二次函数动点问题解答方法技巧分析.docx

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二次函数动点问题解答方法技巧分析

函数解题思路方法总结：

⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c

的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，

或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式

ax2+bx+c

﹙a≠0﹚

本身就是所含

字母x的二次函数；下面以

a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方

程之间的内在联系：

二、抛物线上动点

5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线yax2bx3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和

点B（－3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三

角形？

若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的

最大值，并求此时E点的坐标．

1

注意：

第

（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为

顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为

圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与

对称轴交点即为所求点P。

第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方

法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。

070809

动点个数两个一个两个

问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边抛物线中特殊直角梯形底

上移动边上移动

考查难点探究相似三角形探究三角形面积函探究等腰三角形

数关系式

①菱形性质

①求直线解析式

①求抛物线顶点坐标

②特殊角三角函数

②四边形面积的表

②探究平行四边形

考

③求直线、抛物线解析式

示

③探究动三角形面积是定

④相似三角形

③动三角形面积函

值

点

⑤不等式

数④矩形性质

④探究等腰三角形存在性

①菱形是含60°的特殊菱形；

①观察图形构造特

①直角梯形是特殊的（一底

△AOB是底角为30°的等腰三

征适当割补表示面

角是45°）

角形。

积

②点动带动线动

②一个动点速度是参数字母。

②动点按到拐点时

③线动中的特殊性（两个交

③探究相似三角形时，按对应角

间分段分类

点D、E是定点；动线段PF

特

不同分类讨论；先画图，再探究。

③画出矩形必备条

长度是定值，PF=OA）

④通过相似三角形过度，转化相

件的图形探究其存

④通过相似三角形过度，转

似比得出方程。

在性

化相似比得出方程。

⑤利用a、t范围，运用不等式

⑤探究等腰三角形时，先画

点

求出a、t的值。

图，再探究（按边相等分类

讨论）

共同点：

①特殊四边形为背景；

②点动带线动得出动三角形；

③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；

④求直线、抛物线解析式；

⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。

二次函数的动态问题（动点）

2

1.如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是

A（4，0），B（

2，0），E（0，8）．

（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；

（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），

顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平

方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向

分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间

t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；

（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？

若能，求出此时t的值；若不能，请说

明理由．

[解]

（1）点A（40），，点B（20），，点E（08），关

于原点的对称点分别为D（4，0），C（2，0），

F（0，8）．

设抛物线C2的解析式是

yax2

bx

c（a0），

16a

4b

c

，

a

，

0

1

则4a

2b

c

0，解得

b

6，

c

8．

c

8．

所以所求抛物线的解析式是

y

x2

6x8．

（2）由

（1）可计算得点

M（3，1），N（31），．

过点N作NH

AD，垂足为H．

当运动到时刻t时，AD

2OD

8

2t，NH

1

2t．

根据中心对称的性质

OA

OD，OM

ON，所以四边形

MDNA是平行四边形．

所以

S

2

△

．

S

ADN

所以，四边形

MDNA的面积S

（8

2t）（1

2t）

4t2

14t

8．

因为运动至点

A与点D重合为止，据题意可知

0≤t

4．

所以，所求关系式是

S

4t2

14t

8，t的取值范围是0≤t

4．

（3）S

4

t

7

81，（0≤t

4）．所以t

7

时，S有最大值

81．

4

4

4

4

3

提示：

也可用顶点坐标公式来求．

（4）在运动过程中四边形

MDNA能形成矩形．

由

（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是

AD，MN，所以当AD

MN时四边形

MDNA是矩形．

所以OD

ON．所以OD2

ON2

OH2

NH2．

所以t2

4t2

2

0．解之得t1

6

2，t2

6

2（舍）．

所以在运动过程中四边形

MDNA可以形成矩形，此时

t

6

2．

[点评]本题以二次函数为背景，

结合动态问题、存在性问题、

最值问题，是一道较传统的压

轴题，能力要求较高。

2.（06福建龙岩卷）如图，已知抛物线

y

3

x2

bx

c与坐标轴交于

A，B，C三点，

4

点A的横坐标为

1，过点C（0，3）的直线y

3x

3与x轴交于点Q，点P是线段BC上

4t

的一个动点，PH

OB于点H．若PB5t，且0

t

1．

（1）确定b，c的值：

b

_____，c

_____；

（2）写出点B，Q，P的坐标（其中Q，P用含t的式子表示）：

B（___，），Q（___，___），P（___，___）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使△PQB为等腰三角形？

若存在，

求出所有t的值；

若不存在，说明理由．

y

[

解

]

