初中数学总复习知识点详解.docx
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初中数学总复习知识点详解
初中数学总复习知识点详解
第一章:
实数
★重点★实数的有关概念及性质,实数的运算
☆内容提要☆
一、重要概念
1.数的分类及概念
数系表:
正整数
有理数
整数
(有限或无限循环性数)
0
负整数
正分数
分数
实数负分数
无理数(无限不循环小数)
正无理数
负无理数
说明:
“分类”的原则:
1)相称(不重、不漏)
2)有标准
整数
有理数
分数
正数
无理数实数
0
整数
有理数
分数
负数
无理数
2.非负数:
正实数与零的统称。
(表为:
x≥0)
常见的非负数有:
2
a
│a│
(a为一切实数)
a(a≥0)
性质:
若干个非负数的和为0,则每个非负担数均为0。
3.倒数:
①定义及表示法
②性质:
A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中,a≠0;C.0
<a<1时1/a>1;a>1时,1/a<1;D.积为1。
4.相反数:
①定义及表示法
②性质:
A.a≠0时,a≠-a;B.a与-a在数轴上
的位置;C.和为0,商为-1。
5.数轴:
①定义(“三要素”)
②作用:
A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意
义;C.建立点与实数的一一对应关系。
6.奇数、偶数、质数、合数(正整数—自然数)
定义及表示:
奇数:
2n-1
偶数:
2n(n为自然数)
7.绝对值:
①定义(两种):
代数定义:
│a│=
a(a≥0)
-a(a<0)
几何定义:
数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴
上所对应的点到原点的距离。
②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a
的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目,只要其中有“│
│”出现,其关键一步是去掉“││”符号。
二、实数的运算
1.运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)
2.运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法
对加法的]
分配律)
3.运算顺序:
A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从
“左”
到“右”(如5÷
1
5
×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到
“大”。
三、应用举例(略)
附:
典型例题
1.已知:
a、b、x在数轴上的位置如下图,求证:
│x-a│+
=b-a.
│x-b│
axb
2.已知:
a-b=-2且ab<0,(a≠0,b≠0),判断a、b的符号。
第二章代数式
★重点★代数式的有关概念及性质,代数式的运算
☆内容提要☆
一、重要概念
分类:
单项式
整式
多项式
有理式
分式代数式
无理式
1.代数式与有理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫做代数式。
单独
的一个数或字母也是代数式。
整式和分式统称为有理式。
2.整式和分式
含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做
整式。
有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.单项式与多项式
没有加减运算的整式叫做单项式。
(数字与字母的积—包括单独的
一个数或字母)
几个单项式的和,叫做多项式。
说明:
①根据除式中有否字母,将整式和分式区别开;根据整式中
有否加减运算,把单项式、多项式区分开。
②进行代数式分类时,是
以所给的代数式为对象,而非以变形后的代数式为对象。
划分代数式
类别时,是从外形来看。
如,
2
x
x
=x,
2
x=│x│等。
4.系数与指数
区别与联系:
①从位置上看;②从表示的意义上看
5.同类项及其合并
条件:
①字母相同;②相同字母的指数相同
合并依据:
乘法分配律
6.根式
表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意:
①从外形上判断;②区别:
3、7是根式,但不是无理式
(是无理数)。
7.算术平方根
⑴正数a的正的平方根(a[a≥0—与“平方根”的区别]);
⑵算术平方根与绝对值
①联系:
都是非负数,
2
a=│a│
②区别:
│a│中,a为一切实数;a中,a为非负数。
8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化
化为最简二次根式以后,被开方数相同的二次根式叫做同类二次
根式。
满足条件:
①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中
不含有开得尽方的因数或因式。
把分母中的根号划去叫做分母有理化。
9.指数
⑴
a·a⋯a=
n
a
(
n
a—幂,乘方运算)
n个
①a>0时,
n
a>0;②a<0时,
n
a>0(n是偶数),
n
a<0(n
是奇数)
⑵零指数:
0
a=1(a≠0)
负整指数:
p
a=1/
p
a(a≠0,p是正整数)
二、运算定律、性质、法则
1.分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则
2.分式的性质
⑴基本性质:
b
a
=
bm
am
(m≠0)
bbb
⑵符号法则:
aaa⑶繁分式:
①定义;②化简方法(两种)
3.整式运算法则(去括号、添括号法则)
4.幂的运算性质:
①
m
a·
n
a=
mn
a;②
m
a÷
n
a=
mn
a;③
mnmn
(a)=a;
④
n
(ab)=
n
a
n
b;⑤
(
a
b
)
n
n
a
n
b
技巧:
b
a
(
)
p
(
a
b
)
p
5.乘法法则:
⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。
6.乘法公式:
(正、逆用)
222
(ab)aabb
2
(a+b)(a-b)=
a
2b2
2abb
2
(a±b)(a)=
3b3
a
7.除法法则:
⑴单÷单;⑵多÷单。
8.因式分解:
⑴定义;⑵方法:
A.提公因式法;B.公式法;C.十字
相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。
9.算术根的性质:
22aa
a=a;(a)(0);abab(a
≥0,b≥0);
a
b
a
b
(a≥0,b>0)(正用、逆用)
10.根式运算法则:
⑴加法法则(合并同类二次根式);⑵乘、除
法法则;⑶分母有理化:
A.
