江苏省泰州南通扬州苏北四市七市届高三数学第二次模拟考试试题含答案.docx
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江苏省泰州南通扬州苏北四市七市届高三数学第二次模拟考试试题含答案
2019届高三年级第二次模拟考试
数学
(满分160分,考试时间120分钟)
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.已知集合A={1,3,a},B={4,5},若A∩B={4},则实数a的值为________.
2.复数z=(i为虚数单位)的实部为________.
3.某单位普通职工和行政人员共280人.为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况,现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本.已知从普通职工中抽取的人数为49,则该单位行政人员的人数为________.
4.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动,则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为________.
5.执行如图所示的伪代码,则输出的S的值为________.
i←1
S←2
Whilei<7
S←S×i
i←i+2
EndWhile
PrintS
6.函数y=的定义域为________.
7.将函数y=2sin3x的图象向左平移个单位长度得到y=f(x)的图象,则f的值为________.
8.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点A(2,0)到渐近线的距离为,则b的值为________.
9.在△ABC中,已知C=120°,sinB=2sinA,且△ABC的面积为2,则AB的长为________.
10.设P,A,B,C为球O表面上的四个点,PA,PB,PC两两垂直,且PA=2m,PB=3m,PC=4m,则球O的表面积为________m2.
11.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且在区间[2,4)上,f(x)=则函数y=f(x)-log5|x|的零点的个数为________.
12.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为{x|3 13.在平面直角坐标系xOy中,已知点A,B在圆x2+y2=4上,且AB=2,点P(3,-1),·(+)=16,设AB的中点M的横坐标为x0,则x0的所有值为________. 14.已知集合A={x|x=2k-1,k∈N*},B={x|x=8k-8,k∈N*},从集合A中取出m个不同元素,其和记为S;从集合B中取出n个不同元素,其和记为T.若S+T≤967,则m+2n的最大值为________. 二、解答题: 本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系中,设向量a=(cosα,sinα),b=,其中0<α<. (1)若a∥b,求α的值; (2)若tan2α=-,求a·b的值. 16.(本小题满分14分) 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BCC1B1为正方形,A1B1⊥B1C1.设A1C与AC1交于点D,B1C与BC1交于点E.求证: (1)DE∥平面ABB1A1; (2)BC1⊥平面A1B1C. 17.(本小题满分14分) 图①是一栋新农村别墅,它由上部屋顶和下部主体两部分组成.如图②,屋顶由四坡屋面构成,其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形,左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形.点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H,M.已知HM=5m,BC=10m,梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍.设∠FMH=θ. (1)求屋顶面积S关于θ的函数关系式; (2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k为正的常数),下部主体造价与其高度成正比,比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6m的别墅,试问: 当θ为何值时,总造价最低? ① ② 18.