运筹学期末试题.docx

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运筹学期末试题

《运筹学》试题样卷

（一）

题号

-一-

-二二

三

四

五

六

七

八

九

十

总分

得分

、判断题（共计10分，每小题1分，对的打"，错的打X）

1.无孤立点的图一定是连通图。

2.对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，

另一个也一定有最优解。

3.如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。

4•对偶问题的对偶问题一定是原问题。

■.■>0

5•用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与j对应的变量

都可以被选作换入变量。

6•若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷

多个最优解。

7.度为0的点称为悬挂点。

8.表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。

9.一个图G是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。

10.任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

⑨

、建立下面问题的线性规划模型（8分）

某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。

农场劳动力情况为秋冬季3500人日；春夏季4000人日。

如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元/人

日，秋冬季收入为20元/人日。

该农场种植三种作物：

大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。

种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。

养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50

人日，年净收入900元/每头奶牛。

养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6

人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元/每只鸡。

农场现有鸡舍允许最多养1500只

鸡，牛栏允许最多养200头。

三种作物每年需要的人工及收入情况如下表所示：

大豆

玉米

麦子

秋冬季需人日数

20

35

10

春夏季需人日数

50

75

40

年净收入（元/公顷）

3000

4100

4600

试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。

三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中松弛变量，问题的约束为一形式（共8分）

X2

X3

x4

X5

x3

5/2

0

1/2

1

1/2

0

xi

5/2

1

—1/2

0

—1/6

1/3

Cj_Zj

0

-4

0

—4

—2

X4,X5为

（1）写出原线性规划问题；（4分）

（2）写出原问题的对偶问题；（3分）

（3）直接由上表写出对偶问题的最优解。

（1分）

四、用单纯形法解下列线性规划问题（16分）

maxZ=2x^-x2x3

s.t.3X1+X2+X3-60

x1-x2+2x3-10

x1+x2-x3-20

x1,X2,X3_0

五、求解下面运输问题。

（18分）

某公司从三个产地A1、A?

、A3将物品运往四个销地B1、B2、B3、B4,各产地的产量、各

销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示：

问：

应如何调运，可使得总运输费最小？

销地

产地

B

B2

B3

B4

产量

Ai

10

5

6

7

25

A2

8

2

7

6

25

A3

9

3

4

8

50

销量

15

20

30

35

100

六、灵敏度分析（共8分）

线性规戈Umaxz=10X1+6x2+4x3

S.t.X1+x2+X3虫100

10X1+4X2+5X3咗600

2x1+2X2+6X3虫300

X1,X2,X3一0

的最优单纯形表如下:

