高中数学新人教版必修3教案第2章 212 系统抽样 含答案.docx
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高中数学新人教版必修3教案第2章212系统抽样含答案
2.1.2 系统抽样
1.记住系统抽样的方法和步骤.(重点)
2.会用系统抽样从总体中抽取样本.(难点)
3.能用系统抽样解决实际问题.(易错易混点)
[基础·初探]
教材整理1 系统抽样的概念
阅读教材P58上半部分内容,完成下列问题.
先将总体中的个体逐一编号,然后按号码顺序以一定的间隔k进行抽取,先从第一个间隔中随机地抽取一个号码,然后按此间隔逐个抽取即得到所需样本.
某影院有40排座位,每排有46个座位,一个报告会上坐满了听众,会后留下座号为20的所有听众进行座谈,这是运用了( )
A.抽签法 B.随机数表法
C.系统抽样法D.放回抽样法
【解析】 此抽样方法将座位分成40组,每组46个个体,会后留下座号为20的相当于第一组抽20号,以后各组抽取20+46n,符合系统抽样特点.
【答案】 C
教材整理2 系统抽样的步骤
阅读教材P58下半部分内容,完成下列问题.
一般地,假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,我们可以按下列步骤进行系统抽样:
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)总体个数较多时可以用系统抽样.( )
(2)系统抽样的过程中,每个个体被抽到的概率不相等.( )
(3)用系统抽样从N个个体中抽取一个容量为n的样本,要平均分成n段,每段各有
个号码.( )
【答案】
(1)√
(2)× (3)×
2.有20个同学,编号为1~20,现在从中抽取4人的作文卷进行调查,用系统抽样方法确定所抽的编号为( )
A.5,10,15,20B.2,6,10,14
C.2,4,6,8D.5,8,11,14
【解析】 将20分成4个组,每组5个号,间隔等距离为5.
【答案】 A
3.已知标有1~20号的小球20个,按下面方法抽样(按从小号到大号排序):
(1)以编号2为起点,采用系统抽样抽取4个球,则这4个球的编号的平均值为________;
(2)以编号3为起点,采用系统抽样抽取4个球,则这4个球的编号的平均值为________.
【解析】 这20个小球分4组,每组5个,
(1)若以2号为起点,则另外三个球的编号依次为7,12,17,这4球编号平均值为
=9.5.
(2)若以3号为起点,则另外三个球的编号依次为8,13,18,这4球编号平均值为
=10.5.
【答案】
(1)9.5
(2)10.5
[小组合作型]
系统抽样的概念
(1)某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额,采用如下方法:
从某本发票的存根中随机抽一张,如15号,然后按顺序将65号,115号,165号,…,发票上的销售金额组成一个调查样本.这种抽取样本的方法是( )
A.抽签法 B.随机数法
C.系统抽样法D.以上都不对
(2)为了解1200名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为30的样本,考虑采用系统抽样,则分段的间隔k=________.
【精彩点拨】 解决此类问题的关键是根据系统抽样的概念及特征,抓住系统抽样适用的条件作出判断.
【尝试解答】
(1)上述抽样方法是将发票平均分成若干组,每组50张,从第一组抽出了15号,以后各组抽15+50n(n∈N*)号,符合系统抽样的特点.
(2)根据样本容量为30,将1200名学生分为30段,每段人数即间隔k=
=40.
【答案】
(1)C
(2)40
判断一个抽样是否为系统抽样:
1首先看是否在抽样前知道总体是由什么组成,多少个个体,2再看是否将总体分成几个均衡的部分,并在每一个部分中进行简单随机抽样,3最后看是否等距抽样.
[再练一题]
1.下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是( )
A.从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动
B.一个城市有210家百货商店,其中大型商店20家,中型商店40家,小型商店150家.为了掌握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为21的样本
C.从参加模拟考试的1200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况
D.从参加模拟考试的1200名高中生中随机抽取10人了解某些情况
【解析】 A.总体容量较小,样本容量也较小,可采用抽签法;B.总体中的个体有明显的层次不适宜用系统抽样法;C.总体容量较大,样本容量也较大,可用系统抽样法;D.若总体容量较大,样本容量较小时可用随机数表法.
