1圆的对称性重点.docx
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1圆的对称性重点
圆的对称性
一、知识梳理
圆是一种“完美”的图形,其完美性不仅体现在它既是轴对称图形又是中心对称图形,而且体现在它的旋转不变性,即一个圆绕着它的圆心旋转任意的角度,都能余自身重合。
由圆的对称性引出了许多重要定理:
垂径定理及推论;在同圆或等圆中,圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论。
这些性质在计算和证明中都有着广泛的应用。
一般是通过做辅助线构造直角三角形,常与勾股定理和解直角三角形相结合。
熟悉一下基本图形、基本结论:
二、考点聚焦
考点一:
垂径定理
考点二:
圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理。
三、典例精讲
例1、(1(2008湖北鄂州已知在⊙O中,半径5=r,AB、CD是两条平行弦,且AB=8,
CD=6,则弦AB、CD之间的距离是;弦AC的长为。
(2(2012黑龙江绥化市,3分⊙O为△ABC的外接圆,∠BOC=100°,则∠A=。
例2、已知如图,圆内接四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD于M。
求证:
EF⊥DC⇔AE=
BE。
例3、已知,如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD于E。
求证:
ADOM2
1
=
。
例4、如图,直线MN交⊙O于C、D,AB是⊙O的直径,AE⊥MN于E,BF⊥MN于F。
求证:
(11tantan=∠⋅∠BDFADE
(2当AE=a,EF=b,BF=c,EAC∠tan,EAD∠tan是方程0
2=+-cbxax的根。
变式训练
一、填空题。
1.(2006南京市如图,矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于G、B、F、E,cmAG1=,
cmDE2=,则EF=。
1题图2题图
3题图
2.已知,如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且分AB为2cm和6两段,∠AEC
=30°,则弦CD=。
3.(2005连云港如图,已知⊙O的半径为5,点A到圆心O的距离是3,则过点A的所
有弦中,最短弦的长为。
4.如图,直径为1000mm的圆形水管,若水面AB=800mm,则水的最大深度CD是。
4题图
5题图
6题图
5.已知,如图△ABC中,35AB,外接圆直径为10,则∠C=。
6.如图AB是半圆的直径,半径CO⊥AB于O,EF是OC的垂直平分线交⊙O于E、F,则
∠ABE=。
7.(2012四川省资阳市,12,3分直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形的外
接圆半径是。
8.已知,如图⊙O的半径是9,△ABC内接于⊙O,且AB=AC,AD是高,AD+AB等于20,
求AD和BC的长。
CB
B
C
B
二、选择题。
9.如图,将半径为2cm的圆弧折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB长为(
A.2cm
B.cm3
C.cm32
D.cm52
9题图
10题图
10.(2007福建龙岩市如图,AB是⊙O的直径,弦MN的长为8,若弦MN的两端在圆周
上滑动,始终与AB相交,记点A、B到MN的距离为1h、2h,则21hh=(A.5
B.6
C.7
D.8
11.在等圆或同圆中⌒AB
=2⌒CD,那么弦AB、CD的关系是(A.AB>2CD
B.AB=2CD
C.AB<2CD
D.不能确定
12.(根据2012贵州贵阳改如图,在⊙O中,直径AB=2,∠BAC=90°,BC交⊙O于D,
若∠C=45°,则阴影部分的面积是(A.2
B.2
C.1
D.
22
1
C
B
12题图
13题图
14题图
13.已知,如图,AB为⊙O的直径,C为半圆上一点,且⌒AB为半圆的3
1,设扇形AOC,△COB,
弓形BMC的面积分别为1S、2S、3S,则下列结论正确的是(A.321SSS<<
B.312SSS<<
C.132SSS<<
D.123SSS<<
14.(2012山西,12,2分如图是某公园的一角,∠AOB=90°,⌒AB
的半径OA长是6m,C是OA的中点,点D在⌒AB上,CD∥OB,则图中休闲区(阴影部分的面积是(
A.232910m
⎪⎭⎫⎝⎛
-πB.2329m
⎪⎭⎫⎝⎛
-πC.23296m
⎪⎭⎫⎝⎛
-π
D.(
2396m-π
三、解答题。
15.如图,已知AC、BD是⊙O的两弦,且AC⊥BD于P,AE是⊙O的直径。
求证:
22222AEPDPCPBPA=+++
16.如图,⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足是E,弦BF∥CD,CD=20cm,BC=12cm,
求AB和BF的长。
S3S2
S1
C
A
O
B
CBEOFD17.如图,⊙O通过原点并与两坐标轴分别交于点A、D,已知∠B=30°,点D的坐标为(0,2)。
求:
(1)点A的坐标;
(2)点C的坐标。
yDCxOAB⌒上取一点D,延长18.如图甲,⊙O的直径为AB,过半径OA的中点G作弦CE⊥AB,在CDCD、AB交于F,连接ED交AB于M,交直线AB于点F、M。
(1)求∠COA和∠FDM的度数;
(2)求证:
△FDM∽△COM;⌒上。
仍作CD、ED,分别交直(3)如图乙,若将垂足G改为半径OB上任一点,点D改在EB线AB于点F、M,试判断:
此时是否有△FDM∽△COM。
证明你的结论。
(苏州市中考题)CDAGE甲乙OMBFOGFEBM
家庭作业1.已知,如图,⊙O的半径为5cm,⊙O的内接等腰△ABC的底边BC和高AD的和等于⊙O的直径,求AD的长。
ABCDO2.已知:
AB为⊙O的直径,CD是弦,BE⊥CD于E,AF⊥CD于F,连接OE,OF。
求证:
(1)OE=OF;
(2)CE=DF。
ACEBOFD3.已知:
⊙O与⊙O′相交于P、Q,过P点作直线交⊙O于A,交⊙O′于B使OO′与AB平行。
求证:
AB=2OO′。
APCOQDO′B4.如图1,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD,垂足为E,BF⊥CD,垂足为F,EC和DF相等吗?
说明理由。
如图2,若直线EF平移到直径AB相交于点P(P不与A、B)重合),在其他条件不变的
情况下,原结论是否改变?
为什么?
如图3,当EF∥AB时,情况又怎么样?
如图4,CD为弦,EC⊥CD,FD⊥CD,EC、FD分别交直径AB于E、F两点,你能说明AE和BF为什么相等吗?
BCOAECMDFAEMOBADECOMBADFECOFBFD[1][2][3][4]
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- 对称性 重点