(本小题满分16分) 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1: +y2=1,椭圆C2: +=1(a>b>0),C2与C1的长轴长之比为∶1,离心率相同. (1)求椭圆C2的标准方程; (2)设点P为椭圆C2上一点. ①射线PO与椭圆C1依次交于点A,B,求证: 为定值; ②过点P作两条斜率分别为k1,k2的直线l1,l2,且直线l1,l2与椭圆C1均有且只有一个公共点,求证: k1·k2为定值. 19.(本小题满分16分) 已知函数f(x)=2lnx+x2-ax,a∈R. (1)当a=3时,求函数f(x)的极值; (2)设函数f(x)在x=x0处的切线方程为y=g(x),若函数y=f(x)-g(x)是(0,+∞)上的单调增函数,求x0的值; (3)是否存在一条直线与函数y=f(x)的图象相切于两个不同的点? 并说明理由. 20.(本小题满分16分) 已知数列{an}的各项均不为零.设数列{an}的前n项和为Sn,数列{a}的前n项和为Tn,且3S-4Sn+Tn=0,n∈N*. (1)求a1,a2的值; (2)证明: 数列{an}是等比数列; (3)若(λ-nan)(λ-nan+1)<0对任意的n∈N*恒成立,求实数λ的所有值. 2019届高三年级第二次模拟考试(十二) 数学附加题(满分40分,考试时间30分钟) 21.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-2: 矩阵与变换](本小题满分10分) 已知m,n∈R,向量α=是矩阵M=的属于特征值3的一个特征向量,求矩阵M及另一个特征值. B.[选修4-4: 坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C交于A,B两点,求线段AB的长. C.[选修4-5: 不等式选讲](本小题满分10分) 已知x,y,z均是正实数,且x2+4y2+z2=16,求证: x+y+z≤6. 【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分) 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AB=1,AP=AD=2. (1)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值; (2)若点M,N分别在AB,PC上,且MN⊥平面PCD,试确定点M,N的位置. 23.(本小题满分10分) 已知a1,a2,…,an(n∈N*,n≥4)均为非负实数,且a1+a2+…+an=2.证明: (1)当n=4时,a1a2+a2a3+a3a4+a4a1≤1; (2)对于任意的n∈N*,n≥4,a1a2+a2a3+…+an-1an+ana1≤1. 2019届高三年级第二次模拟考试(南通七市) 数学参考答案 1.4 2. 3.35 4. 5.30 6.[2,+∞) 7.- 8.2 9.2 10.29π 11.5 12.4 13.1, 14.44 15. (1)因为a∥b, 所以cosαcos-sinαsin=0,(2分) 所以cos=0.(4分) 因为0<α<,所以<2α+<, 所以2α+=,解得α=.(6分) (2)因为0<α<,所以0<2α<π. 又tan2α=-<0,故<2α<π. 因为tan2α==-, 所以cos2α=-7sin2α<0. 又sin22α+cos22α=1, 解得sin2α=,cos2α=-.(10分) 所以a·b=cosαsin+sinαcos=sin(12分) =sin2αcos+cos2αsin =·+·=.(14分) 16. (1)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱, 所以侧面ACC1A1为平行四边形. 又A1C与AC1交于点D, 所以D为AC1的中点. 同理,E为BC1的中点,所以DE∥AB.(3分) 又AB⊂平面ABB1A1,DE⊄平面ABB1A1, 所以DE∥平面ABB1A1.(6分) (2)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱, 所以BB1⊥平面A1B1C1. 又因为A1B1⊂平面A1B1C1, 所以BB1⊥A1B1.(8分) 又A1B1⊥B1C1,BB1,B1C1⊂平面BCC1B1, BB1∩B1C1=B1, 所以A1B1⊥平面BCC1B1.(10分) 又因为BC1⊂平面BCC1B1, 所以A1B1⊥BC1.