【答案】 C
系统抽样的方案设计
某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2,…,295,为了了解学生的学习情况,要按1∶5的比例抽取一个样本,请用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程.
【精彩点拨】 按1∶5的比例确定样本容量,再按系统抽样的步骤进行,关键是确定第1段的编号.
【尝试解答】 按照1∶5的比例抽取样本,则样本容量为
×295=59.
抽样步骤是:
(1)编号:
按现有的号码;
(2)确定分段间隔k=5,把295名同学分成59组,每组5人,第1组是编号为1~5的5名学生,第2组是编号为6~10的5名学生,依次下去,第59组是编号为291~295的5名学生;
(3)采用简单随机抽样的方法,从第一组5名学生中抽出一名学生,不妨设编号为l(1≤l≤5);
(4)那么抽取的学生编号为l+5k(k=0,1,2,…,58),得到59个个体作为样本,如当l=3时的样本编号为3,8,13,…,288,293.
当总体容量能被样本容量整除时,分段间隔k=
;当用系统抽样抽取样本时,通常是将起始数s加上间隔k得到第2个个体编号s+k,再加k得到第3个个体编号s+2k,依次进行下去,直到获取整个样本.
[再练一题]
2.某班共有52人,现根据学生的学号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本.已知3号、29号、42号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的学号是( )
A.10B.11
C.12D.16
【解析】 分段间隔k=
=13,可推出另一个同学的学号为16,故选D.
【答案】 D
[探究共研型]
系统抽样的特点
探究1 系统抽样有哪些特点?
【提示】
(1)系统抽样适用于总体容量较大,且个体之间无明显差异的情况;
(2)剔除多余的个体及第1段抽样用简单随机抽样的方法;
(3)系统抽样是等可能抽样,每个个体被抽到的可能性相等.
探究2 怎样判断一种抽样是否为系统抽样?
【提示】 判断一种抽样是否为系统抽样,关键有两点:
(1)是否在抽样前知道总体是由什么构成的,抽样的方法能否保证每个个体被抽到的机会均等;
(2)是否能将总体分成几个均衡的部分,在每个部分中是否能进行简单随机抽样.
探究3 在系统抽样中,N不一定能被n整除,那么系统抽样还公平吗?
【提示】 在系统抽样中,
(1)若N能被n整除,则将比值
作为分段间隔k.由于起始编号的抽取采用简单随机抽样的方法,因此每个个体被抽取的可能性是一样的.
(2)若N不能被n整除,则用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被n整除,再确定样本.因此每个个体被抽取的可能性还是一样的.
所以,系统抽样是公平的.
为了了解参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩,抽取一个容量为50的样本,选用什么抽样方法比较恰当?
简述抽样过程.
【精彩点拨】
→
→
→
→
→
→
【尝试解答】
(1)随机地将这1003个个体编号为1,2,3,…,1003;
(2)利用简单随机抽样,先从总体中随机剔除3个个体,剩下的个体数1000能被样本容量50整除,然后将1000个个体重新编号为1,2,3,…,1000;
(3)将总体按编号顺序均分成50组,每组包括20个个体;
(4)在编号为1,2,3,…,20的第一组个体中,利用简单随机抽样抽取一个号码,比如是18;
(5)以18为起始号码,每间隔20抽取一个号码,这样得到一个容量为50的样本:
18,38,58,…,978,998.
当总体容量不能被样本容量整除时,可以先从总体中随机剔除几个个体,但要注意的是剔除过程必须是随机的,也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等.剔除几个个体后使总体中剩余的个体数能被样本容量整除.
[再练一题]
3.从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能.请用系统抽样方法进行抽样,并写出抽样过程.
【解】 第一步,先从802辆轿车中剔除2辆轿车(剔除方法可用随机数法);
第二步,将余下的800辆轿车编号为1,2,…,800,并均匀分成80段,每段含k=
=10个个体;
第三步,从第1段即1,2,…,10这10个编号中,用简单随机抽样的方法抽取一个号(如5)作为起始号;
第四步,从5开始,再将编号为15,25,…,795的个体抽出,得到一个容量为80的样本.
1.为了了解参加某次知识竞赛的1252名学生的成绩,决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本,那么从总体中应随机剔除的个体数目为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
【解析】 因为1252=50×25+2,所以应随机剔除2个个体,故选A.