1
a
;B.
b
a
ab
a
;C.
1
manb
.
11.科学记数法:
n
a10(1≤a<10,n是整数=
三、应用举例(略)
四、数式综合运算(略)
第三章统计初步
★重点★
☆内容提要☆
一、重要概念
1.总体:
考察对象的全体。
2.个体:
总体中每一个考察对象。
3.样本:
从总体中抽出的一部分个体。
4.样本容量:
样本中个体的数目。
5.众数:
一组数据中,出现次数最多的数据。
6.中位数:
将一组数据按大小依次排列,处在最中间位置的一个
数(或最中间位置的两个数据的平均数)
二、计算方法
1
'
1.样本平均数:
⑴x(x1xxn);⑵若x1x1a,
2
n
'
',则xx'a(a—常数,
2,⋯,xnxna
xx2a
x,x2,⋯,xn
1
接近较整的常数a);⑶加权平均数:
xfxfxf
11fffn
22k
k;⑷平均数是刻划数据x(12k)
n
的集中趋势(集中位置)的特征数。
通常用样本平均数去估计总体平
均数,样本容量越大,估计越准确。
122
2xxxxxx
2
2.样本方差:
⑴s[()()(n)];⑵若
12
n
''',则
1,x2x2a,⋯,xnxna
xx1a
1'2'2'2
2
'
2xxxnx
s[(n)](a—接近x1、x2、⋯、xn的平均
12
n
数的较“整”的常数);若
x、x2、⋯、xn较“小”较“整”,则
1
1222
2
2xxxnx
s[(n)];⑶样本方差是刻划数据的离散程
12
n
度(波动大小)的特征数,当样本容量较大时,样本方差非常接近总
体方差,通常用样本方差去估计总体方差。
3.样本标准差:
s
2
s
三、应用举例(略)
第四章直线形
★重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、
性质。
☆内容提要☆
一、直线、相交线、平行线
1.线段、射线、直线三者的区别与联系
从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方
面加以分析。
2.线段的中点及表示
3.直线、线段的基本性质(用“线段的基本性质”论证“三角
形两边之和大于第三边”)
4.两点间的距离(三个距离:
点-点;点-线;线-线)
5.角(平角、周角、直角、锐角、钝角)
6.互为余角、互为补角及表示方法
7.角的平分线及其表示
8.垂线及基本性质(利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”)
9.对顶角及性质
10.平行线及判定与性质(互逆)(二者的区别与联系)
11.常用定理:
①同平行于一条直线的两条直线平行(传递性);
②同垂直于一条直线的两条直线平行。
12.定义、命题、命题的组成
13.公理、定理
14.逆命题
二、三角形
分类:
⑴按边分;
⑵按角分
1.定义(包括内、外角)
2.三角形的边角关系:
⑴角与角:
①内角和及推论;②外角和;
③n边形内角和;④n边形外角和。
⑵边与边:
三角形两边之和大于第
三边,两边之差小于第三边。
⑶角与边:
在
等边等角
同一三角形中,
大边大角
小边小角
3.三角形的主要线段
讨论:
①定义②××线的交点—三角形的×心③性质
①高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线
⑴一般三角形⑵特殊三角形:
直角三角形、等腰三角形、等边三
角形
4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直
角三角形)的判定与性质
5.全等三角形
⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)
⑵特殊三角形全等的判定:
