中考复习专题定值问题.docx
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中考复习专题定值问题
苏州市初三数学定值问题专题复习
课前演练:
一、选择题
1.(2015·潍坊)如图,直线l是一条河,A,B两地相距5km,A,B两地到l的距离分别为3km,6km,欲在l上的某点M处修建一个水泵站,向A,B两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则铺设的管道最短的是( )
2.(2015·)如图,A,B两个电话机离电话线l的距离分别是3米,5米,CD=6米,若由l上一点分别向A,B连线,最短为( )
A.11米B.10米C.9米D.8米
(第2题图)
(第3题图)
3.如图,AC⊥BC于C,连接AB,点D是AB上的动点,AC=6,BC=8,AB=10,则点C到点D的最短距离是( )
A.6B.8C.
D.
(第4题图)
第5题图)
第6题图)
4.(2015·贵阳模拟)如图Rt△ABC中,AB=BC=4,D为BC的中点,在AC边上存在一点E,连接ED,EB,则△BDE周长的最小值为( )
A.2
B.2
C.2
+2D.2
+2
二、填空题
5.如图,从直线外一点A到这条直线的所有线段中,线段____最短.
6.如图,想在河堤两岸搭建一座桥,图中搭建方式中,最短的是PB,理由是____.
7.如图,在等腰三角形△ABC中,∠ABC=120°,P是底边AC上的一个动点,M,N分别是AB,BC的中点,若PM+PN的最小值是2,则△ABC的周长是____.
第7题图)
第8题图)
8.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,点M是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,若PM+PB的最小值是9,则AB的长是____.
9.如果P是边长为2的正方形ABCD的边CD上任意一点且PE⊥DB,PF⊥CA,垂足分别为E,F,则PE+PF=____.
第9题图)
第10题图)
10.如图,∠ABC=45°,BC=4
,BD平分∠ABC交AC于点D,M,N分别是BD和BC上的动点(M与B,D两点不重合,N与B,C两点不重合),则CM+MN的最小值是____.
典型例题:
例1.小虎家新建一间房子,要在屋外的A处安装水表,从大路边到A处怎样接水管最近?
把最短的线段画出来,并简要说明道理.
例2.等边△ABC的边长是8,AD⊥BC,E是BD的中点,M,N分别是AB,AD上的动点,求MN+EN的最小值.
例3.如图,∠AOB=45°,P是∠AOB内一定点,PO=10,Q,R分别是OA,OB上的动点,求△PQR周长的最小值.(要求画出示意图,写出解题过程)
例4.如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠A=135°,点P,M,N分别为对角线BD及边BC,CD上的动点,求PM+PN的最小值.
例5.如图,正方形ABCD的边长为4,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P,Q分别是AD和AE上的动点,求DQ+PQ的最小值.
巩固练习:
一、填空题
1.在半⊙O中,点C是半圆弧AB的中点,D是弧BC上距离点B较近的一个三等分点,点P是直径AB上的动点,若AB=10,则PC+PD的最小值是___.
(第1题图)
(第2题图)
(第3题图)
2.(2015·株洲)如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E,F分别是AC,BC的中点,直线EF与⊙O交于G,H两点,若⊙O的半径为7,则GE+FH的最大值为___.
3.(2015·)如图,在反比例函数y=
上有两点A(3,2),B(6,1),在直线y=-x上有一动点P,当P点的坐标为___时,PA+PB有最小值.
二、解答题
4.已知点M(3,2),N(1,-1),点P在y轴上,求使得△PMN的周长最小的点P的坐标.
5.(2015·)如图,AB是⊙O的直径,AB=8,点M在⊙O上,∠MAB=20°,N是弧MB的中点,P是直径AB上的一动点.若MN=1,则△PMN周长的最小值为多少.
6.(2015·永州模拟)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三点,其顶点为D,对称轴与x轴交于点H.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是该抛物线的对称轴上的一个动点,求△PBC周长的最小值.
7.小明在学习轴对称的时候,老师留了一道思考题:
如图1,若点A,B在直线m的同侧,在直线m上找一点P,使得AP+BP的值最小,小明通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确方法,他的做法是这样的:
(a)作点B关于直线m的对称点B′,(b)连接AB′与直线m交于点P,则点P为所求.
请你参考小明的做法解决下列问题:
(1)如图2,在等边△ABC中,AB=2,点E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法),使得BP+PE的值最小,并求出最小值;
(2)如图3,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,G为边AD上的中点,若E,F为AB边上的两个动点,点E在点F的左侧,且EF=1,当四边形CGEF的周长最小时,请你在图3中确定点E,F的位置(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法),并求出四边形CGEF的周长的最小值.
