高一数学必修一函数的奇偶性知识要点.docx
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高一数学必修一函数的奇偶性知识要点
高一数学必修一函数的奇偶性知识要点
高一数学函数的奇偶性知识要点
1.定义
一般地,对于函数f(x)
(1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。
(2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。
(3)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。
(4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。
说明:
①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇(或偶)函数。
(分析:
判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
2.奇偶函数图像的特征:
定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。
f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称
点(x,y)→(-x,-y)
奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。
3.奇偶函数运算
(1).两个偶函数相加所得的和为偶函数.
(2).两个奇函数相加所得的和为奇函数.
(3).一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
(4).两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
(5).两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
(6).一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.
二次函数数学教案
二次函数数学教案
知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向
〖大纲要求〗
1.理解二次函数的概念;
2.会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向,会用描点法画二次函数的图象;
3.会平移二次函数y=ax2(a≠0)的图象得到二次函数y=a(ax+m)2+k的图象,了解特殊与一般相互联系和转化的思想;
4.会用待定系数法求二次函数的解析式;
内容
(1)二次函数及其图象
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么,y叫做x的二次函数。
二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象。
(2)抛物线的顶点、对称轴和开口方向
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
20.某幢建筑物,从10米高的窗口A用水管和向外喷水,喷的水流呈抛物线(抛物线所在平面与墙面垂直,(如图)如果抛物线的最高点M离墙1米,离地面米,则水流下落点B离墙距离OB是()
(A)2米(B)3米(C)4米(D)5米
三.解答下列各题(21题6分,22----25每题4分,26-----28每题6分,共40分)
21.已知:
直线y=x+k过点A(4,-3)。
(1)求k的值;
(2)判断点B(-2,-6)是否在这条直线上;(3)指出这条直线不过哪个象限。
22.已知抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴为x=,
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)试证明这条抛物线与X轴的两个交点中,必有一点C,使得对于x轴上任意一点D都有AC+BC≤AD+BD。
23.已知:
金属棒的长1是温度t的一次函数,现有一根金属棒,在O℃时长度为200cm,温度提高1℃,它就伸长0.002cm。
(1)求这根金属棒长度l与温度t的函数关系式;
(2)当温度为100℃时,求这根金属棒的长度;
(3)当这根金属棒加热后长度伸长到201.6cm时,求这时金属棒的温度。
24.已知x1,x2,是关于x的方程x2-3x+m=0的两个不同的实数根,设s=x12+x22
(1)求S关于m的解析式;并求m的取值范围;
(2)当函数值s=7时,求x13+8x2的值;
25.已知抛物线y=x2-(a+2)x+9顶点在坐标轴上,求a的值。
26、如图,在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=Rt∠,截取AE=BF=DG=x,已知AB=6,CD=3,AD=4,求:
(1)四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和X的取值范围;
(2)当x为何值时,S的数值是x的4倍。
27、国家对某种产品的税收标准原定每销售100元需缴税8元(即税率为8%),台洲经济开发区某工厂计划销售这种产品m吨,每吨2000元。
国家为了减轻工人负担,将税收调整为每100元缴税(8-x)元(即税率为(8-x)%),这样工厂扩大了生产,实际销售比原计划增加2x%。
(1)写出调整后税款y(元)与x的函数关系式,指出x的取值范围;
(2)要使调整后税款等于原计划税款(销售m吨,税率为8%)的78%,求x的值.
28、已知抛物线y=x2+(2-m)x-2m(m≠2)与y轴的交点为A,与x轴的交点为B,C(B点在C点左边)
(1)写出A,B,C三点的坐标;
(2)设m=a2-2a+4试问是否存在实数a,使△ABC为Rt△?