【答案】 A
2.为了了解某地参加计算机水平测试的5008名学生的成绩,从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析,运用系统抽样方法抽取样本时,每组的容量为( )
A.24B.25
C.26D.28
【解析】 因为5008=200×25+8,所以选B.
【答案】 B
3.要从160名学生中抽取容量为20的样本,用系统抽样法将160名学生从1~160编号.按编号顺序平均分成20组(1~8号,9~16号,…,153~160号),若第16组应抽出的号码为125,则第一组中按此抽签方法确定的号码是
( )
A.7B.5
C.4D.3
【解析】 由系统抽样知第一组确定的号码是125-15×8=5.
【答案】 B
4.在一个个体数目为2003的总体中,利用系统抽样抽取一个容量为100的样本,则总体中每个个体被抽到的机会为_________.
【解析】 因为采用系统抽样的方法从个体数目为2003的总体中抽取一个样本容量为100的样本,每个个体被抽到的可能性都相等,于是每个个体被抽到的机会都是
.
【答案】
5.中秋节,相关部门对某食品厂生产的303盒中秋月
饼进行质量检验,需要从中抽取10盒,请用系统抽样的方法完成对此样本的抽取.
【解】
(1)将303盒月饼用随机的方式编号;
(2)从总体中用简单随机抽样的方式剔除3盒月饼,将剩下的月饼重新用000~299编号,并等距分成10段;
(3)在第一段000,001,002,…,029这三十个编号中用简单随机抽样确定起始号码l;
(4)将编号为l,l+30,l+2×30,l+3×30,…,l+9×30的个体抽出,组成样本.
学业分层测评(十) 系统抽样
(建议用时:
45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.为了检查某城市汽车尾气排放执行情况,在该城市的主要干道上抽取车牌末尾数字为5的汽车检查,这种抽样方法为( )
A.抽签法 B.随机数表法
C.系统抽样法D.其他抽样
【解析】 根据系统抽样的概念可知,这种抽样方法是系统抽样.
【答案】 C
2.中央电视台“动画城节目”为了对本周的热心小观众给予奖励,要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众.现采用系统抽样的方法抽取,每段容量为( )
A.10B.100
C.1000D.10000
【解析】 将10000个个体平均分成10段,每段取一个,故每段容量为1000.
【答案】 C
3.系统抽样又称为等距抽样,从N个个体中抽取n个个体为样本,抽样间距为k=
(取整数部分),从第一段1,2,…,k个号码中随机抽取一个号码i0,则i0+k,…,i0+(n-1)k号码均被抽取构成样本,所以每个个体被抽取的可能性是( )
A.相等的B.不相等的
C.与i0有关D.与编号有关
【解析】 系统抽样是公平的,所以每个个体被抽到的可能性都相等,与i0编号无关,故选A.
【答案】 A
4.从编号为1~50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射实验,若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取5枚导弹的编号可能是( )
A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43
C.1,2,3,4,5D.2,4,8,16,32
【解析】 据题意从50枚中抽取5枚,故分段间隔k=
=10,故只有B符合条件.
【答案】 B
5.从2004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取:
先利用简单随机抽样从2004人中剔除4人,剩下的2000人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的机会( )
A.不全相等B.均不相等
C.都相等D.无法确定
【解析】 系统抽样是等可能的,每人入选的机率均为
.
【答案】 C
二、填空题
6.下列抽样中不是系统抽样的是________.
①从标有1~15号的15个球中,任选3个作样本,按从小号到大号排序,随机选起点i0(1≤i0≤5),以后选i0+5,i0+10号入选;
②工厂生产的产品,用传送带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验;
③进行某一市场调查,规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查,直到调查到事先规定的调查人数为止;
④在报告厅对与会听众进行调查,通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈.
【解析】 选项③不是系统抽样,因事先不知道总体,抽样方法不能保证每个个体等可能入选,其余3个间隔都相同,符合系统抽样的特征.
【答案】 ③
7.某班有学生48人,现用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知座位号分别为6,30,42的同学都在样本中,那么样本中另一位同学的座位号应该是________.
【解析】 由题意,分段间隔k=
=12,所以6应该在第一组,所以第二组为6+12=18.