①一般方法②专用方法
6.三角形的面积
⑴一般计算公式⑵性质:
等底等高的三角形面积相等。
7.重要辅助线
⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线
8.证明方法
⑴直接证法:
综合法、分析法
⑵间接证法—反证法:
①反设②归谬③结论
⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等
⑷证线段倍分关系:
加倍法、折半法
⑸证线段和差关系:
延结法、截余法
⑹证面积关系:
将面积表示出来
三、四边形
分类表:
1.一般性质(角)
⑴内角和:
360°
⑵顺次连结各边中点得平行四边形。
推论1:
顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。
推论2:
顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。
⑶外角和:
360°
2.特殊四边形
⑴研究它们的一般方法:
定义→性质→判定
边角对
角
线
面
积
对
称
性
轴
对
中
心
称对
称
⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、
性质和判定
⑶判定步骤:
四边形→平行四边形→矩形→正方形
┗→菱形──↑
⑷对角线的纽带作用:
相等且互相平分
矩形
相等垂直
互相平分相等且互相垂直
四边形平行四边形
正方形
垂直相等
菱形
互相垂直平分
互相垂直平分且相等
3.对称图形
⑴轴对称(定义及性质);⑵中心对称(定义及性质)
4.有关定理:
①平行线等分线段定理及其推论1、2
②三角形、梯形的中位线定理
③平行线间的距离处处相等。
(如,找下图中面积相等的三
角形)
5.重要辅助线:
①常连结四边形的对角线;
②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作
高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”
转化为三角形。
6.作图:
任意等分线段。
四、应用举例(略)
]第五章方程(组)
★重点★一元一次、一元二次方程,二元一次方程组的解法;方程
的有关应用题(特别是行程、工程问题)
☆内容提要☆
一、基本概念
1.方程、方程的解(根)、方程组的解、解方程(组)
2.分类:
一次方程
二次方程
整式方程
高次方程
有理方程
方程
分式方程
无理方程
二、解方程的依据—等式性质
1.a=b←→a+c=b+c
2.a=b←→ac=bc(c≠0)
三、解法
1.一元一次方程的解法:
去分母→去括号→移项→合并同类
项→
系数化成1→解。
2.元一次方程组的解法:
⑴基本思想:
“消元”⑵方法:
①代
入法
②加减法
四、一元二次方程
2bxca
1.定义及一般形式:
0(0)
ax
2.解法:
⑴直接开平方法(注意特征)
⑵配方法(注意步骤—推倒求根公式)
2
bb4ac2
⑶公式法:
(40)
x1bac
2
2a
⑷因式分解法(特征:
左边=0)
2
3.根的判别式:
b4ac
4.根与系数顶的关系:
b
xx,xx
a
c
a
逆定理:
若x1x2m,x1x2n,则以x1,x2为根的一元二次方
2mxn程是:
x0。
5.常用等式:
222
x1x(xx)2xx
21212
22
(x1x)(xx)4xx
21212
五、可化为一元二次方程的方程
1.分式方程
⑴定义
⑵基本思想:
去分母
分式方程整式方程
3x62x2
⑶基本解法:
①去分母法②换元法(如,7
x1x2
⑷验根及方法
2.无理方程
)
⑴定义
⑵基本思想:
乘方
无理方程有理方程
⑶基本解法:
①乘方法(注意技巧!
!