若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由;
(3)设m=a2-2a+4,当∠BAC最大时,求实数a的值。
习题2:
一.填空(20分)
1.二次函数=2(x-)2+1图象的对称轴是。
2.函数y=的自变量的取值范围是。
3.若一次函数y=(m-3)x+m+1的图象过一、二、四象限,则的取值范围是。
4.已知关于的二次函数图象顶点(1,-1),且图象过点(0,-3),则这个二次函数解析式为。
5.若y与x2成反比例,位于第四象限的一点P(a,b)在这个函数图象上,且a,b是方程x2-x-12=0的两根,则这个函数的关系式。
6.已知点P(1,a)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,其中a=m2+2m+3(m为实数),则这个函数图象在第象限。
7.x,y满足等式x=,把y写成x的函数,其中自变量x的取值范围是。
8.二次函数y=ax2+bx+c+(a0)的图象如图,则点P(2a-3,b+2)
在坐标系中位于第象限
9.二次函数y=(x-1)2+(x-3)2,当x=时,达到最小值。
10.抛物线y=x2-(2m-1)x-6m与x轴交于(x1,0)和(x2,0)两点,已知x1x2=x1+x2+49,要使抛物线经过原点,应将它向右平移个单位。
二.选择题(30分)
11.抛物线y=x2+6x+8与y轴交点坐标()
(A)(0,8)(B)(0,-8)(C)(0,6)(D)(-2,0)(-4,0)
12.抛物线y=-(x+1)2+3的顶点坐标()
(A)(1,3)(B)(1,-3)(C)(-1,-3)(D)(-1,3)
13.如图,如果函数y=kx+b的`图象在第一、二、三象限,那么函数y=kx2+bx-1的图象大致是()
14.函数y=的自变量x的取值范围是()
(A)x2(B)x<2x="">-2且x1(D)x2且x–1
15.把抛物线y=3x2先向上平移2个单位,再向右平移3个单位,所得抛物线的解析式是()
(A)=3(x+3)2-2(B)=3(x+2)2+2(C)=3(x-3)2-2(D)=3(x-3)2+2
16.已知抛物线=x2+2mx+m-7与x轴的两个交点在点(1,0)两旁,则关于x的方程x2+(m+1)x+m2+5=0的根的情况是()
(A)有两个正根(B)有两个负数根(C)有一正根和一个负根(D)无实根
17.函数y=-x的图象与图象y=x+1的交点在()
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
18.如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象,如图,
则代数式b+c-a与0的关系()
(A)b+c-a=0(B)b+c-a>0(C)b+c-a<0(D)不能确定
19.已知:
二直线y=-x+6和y=x-2,它们与y轴所围成的三角形的面积为()
(A)6(B)10(C)20(D)12
20.某学生从家里去学校,开始时匀速跑步前进,跑累了后,再匀速步行余下的路程,初中数学教案《数学教案-二次函数》。
下图所示图中,横轴表示该生从家里出发的时间t,纵轴表示离学校的路程s,则路程s与时间t之间的函数关系的图象大致是()
三.解答题(21~23每题5分,24~28每题7分,共50分)
21.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴的两交点的横坐标分别是-1和3,与y轴交点的纵坐标是-;
(1)确定抛物线的解析式;
(2)用配方法确定抛物线的开口方向,对称轴和顶点坐标。
22、如图抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上A,B两点,该抛物线的对称轴x=—1,与x轴交于点C,且∠ABC=90°求:
(1)直线AB的解析式;
(2)抛物线的解析式。
23、某商场销售一批名脾衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现每件衬衫降价1元,商场平均每天可多售出2件:
(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫要降价多少元,
(2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?
24、已知:
二次函数和的图象都经过x轴上两个不同的点M、N,求a、b的值。
25、如图,已知⊿ABC是边长为4的正三角形,AB在x轴上,点C在第一象限,AC与y轴交于点D,点A的坐标为{—1,0),求
(1)B,C,D三点的坐标;
(2)抛物线经过B,C,D三点,求它的解析式;
(3)过点D作DE∥AB交过B,C,D三点的抛物线于E,求DE的长。
26某市电力公司为了鼓励居民用电,采用分段计费的方法计算电费:
每月用电不超100度
时,按每度0.57元计费:
每月用电超过100度时.其中的100度仍按原标准收费,超过部分按每度0.50元计费。
(1)设月用电x度时,应交电费y元,当x≤100和x>100时,分别写出y关于x的函数
关系式;
(2)小王家第一季度交纳电费情况如下:
月份
一月份
二月份
三月份
合计
交费金额
76元
63元
45元6角
184元6角
问小王家第一季度共用电多少度?