【答案】 18
8.已知某商场新进3000袋奶粉,为检查其三聚氰胺是否达标,现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查,若第1组抽出的号码是11,则第61组抽出的号码为________.
【解析】 分段间隔是
=20,由于第1组抽出的号码为11,则第61组抽出的号码为11+(61-1)×20=1211.
【答案】 1211
三、解答题
9.为了了解某地区今年高一学生期末考试数学成绩,拟从参加考试的15000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本.请写出用系统抽样抽取的过程.
【解】
(1)对全体学生的数学成绩进行编号:
1,2,3,…,15000.
(2)分段:
由于样本容量与总体容量的比是1∶100,我们将总体平均分为150个部分,其中每一部分含100个个体.
(3)在第一部分,即1号到100号用简单随机抽样抽取一个号码,比如是56.
(4)以56作为起始数,然后顺次抽取156,256,356,…,14956,这样就得到一个样本容量为150的样本.
10.某校有2008名学生,从中抽取20人参加体检,试用系统抽样进行具体实施.
【解】
(1)将每个人随机编一个号由0001至2008;
(2)利用随机数表法找到8个号将这8名学生剔除;
(3)将剩余的2000名学生重新随机编号0001至2000;
(4)分段,取间隔k=
=100,将总体平均分为20段,每段含100个学生;
(5)从第一段即为0001号到0100号中随机抽取一个号l;
(6)按编号将l,100+l,200+l,…,1900+l共20个号码选出,这20个号码所对应的学生组成样本.
[能力提升]
1.从2016名学生中选取50名学生参加数学竞赛,若采用下面方法选取:
先用简单随机抽样从2016人中剔除16人,剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人,则在2016人中,每个人入选的机会( )
A.都相等,且为
B.不全相等
C.均不相等D.都相等,且为
【解析】 因为在系统抽样中,若所给的总体个数不能被样本容量整除,则要先剔除几个个体,本题要先剔除16人,然后再分组,在剔除过程中,每个个体被剔除的机会相等,所以每个个体被抽到包括两个过程,一是不被剔除,二是被选中,这两个过程是相互独立的,所以,每个人入选的机会都相等,且为
.
【答案】 A
2.将参加夏令营的600名学生编号为:
001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为( )
A.26,16,8 B.25,17,8
C.25,16,9D.24,17,9
【解析】 依题意及系统抽样的意义可知,将这600名学生按编号依次分成50组,每组有12名学生,第k(k∈N*)组抽中的号码是3+12(k-1).
令3+12(k-1)≤300得k≤
,因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25;
令300<3+12(k-1)≤495,得
<k≤42,因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42-25=17.
从而第Ⅲ营区被抽中的人数是50-42=8.
【答案】 B
3.采用系统抽样从含有8000个个体的总体(编号为0000,0001,…,7999)中抽取一个容量为50的样本,则最后一段的编号为________,已知最后一个入样编号是7894,则开头5个入样编号是________.
【解析】 因为8000÷50=160,所以最后一段的编号为编号的最后160个编号.
从7840到7999共160个编号,从7840到7894共55个数,所以从0000到第55个编号应为0054,然后逐个加上160,得0214,0374,0534,0694.
【答案】 7840~7999 0054,0214,0374,0534,0694
4.下面给出某村委调查本村各户收入情况所作的抽样,阅读并回答问题:
本村人口:
1200人,户数300,每户平均人口数4人;
应抽户数:
30户;
抽样间隔:
=40;
确定随机数字:
取一张人民币,编码的后两位数为12;
确定第一样本户:
编码的后两位数为12的户为第一样本户;
确定第二样本户:
12+40=52,52号为第二样本户;
……
(1)该村委采用了何种抽样方法?
(2)抽样过程中存在哪些问题,并修改.
(3)何处是用简单随机抽样.
【解】
(1)系统抽样.
(2)本题是对某村各户进行抽样,而不是对某村人口抽样,抽样间隔为:
=10,其他步骤相应改为:
取一张人民币,编码的后两位数为02(或其他00~09中的一个),确定第一样本户:
编号为02的户为第一样本户;确定第二样本户:
02+10=12,12号为第二样本户,….
(3)确定随机数字用的是简单随机抽样即为取一张人民币,编码的后两位数为02.
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