（）b

9

1

c3

4

（2）B（4，0）

Q（4t，0）

P（44t，3t）

C

（3）存在t的值，有以下三种情况

P

①当PQ

PB时

PH

OB，则GH

HB

A

O

Q

H

Bx

44t

4t

4tt

1

C

3

P

4

②当PB

QB时，得4

4t5t

t

D

9

③当PQ

QB时，如图解法一：

过

Q作QD

BP，又PQ

QB

B

O

Q

5t

BP

5t又△BDQ∽△BOC

BD

BQ

44t

32

则BD

2

t

2

2

BO

BC

4

5

57

4

解法二：

作Rt△OBC斜边中线OE

C

P

BC

5

则OE

△OEB∽△PQB

E

BE，BE

，此时

2

2

BE

OB

5

4

32

O

Q

B

2

t

BQ

PB

4

4t

5t

57

解法三：

在Rt△PHQ中有QH2

PH2

PQ2

C

P

（8t

4）2

（3t）2

（4

4t）2

57t2

32t

0

t

32，t

0（舍去）

O

HQ

57

B

又

0

t

1

当t

1

或

4或32时，△PQB为等腰三角形．

3

9

57

解法四：

数学往往有两个思考方向：

代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。

代数讨论：

计算出△

PQB三边长度，均用

t表示，再讨论分析

Rt△PHQ中用勾股定理计算

PQ长度，而PB、BQ长度都可以直接直接用

t表示，进行分组讨论即可计算。

[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，

1、2

小题不难，第3

小题

是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，

需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检

验，在本题中若求出的

t值与题目中的0

t1矛盾，应舍去

3.

1

y

1x与抛物线y

1x26交于

A，B

两点．

如图

，已知直线

2

4

（1）求A，B两点的坐标；

（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；

3

）如图

2

A，B

两处．用铅笔拉着这

（

，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在

根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点

P将与A，B构成无数个三角形，

这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？

如果存在，

求出最大面积，并指出此时P点

的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

y

y

BP

B

OxOx

AA

图1

1x2

图2

y

6

x1

6

x2

4

[解]

（1）解：

依题意得

4

解之得

3

y2

2

y

1

y1

x

2

5

A（6，3，）B（，42

（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点，交AB于M（如图1）

由

（1）可知：

OA35OB25

y

AB

55

OM

1AB

OB

5

B

C

2

2

O

过B作BE⊥x轴，E为垂足

Ｅ

M

x

A

由△BEO∽△OCM，得：

OC

OM

5

D

OB

，OC

，

OE

4

同理：

OD

5，

C

5，，

D

，5

图1

2

4

0

0

2

第26题

设CD的解析式为y

kx

b（k

0）

0

5

b

k

2

k

5

4

5

b

b

2

2

AB的垂直平分线的解析式为：

y

2x

5

．

（3）若存在点P使△APB的面积最大，则点

2

P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交

点的直线y

1

m上，并设该直线与

x轴，y轴交于G，H两点（如图

2）．

x

2

y

1

x

m

1

1

y

2

x

2

m

6

0

H

x

y

1

2

6

4

2

P

x

4

B

抛物线与直线只有一个交点，

G

2

1

1（m

O

x

4

6）

0，

2

4

A

m

25

23

在直线GH：

y

1

25

4

P1，

x

中，

4

2

4图2

25

，，

25

GH

25

5

G

，

0

H0

4

4

2

6

设O到GH

的距离为d，

1GHd

1OGOH

2

2

1

25

5d

1

25

25

2

4

2

2

4

5

d5

2

AB∥GH，

P到AB的距离等于O到GH的距离d．

另解：

过P做PC∥y轴，PC交AB于C，当PC最大时△PBA在AB边上的高h最大（h

与PC夹角固定），则S△PBA最大→问题转化为求PC最大值，设P（x,）,C

（x,）,从而可以表示PC长度，进行极值求取。

最后，以PC为底边，分别计算S△PBC和S△PAC即可。

[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3

小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。

4.如图①，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为010，，8，4，顶点C，D在第一象

限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E4，0出发，沿

x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时

间为t秒．

（1）求正方形ABCD的边长．

（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数

图象为抛物线的一部分（如图②所示）

，求P，Q两点的运动速度．

（3）求

（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积

S取最大值时点P

的坐标．

（4）若点P，Q保持

（2）中的速度不变，则点

P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着

时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间

t的增大而减小．当点P

沿着这两边运动时，使

∠OPQ

90的点P有

个．

2

ca

0的顶点坐标是

b

4acb2

．

（抛物线yaxbx

2a

，

4a

7

y

D

s

C

28

A

P

20

B

Q

O

E

x

O

10t

图①

图②

[解]

（1）作BF

y轴于F．

A010，，B

8，4

，

FB

8，FA

6．

AB

10．

P从点A运动到点B用了10秒．

（2）由图②可知，点

又AB1010，101．

P，Q两点的运动速度均为每秒

1个单位．

（3）方法一：

作

PG

y轴于G，则PG∥BF．

GA

AP

GA

t

FA

，即

．

AB

6

10

GA

3t．

5

3

OG

10

t．

5

OQ

4

t，

S

1OQOG

1t410

3t．

2

2

5

即S

3t2

19t

20．

10

5

b

19

19

19

5

，且0

≤

≤10

，

2a

3