8.(2015·)如图,抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.△PCM是以CM为底的等腰三角形.
(1)求点P的坐标;
(2)当a为多少时,四边形PMEF周长最小.
拓展提高:
1.(2012年苏州)如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,连接PA、PB,设PC的长为x(2<x<4).
(1)当x=
时,求弦PA、PB的长度;
(2)当x为何值时,PD•CD的值最大?
最大值是多少?
2.(2012年苏州)如图,正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合,将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动,移动开始前点A与点F重合,在移动过程中,边AD始终与边FG重合,连接CG,过点A作CG的平行线交线段GH于点P,连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm,矩形EFGH的边FG,GH的长分别为4cm,3cm,设正方形移动时间为x(s),线段GP的长为y(cm),其中0≤x≤2.5.
(1)试求出y关于x的函数关系式,并求当y=3时相应x的值;
(2)记△DGP的面积为S1,△CDG的面积为S2.试说明S1﹣S2是常数;
(3)当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时,求线段PD的长.
中午作业:
(分类练习)
一、定值问题解
1、如图,在平面直角坐标系
O
中,矩形AOCD的顶点A的坐标是(0,4),现有两动点P、Q,点P从点O出发沿线段OC(不包括端点O,C)以每秒2个单位长度的速度,匀速向点C运动,点Q从点C出发沿线段CD(不包括端点C,D)以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P,Q同时出发,同时停止,设运动时间为t秒,当t=2秒时PQ=
.
(1)求点D的坐标,并直接写出t的取值范围;
(2)连接AQ并延长交
轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF,则△A
EF的面积S是否随t的变化而变化?
若变化,求出S与t的函数关系式;若不变化,求出S的值.
(3)在
(2)的条件下,t为何值时,四边形APQF是梯形?
(第1题图)
2、如图所示,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边BC.CD上滑动,且E、F不与B.C.D重合.
(1)证明不论E、F在BC.CD上如何滑动,总有BE=CF;
(2)当点E、F在BC.CD上滑动时,分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化?
如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值.
(2题图)
(3题图)
二、由运动产生的线段和差问题(最值问题)
3、如图所示,已知A
,B
为反比例函数
图像上的两点,动
点P
在x正半轴上运动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是【】
A.
B.
C.
D.
4、如图,抛物线l交x轴于点A(﹣3,0)、B(1,0),交y轴于点C(0,﹣3).将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1.
(1)求l1的解析式;
(2)在l1的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大,并说出理由;
5、如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.
(1)抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;
(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?
若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;
(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.
回家作业:
(压轴题训练)
1、如图,已知抛物线
经过A(4,0),B(2,3),C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式及对称轴.
(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使得MA+MB的值最小,并求出点M的坐标.
(3)在抛物线上是否存在一点P,使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2.(2012四川自贡12分)如图所示,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边BC.CD上滑动,且E、F不与B.C.D重合.
(1)证明不论E、F在BC.CD上如何滑动,总有BE=CF;
(2)当点E、F在BC.CD上滑动时,分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化?
如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值.
3.(2015•常州10分)如图,一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,过点A作x轴的垂线l,点P为直线l上的动点,点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点,点P、Q与点A都不重合.
(1)写出点A的坐标;
(2)当点P在直线l上运动时,是否存在点P使得△OQB与△APQ全等?
如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
(3)若点M在直线l上,且∠POM=90°,记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2,求
的值.
参考答案:
课前演练:
1.B;2.B;3.D;4.C;5.AD;6.垂线段最短;7.4+2
;8.6
;9.
;10.4;
2.典型例题:
例1.解:
如图所示:
沿AB线段接水管最近,因为直线外一点与直线的所有连接线段中,垂直线段最短
(例1答图)
(例2答图)
(例3答图)
例2.解:
作点E关于AD的对称点H,过点H作HG⊥AB于G,则MN+EN的最小值是HG,Rt△HBG中,sin60°=
,解得,GH=3
。
例3.解:
分别作点P关于OA,OB的对称点M,N,连接OM,ON,MN,MN交OA,OB于点Q,R,连接PR,PQ,此时△PQR周长的最小值等于MN.由轴对称性质可得,OM=ON=OP=10,∠MOA=∠POA,∠NOB=∠POB,∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°,在Rt△MON中,MN=
=10
,即△PQR周长的最小值等于10
。
例4.解:
过点M作关于BD的对称点M1,连接M1N交BD于点P,连接PM,则PM+PN的
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