数的比例是:
光明区(1/3)×(1/24)=
,
中心区(2/7)×(1/16)=
,朝阳区(1/5)×(1/18)=
。
人数是整数,总数就是9×8、7×8、5×2×9的公倍数,最小公倍数是2520,符合人数2000多人。
获奖人数=2525×(
+
+
)/(1-1/7)=126(名)
答:
参赛学生有2520名,获奖学生有126名。
[拓展]:
某中学初中共780人,该校去数学奥校学习的学生中,恰好有8/17是初一学生,有9/23是初二学生。
那么该校初中学生中,没有进奥校学习的有多少人?
12、(★★★)某商品76件,出售给33位顾客,每位顾客最多买3件。
如果买1件按原定价,买2件降价10%,买3件降价20%,最后结算,平均每件恰好按原定价的85%出售。
那么买3件的顾客有多少人?
[方法一]:
不定方程
[思路]:
通过已知条件我们可以求出原定的总价,而后来时总价的85%,这样减少的就是打折减少的。
解:
不妨设每件原价100元,全部都是买1件的,共计100×76=7600元,实际是7600×85%=6460元,少1140元;买2件少200×10%=20元,买3件少300×20%=60元;设买2件的M人,买3件的N人,
有:
20M+60N=1140
得:
M+3N=57(根据倍数原理,3N是3的倍数,这样M也为3的倍数,N最大为19人)
N=19时,M=0,这样买1件的14人,共有19×3+14×1=71件,比76少5件;
N=18时,M=3,这样买1件的12人,共有18×3+3×2+12×1=72件,比76少4件;
N=17时,M=6,这样买1件的10人,共有17×3+6×2+10×1=73件,比76少3件;
……
这样当N=14时,符合条件。
答:
买3件的有14人。
[方法二]:
[思路]:
解:
平均每件恰好按原定价的85%,那么,有一个买3件的,就比平均多降了3×(85%-80%)=15%,正好可以和1个买一件的平衡,因为买一件高出平均1-85%=15%;那么,这样的2个人可以为一组,件数为4件;买2件降价10%,买3件降价20%,分别比平均高5%和底5%,即1件降价10%的和1件降价20%的也正好是平均价,也即2个买3件的和3个买2件的也达成平衡;那么,这样的5个人也可以为一组,件数为12件;
假设76件都有第一组构成,则:
76÷4=19组,共有19×2=38人,与实际相差38-33=5人,因此其中必有第二组的人;第一组每12件和第二组每12件相差2×(12/4)-5=1人,因此需要用5个第二组去换3×5=15个第一组,所以,实际共有第一组19-15=4组,第二组5组;第一组每组有1个买3件的,第二组每组有2个买3件的,所以,买3件的共有4×1+5×2=14人。
[方法三]:
列方程
[思路]:
解:
设买一件商品的有x人,买两件商品的有y人,买三件商品的有z人。
根据题意列方程组:
x+y+z=33
x+2y+3z=76
x×100%+2y×(1-10%)+3z×(1-20%)=76×85%
解得:
x=4,y=15,z=14。
所以买三件商品的有14人。
13、(★★★)甲容器中有纯酒精11立方分米,乙容器中有水15立方分米。
第一次将甲容容器中的一部分纯酒精倒入乙容器,使酒精与水混合;第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。
这样甲容器中的纯酒精含量为62.5%,乙容器中的纯酒精含量为25%。
那么,第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少立方分米?
[方法一]:
倒三角
[思路]:
浓度问题,知道浓度,所以考虑倒三角的运用。
解:
将两种容液混合,则两种容液的浓度与混合后容液的浓度差的比是两种容液容量的反比。
第一次将容器中的一部分纯酒精倒入乙容器中。
混合后的浓度是25%。
原来甲容器中的浓度是100%,乙容器中的浓度是0。
则从甲容器中倒入乙容器中的容量是:
15×(25%-0)÷(100%-25%)=5立方分米。
甲容器中还的11-5=6立方分米。
乙容器是有15+5=20立方分米。
第二次将乙容器中的一部分倒入甲容器中。
混合后的浓度是62.5%。
则从乙容器倒入甲容器中的容量是6×(62.5%-25%)/(100%-62.5%)=6立方分米。
所以第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是6立方分米。
[方法二]:
[思路]:
解:
乙容器中的纯酒精含量为25%。
可知第一次从甲倒入乙5立方分米的酒精,这时甲剩有酒精11-5=6,(100-62.5):
(62.5-25)=1:
1
可知第二次从乙倒入甲的同样是6立方分米。
14、(★★★)某一出租车的计价方式为:
起价是2千米5元,往后每增加1千米(最后不足1千米按1千米计算)增加2元。
现在从甲地到乙地乘出租车共支出车费35元,如果从甲地到乙先步行800米,然后再乘出租车也要35元。
问从甲、乙两地中点乘出租车到乙地需支付多少元钱?
[方法]:
[思路]:
从题目所给的四个条件可推得甲、乙两间距离在怎样的范围内,欲求中点至乙地的出租车费便轻而易举了.
解:
由甲到乙地出租车费35元,知两地间的距离应不多于:
1×[(35—5)÷2]+2=17(千米).
又先步行800米,仍需出租费35元,所以两地间距离应不少于16+0.8=16.8(千米).
中点到乙地距离应在16.8÷2=8.4(千米)与17÷2=8.5(千米)之间.
故需出租车费:
5+2×(9—2)=19(元).
15、(★★★★)要生产某种产品100吨,需用A种原料200吨,或B种原料200.5吨,或C种原料195.5吨,或D种原料192吨,或E原料180吨。
现知用A种原料及另外一种(指B、C、D、E中的一种)原料共19吨生产此种产品10吨。
试分析所用另外一种原料是哪一种,这两种原料各用了多少吨?
[方法一]:
[思路]:
根据配制率求解
解:
配制比如下:
A:
100:
200=200:
400;
B:
100:
200.5=200:
401;
C:
100:
195.5=200:
391
D:
100:
192=200:
384;
E:
100:
180=200:
360
如果19全来自A,则可配出19×1÷2=9.5,比实际少10-9.5=0.5
这样我们可以说,19吨中必须有一种大于A的配制率才行,所以不能是B;
设另外有M,A有19-M,下面分C、D、E来讨论:
C:
(19-M)×1÷2+M×200÷391=10,M=391/9,大于19,不符;
D:
(19-M)×1÷2+M×200÷384=10,M=384/16,大于19,不符;
E:
(19-M)×1÷2+M×200÷360=10,M=360/40=9,可以;
计:
E有9吨,A有19-9=10吨。
[方法二]:
[思路]:
鸡兔同笼
解:
要生产某种产品10吨,单用一种原料,需要A种20吨,B种20.05吨,C种19.55吨,E种18吨。
现用A种和另一种原料19吨生产此种产品10吨。
则只能选用A种和E种原料。
如果全用A种原料,则可生产此种产品19÷20×10=9.5吨。
与10吨差10-9.5=0.5吨。
因每吨A种原料比每吨E种原料少生产此种产品100÷180-100÷200=1/18吨。
则实际用E种原料0.5÷(1/18)=9吨。
实际用A种原料19-9=10吨。
16、(★★★★)4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油。
每瓶和其他各瓶分别合称一次,所得重量的千克数如下:
8、9、10、11、12、13。
已知这4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数。
那么最重的两瓶内共有油多少千克?
[方法一]:
[思路]:
因为每个都合在一起称过一次,所以每只瓶子都被称过3次,从而可以求出四只瓶子的总重量.再根据空瓶总质量与油的总质量均为质数,确定油与瓶应分别重多少
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