(12分) 又因为侧面BCC1B1为正方形,所以BC1⊥B1C. 又A1B1∩B1C=B1,A1B1,B1C⊂平面A1B1C, 所以BC1⊥平面A1B1C.(14分) 17. (1)由题意得FH⊥平面ABCD,FM⊥BC, 又因为HM⊂平面ABCD,所以FH⊥HM.(2分) 在Rt△FHM中,HM=5,∠FMH=θ, 所以FM=,(4分) 所以△FBC的面积为×10×=, 所以屋顶面积S=2S△FBC+2S梯形ABFE=2×+2××2.2=, 所以S关于θ的函数关系式为S=.(6分) (2)在Rt△FHM中,FH=5tanθ, 所以主体高度为h=6-5tanθ,(8分) 所以别墅总造价为 y=S·k+h·16k =·k+(6-5tanθ)·16k =k-k+96k =80k·+96k(10分) 记f(θ)=,0<θ<, 所以f′(θ)=, 令f′(θ)=0,得sinθ=. 又0<θ<,所以θ=.(12分) 列表: 所以当θ=时,f(θ)有最小值. 故当θ为时该别墅总造价最低.(14分) 18. (1)设椭圆C2的焦距为2c,由题意,得a=2, =,a2=b2+c2, 解得b=, 所以椭圆C2的标准方程为+=1.(3分) (2)①1°当直线OP的斜率不存在时, PA=-1,PB=+1,则 ==3-2.(4分) 2°当直线OP的斜率存在时,设直线OP的方程为y=kx, 代入椭圆C1的方程,消去y,得(4k2+1)x2=4, 所以x=,同理x=,(6分) 所以x=2x,由题意,得xP与xA同号, 所以xP=xA, 所以====3-2, 所以=3-2为定值.(8分) ②设P(x0,y0),所以直线l1的方程为 y-y0=k1(x-x0),即y=k1x+k1y0-x0, 记t=k1y0-x0,则l1的方程为y=k1x+t, 代入椭圆C1的方程,消去y,得(4k+1)x2+8k1tx+4t2-4=0. 因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点, 所以Δ=(8k1t)2-4(4k+1)(4t2-4)=0, 即4k-t2+1=0, 将t=k1y0-x0代入上式,整理得, (x-4)k-2x0y0k1+y-1=0,(12分) 同理可得,(x-4)k-2x0y0k2+y-1=0, 所以k1,k2为关于k的方程(x-4)k2-2x0y0k+y-1=0的两根, 所以k1·k2=.(14分) 又点P(x0,y0)在椭圆C2: +=1上, 所以y=2-x, 所以k1·k2==-为定值.(16分) 19. (1)当a=3时,函数f(x)=2lnx+x2-3x的定义域为(0,+∞), 则f′(x)=+x-3=, 令f′(x)=0,得x=1或x=2.(2分) 列表: 所以函数f(x)的极大值为f (1)=-,极小值为f (2)=2ln2-4.(4分) (2)依题意,得切线方程为y=f′(x0)(x-x0)+f(x0)(x0>0), 所以g(x)=f′(x0)(x-x0)+f(x0)(x0>0), 记p(x)=f(x)-g(x), 则p(x)=f(x)-f(x0)-f′(x0)(x-x0)在(0,+∞)上为单调增函数, 所以p′(x)=f′(x)-f′(x0)≥0在(0,+∞)上恒成立, 即p′(x)=-+x-x0≥0在上恒成立.(8分) 法一: 变形得(x-x0)≥0在(0,+∞)上恒成立, 所以=x0,又x0>0,所以x0=.(10分) 法二: 变形得x+≥x0+在(0,+∞)上恒成立, 因为x+≥2=2(当且仅当x=时,等号成立), 所以2≥x0+,所以≤0, 所以x0=.(10分) (3)假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点T1(x1,y1),T2(x2,y2), 不妨设0 y-f(x1)=f′(x1)(x-x1), 点T2处切线l2的方程为 y-f(x2)=f′(x2)(x-x2). 因为l1,l2为同一直线, 所以(12分) 所以+x1-a=+x2-a, 2lnx1+x-ax1-x1=2lnx2+x-ax2-x2, 整理,得(14分) 消去x2,得2ln+-=0.① 令t=,由0 记p(t)=2lnt+-t,则p′(t)=--1=-<0, 所以p(t)为(0,1)上的单调减函数, 所以p(t)>p (1)=0, 所以①式不可能成立,所以假设不成立,所以不存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点.(16分) 20. (1)因为3S-4Sn+Tn=0,n∈N*. 令n=1,得3a-4a1+a=0. 因为a1≠0,所以a1=1. 令n=2,得3(1+a2)2-4(1+a2)+(1+a)=0,即2a+a2=0. 