)②换元法(例,
29172
2xx)⑷验根及方法
3.简单的二元二次方程组
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组
都可用代入法解。
六、列方程(组)解应用题
㈠概述
列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。
其
具体步骤是:
⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,
问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元(未知数)。
①直接未知数②间接未知数(往往二者兼用)。
一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量
关系给出),列方程。
一般地,未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述,列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数
学问题(设元、列方程),在由数学问题的解决而导致实际问题的解
决(列方程、写出答案)。
在这个过程中,列方程起着承前启后的作
用。
因此,列方程是解应用题的关键。
㈡常用的相等关系
1.行程问题(匀速运动)
基本关系:
s=vt
C
AB⑴相遇问题(同时出发):
甲→相遇处←乙
s+s乙=sAB;
甲
t甲t
乙
⑵追及问题(同时出发):
s甲ACs乙;t甲t乙
s
(AB)
(CB)
C
AB
甲→乙→(相遇处)
若甲出发t小时后,乙才出
发,而后在B处追上甲,则
(甲)→
AB
乙→(相遇处)
s甲s;ttt
乙甲乙
⑶水中航行:
船速水速v
v;船速水速
顺逆
2.配料问题:
溶质=溶液×浓度
溶液=溶质+溶剂
n13.增长率问题:
ana1(1r)
4.工程问题:
基本关系:
工作量=工作效率×工作时间(常把工
作量看着单位“1”)。
5.几何问题:
常用勾股定理,几何体的面积、体积公式,相似
形及有关比例性质等。
㈢注意语言与解析式的互化
如,“多”、“少”、“增加了”、“增加为(到)”、“同时”、“扩大为
(到)”、“扩大了”、⋯⋯
又如,一个三位数,百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,
则这个三位数为:
100a+10b+c,而不是abc。
㈣注意从语言叙述中写出相等关系。
如,x比y大3,则x-y=3或x=y+3或x-3=y。
又如,x与y的差
为3,则x-y=3。
㈤注意单位换算
如,“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。
七、应用举例(略)
第六章一元一次不等式(组)
★重点★一元一次不等式的性质、解法
☆内容提要☆
1.定义:
a>b、a<b、a≥b、a≤b、a≠b。
2.一元一次不等式:
ax>b、ax<b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠
0)。
3.一元一次不等式组:
4.不等式的性质:
⑴a>b←→a+c>b+c
⑵a>b←→ac>bc(c>0)
⑶a>b←→ac ⑷(传递性)a>b,b>c→a>c ⑸a>b,c>d→a+c>b+d. 5.一元一次不等式的解、解一元一次不等式 6.一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组(在数轴上表示 解集) 7.应用举例(略) 第七章相似形 ★重点★相似三角形的判定和性质 ☆内容提要☆ 一、本章的两套定理 第一套(比例的有关性质): 反比性质: b a d c a b c d adbc 更比性质: d b c a 或 a c b d (比例基本定理)abcd 合比性质: bd a b c d m n (bdn0)等比性质: a b c d m n a b 涉及概念: ①第四比例项②比例中项③比的前项、后项,比 的内项、外项④黄金分割等。 第二套: 平行线分线段 成比例定理 (基本定理) 应用于△中 推论 (骨干定理) 判 相 相似基本 定理 推论 推论的 逆定理 定 定 理 似 三 角 形 Rt△ 定理3 定理2 定理1推论 第八章函数及其图象 ★重点★正、反比例函数,一次、二次函数的图象和性质。 ☆内容提要☆ 一、平面直角坐标系 1.各象限内点的坐标的特点 2.坐标轴上点的坐标的特点 3.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点 4.坐标平面内点与有序实数对的对应关系 二、函数 1.表示方法: ⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。 2.确定自变量取值范围的原则: ⑴使代数式有意义;⑵使实际问 题有 意义。 3.画函数图象: ⑴列表;⑵描点;⑶连线。 三、几种特殊函数 (定义→图象→性质) 1.正比例函数 ⑴定义: y=kx(k≠0)或y/x=k。 ⑵图象: 直线(过原点) ⑶性质: ①k>0,⋯②k<0,⋯ 2.一次函数 ⑴定义: y=kx+b(k≠0) ⑵图象: 直线过点(0,b)—与y轴的交点和(-b/k,0)—与x 轴的交点。 ⑶性质: ①k>0,⋯②k<0,⋯ ⑷图象的四种情况: yyyy oooo xxxx (k>0,b>0)(k<0,b>0)(k>0,b<0)(k<0,b<0) 3.二次函数 ⑴定义: yax2bxc(a0)(一般式) ya)(0)() (xh2ka顶点式 2ayaxka 2 特殊地,(0),(0) yax都是二次函数。 ⑵图象: 抛物线(用描点法画出: 先确定顶点、对称轴、开口方 2bxca向,再对称地描点)。 (0) yax用配方法变为 2ka ya(xh)(0),则顶点为(h,k);对称轴为直线x=h;a>0 时,开口向上;a<0时,开口向下。 ⑶性质: a>0时,在对称轴左侧⋯,右侧⋯;a<0时,在对称轴左 侧⋯,右侧⋯。 4.反比例函数 ⑴定义: k 1 ykx或xy=k(k≠0)。 x ⑵图象: 双曲线(两支)—用描点法画出。 ⑶性质: ①k>0时,图象
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