27、巳知:
抛物线
(1)求证;不论m取何值,抛物线与x轴必有两个交点,并且有一个交点是A(2,0);
(2)设抛物线与x轴的另一个交点为B,AB的长为d,求d与m之间的函数关系式;
(3)设d=10,P(a,b)为抛物线上一点:
①当⊿ABP是直角三角形时,求b的值;
②当⊿ABP是锐角三角形,钝角三角形时,分别写出b的取值范围(第2题不要求写出过程)
28、已知二次函数的图象与x轴的交点为A,B(点B在点A的右边),与y轴的交点为C;
(1)若⊿ABC为Rt⊿,求m的值;
(1)在⊿ABC中,若AC=BC,求sin∠ACB的值;
(3)设⊿ABC的面积为S,求当m为何值时,s有最小值.并求这个最小值。
高一数学:
二次函数知识点归纳
高一数学:
二次函数知识点归纳
I.定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c
(a,b,c为常数,a0,且a决定函数的开口方向,a0时,开口方向向上,a0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式:
y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a0)
顶点式:
y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]
交点式:
y=a(x-x?
)(x-x?
)[仅限于与x轴有交点A(x?
,0)和B(x?
,0)的抛物线]
注:
在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?
,x?
=(-bb^2-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线
x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为
P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
当-b/2a=0时,P在y轴上;当=b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a0时,抛物线向上开口;当a0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
=b^2-4ac0时,抛物线与x轴有2个交点。
=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
=b^2-4ac0时,抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数(x=-bb^2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
V.二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,
即ax^2+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
解析式
顶点坐标
对称轴
y=ax^2
(0,0)
x=0
y=a(x-h)^2
(h,0)
x=h
y=a(x-h)^2+k
(h,k)
x=h
y=ax^2+bx+c
(-b/2a,[4ac-b^2]/4a)
x=-b/2a
当h0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,
当h0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
当h0,k0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h0,k0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h0,k0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的'图象;
当h0,k0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
因此,研究抛物线y=ax^2+bx+c(a0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=ax^2+bx+c(a0)的图象:
当a0时,开口向上,当a0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).
3.抛物线y=ax^2+bx+c(a0),若a0,当x-b/2a时,y随x的增大而减小;当x-b/2a时,y随x的增大而增大.若a0,当x-b/2a时,y随x的增大而增大;当x-b/2a时,y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
(2)当△=b^2-4ac0,图象与x轴交于两点A(x?
,0)和B(x?
,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a0)的两根.这两点间的距离AB=|x?
-x?
|
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△0.图象与x轴没有交点.当a0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y当a0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y0.
5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:
如果a0),则当x=-b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
y=ax^2+bx+c(a0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:
y=a(x-h)^2+k(a0).
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:
y=a(x-x?
)(x-x?
)(a0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。
因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现。
函数的定义域高一数学上册知识点整理
函数的定义域高一数学上册知识点整理
定义域
(高中函数定义)设A,B是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A--B为集合A到集合B的一个函数,记作=f(x),x属于集合A。
其中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域;
值域
名称定义
函数中,应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合
常用的求值域的方法
(1)化归法;
(2)图象法(数形结合),
(3)函数单调性法,
(4)配方法,(5)换元法,(6)反函数法(逆求法),(7)判别式法,(8)复合函数法,(9)三角代换法,(10)基本不等式法等
定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。
平时数学中,实行“定义域优先”的原则,无可置疑。
然而事物均具有二重性,在强化定义域问题的同时,往往就削弱或谈化了,对值域问题的探究,造成了一手“硬”一手“软”,使学生对函数的'掌握时好时坏,事实上,定义域与值域二者的位置是相当的,绝不能厚此薄皮,何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。
如果函数的值域是无限集的话,那么求函数值域不总是容易的,反靠不等式的运算性质有时并不能奏效,还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。
才能获得正确答案,从这个角度来讲,求值域的问题有时比求定义域问题难,实践证明,如果加强了对值域求法的研究和讨论,有利于对定义域内函的理解,从而深化对函数本质的认识。
“范围”与“值域”相同吗?
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