因为a2≠0,所以a2=-.(3分) (2)因为3S-4Sn+Tn=0,① 所以3S-4Sn+1+Tn+1=0,② ②-①,得3(Sn+1+Sn)an+1-4an+1+a=0, 因为an+1≠0,所以3(Sn+1+Sn)-4+an+1=0,③ (5分) 所以3(Sn+Sn-1)-4+an=0(n≥2),④ 当n≥2时,③-④,得3(an+1+an)+an+1-an=0,即an+1=-an. 因为an≠0,所以=-. 又由 (1)知,a1=1,a2=-,所以=-, 所以数列{an}是以1为首项,-为公比的等比数列.(8分) (3)由 (2)知,an=. 因为对任意的n∈N*,(λ-nan)(λ-nan+1)<0恒成立, 所以λ的值介于n和n之间. 因为n·n<0对任意的n∈N*恒成立,所以λ=0适合.(10分) 若λ>0,当n为奇数时,n<λ 记p(n)=(n≥4),因为p(n+1)-p(n)=-=<0, 所以p(n)≤p(4)=1,即≤1,所以≤(*), 从而当n≥5且n≥时,有λ≥≥, 所以λ>0不符.(13分) 若λ<0,当n为奇数时,n<λ 由(*)式知,当n≥5且n≥-时,有-λ≥≥,所以λ<0不符. 综上,实数λ的所有值为0.(16分) 21.A.由题意,得Mα=3α,即==, 所以m=2,n=1,即矩阵M=.(5分) 矩阵M的特征多项式f(λ)==(λ-1)2-4=0, 解得矩阵M的另一个特征值为λ=-1.(10分) B.由题意,得直线l的普通方程为x-y-1=0.① 椭圆C的普通方程为+y2=1.② (4分) 由①②联立,解得A(0,-1),B,(8分) 所以AB==.(10分) C.由柯西不等式,得[x2+(2y)2+z2]·≥(x+y+z)2.(5分) 因为x2+4y2+z2=16, 所以(x+y+z)2≤16×=36, 所以x+y+z≤6,当且仅当x=2y=z时取等号.(10分) 22. (1)由题意,知AB,AD,AP两两垂直. 以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则 B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2), 所以=(1,0,-2),=(1,2,-2),=(0,2,-2). 设平面PCD的法向量n=(x,y,z), 则即 不妨取y=1,则x=0,z=1, 所以平面PCD的一个法向量为n=(0,1,1).(3分) 设直线PB与平面PCD所成角为θ,所以sinθ=|cos〈,n〉|==, 即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(5分) (2)设M(a,0,0),则=(-a,0,0), 设=λ,则=, 因为=(0,0,2), 所以=++=(λ-a,2λ,2-2λ).(8分) 由 (1)知,平面PCD的一个法向量为n=(0,1,1), 因为MN⊥平面PCD,所以∥n, 所以解得λ=,a=, 所以M为AB的中点,N为PC的中点.(10分) 23. (1)当n=4时,因为a1,a2,…,a4均为非负实数,且a1+a2+a3+a4=2, 所以a1a2+a2a3+a3a4+a4a1 =a2(a1+a3)+a4(a3+a1) =(a3+a1)(a2+a4)(2分) ≤=1.(4分) (2)①当n=4时,由 (1)可知,命题成立; ②假设当n=k(k≥4)时,命题成立, 即对于任意的k≥4,若x1,x2,…,xk均为非负实数,且x1+x2+…+xk=2, 则x1x2+x2x3+…+xk-1xk+xkx1≤1, 则当n=k+1时,设a1+a2+…+ak+ak+1=2,不妨设ak+1=max{a1,a2,…,ak,ak+1}. 令x1=(a1+a2),x2=a3,xk-1=ak,xk=ak+1, 则x1+x2+…+xk=2. 由归纳假设, 知x1x2+x2x3+…+xk-1xk+xkx1≤1.(8分) 因为a1,a2,a3均为非负实数,且ak+1≥a1, 所以x1x2+xkx1=(a1+a2)a3+ak+1(a1+a2) =a2a3+ak+1a1+a1a3+ak+1a2 ≥a1a2+a2a3+ak+1a1, 所以1≥(x1x2+xkx1)+(x2x3+…+xk-1xk)≥(a1a2+a2a3+ak+1a1)+(a3a4+…+akak+1), 即a1a2+a2a3+…+akak+1+ak+1a1≤1, 所以当n=k+1时命题也成立, 所以由①②可知,对于任意的n≥4,a1a2+a2a3+…+an-1an+ana1≤1.(10分)
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