6

X2

200/3

0

5/6

1

5/3

-1/6

0

10

X1

100/3

1

1/6

0

-2/3

1/6

0

0

X6

100

0

4

0

-2

0

1

可

0

-/3

0

-10/3

-2/3

0

（1）C1在何范围内变化，最优计划不变？

（4分）

（2）bl在什么范围内变化，最优基不变？

（4分）

七、试建立一个动态规划模型。

（共8分）

某工厂购进100台机器，准备生产pl,p2两种产品。

若生产产品pl，每台机器每年可收入45万元，损坏率为65%;若生产产品p2,每台机器每年可收入35万元，损坏率为

35%;估计三年后将有新的机器出现，旧的机器将全部淘汰。

试问每年应如何安排生产，

使在三年内收入最多？

八、求解对策问题。

（共10分）

某种子商店希望订购一批种子。

据已往经验，种子的销售量可能为500，1000，1500或2000

公斤。

假定每公斤种子的订购价为6元，销售价为9元，剩余种子的处理价为每公斤3元。

要求：

（1）建立损益矩阵；（3分）

（2）用悲观法决定该商店应订购的种子数。

（2分）

（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法决定商店应订购的种子数。

（5分）

（8分）

工序代号

工序时间

最早开工时间

最早完工时间

最晚开工时间

最晚完工时间

机动时间

1-2

8

1-3

7

1-4

6

2-4

3

2-5

5

3-4

2

3-6

3

4-5

3

4-6

7

4-7

4

5-7

9

6-7

8

十、用标号法求Vi到V6的最短路。

（6分）

V

^1

V

《运筹学》试题样卷

（二）

题号

-一-

-二二

三

四

五

六

七

八

九

十

总分

得分

一、判断题（对的打v,错的打X.共计10分，答在下面的表格中）

1单纯形法计算中，选取最大正检验数ck对应的变量Xk作为换入变量，可使目标函数值

得到最快的减少。

2、单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。

3、对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。

4、应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量Xi：

：

0，且Xi所在行的所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。

5、用位势法计算检验数时，每一行（或列）的位势的值是唯一的，所以每一个空格的检验数是唯一的。

6、动态规划的最短路问题也可以用图论中求最短路问题的方法求解。

7、图论中的图是为了研究问题中有哪些对象及对象之间的关系，它与图的几何形状无关。

8、动态规划只是用来解决和时间有关的问题。

9、在画网络计划图时，允许有多个起点和多个终点。

10、因为运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求其解也可能出现下列四种情况：

有唯一最优解；有无穷多个最优解；无界解；无可行解。

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

⑨

10

二、试建立此问题的数学模型。

（8分）

某工厂I、□、川三种产品在下一年个季度的合同预定数如下表所示，该三种产品第一季

度初无库存，要求在在第四季度末每种产品的库存为150件。

已知该厂每季度生产工时为

15000小时，生产产品I、n、川每件需3,4,3小时。

因更换工艺装备，产品I在第二季度无法生产。

规定当产品不能按期交货时，产品i、n每件每迟交一个季度赔偿20元，产

品川赔偿15元，又生产出来的产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费为5元。

问应

如何安排生产，使总的赔偿加库存费用最小。

含口产口仃

季度

1

2

3

4

I

1500

1000

2000

1200

n

1500

1500

1200

1500

出

1500

2000

1500

2500

（16分）

三、用单纯形法求解线性规划问题

MaxZ=1500xi+2500X2

s.t.3x1+2X2<65

2Xi+X2-40

3x2<75

Xi，x2_0

四、写出下面线性规划的对偶问题

minz=x1x22x3

'2X[+x2+2x3兰7

2X[—3x2—x3=5

-3x15x2-4x3-3

x1,x2-0,x3无约束；

五、求解下面运输问题。

（18分）

某公司从三个产地A.A?

、A3将物品运往四个销地Bi、B2、B3、B4,各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示

销地

产地

Bi

B2

B3

B4

产量

A

3

11

3

10

7

A2

1

9

2

8

4

A3

7

4

10

5

9

销量

3

6

5

6

20

问：

应如何调运，可使得总运输费最小

六、灵敏度分析（8分）

线性规划maxz=4xi•x?

5x3

'6X[+3x2+5x3兰45

<3X[+4x2+5x3兰30

Xi,x?

x3>0

的最终单纯形表如下:

Cj

4

1

5

0

0

CB

Xb

b

x1

x2

x3

x4

x5

4

xi

5

1

—1/3

0

1/3

—1/3

5

X3

3

0

1

1

—1/5

2/5

0

—8/3

0

—1/3

—2/3

（1）x1的系数Ci在什么范围变化，上述最优解不变？

（4分）

（2）b2在什么范围变化，最优基不变？

（4分）

七、建动态规划模型。

（8分）

某公司拥有资金10万元，若投资于项目i（i=1,2,3）的投资额为xi时，其收益分别为

g1（x1）=4x1,g2（x2）=9x2,g3（x3）=2x32，问应如何分配投资数额才能使总收益最大?

八、解决对策问题。

（10分）

根据已往的资料，一家超级商场每天所需面包数（当天市场需求量）可能是下列当中的某

一个：

100,150,200,250,300，但其概率分布不知道。

如果一个面包当天卖不掉，则可

在当天结束时每个0.5元处理掉。

新鲜面包每个售价1.2元，进价0.9元，假设进货量限制

在需求量中的某一个，要求

（1）建立面包进货问题的损益矩阵；（3分）

（2）用乐观法确定进货量。

（2分）

（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法确定进货量。

（5分）

九、用双标号法求下列图中Vl到V9的最短路线及其长度。

（6分）

十、下图是商业中心建设项目的网络计划图，请用标号法计算出表中的各个参数，最后指出关键问题，并画出关键线路。

（8分，直接答在下面）

BCDEJ

工序时间

开工时间

完工时间

机动时间

最早

最晚

最早

最晚

A（20）

B（10）

C（8）

D（24）

E（8）

答案

判断题。

共计10分，每小题1分

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

⑨

10

X

X

V

V

X

V

X

V

、建线性规划模型。

共计8分（酌情扣分）

X4，X5分别表示奶牛和鸡的

解：

用Xi，x2，x3分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数;

饲养数；X6,x7分别表示秋冬季和春夏季的劳动力（人日）数，则有

maxZ=3000X[4100x24600x3900x420x520x625x7

'X[+x2+x3+1.5x4兰100（土地限制）

400x4+3x5<15000（资金限制）

20为+35x2+10x3+100x4+0.6%+x6兰3500（劳动力限制）円50为+175x2+40x3+50x4+0.3%+x7誉4000（劳动力限制）x4<200（牛栏限制）

x5<1500（鸡舍限制）

.Xj工0（j=1,2，…，7）

三、对偶问题。

共计8分

解:

（1）原线性规划问题：

maxz二6x1-2x2■10x3

x2+2x2兰5«3X[-x2+x3兰10

‘为，X2启0；••••••4分

（2）原问题的对偶规划问题为:

min=5y110y2

3y^6

』yi_y2色-2

2yiy2-10

力"2-°;……3分

（3）对偶规划问题的最优解为：

Y”=（4,2）T。

……1分

四、单纯形表求解线性规划。

共计16分

解：

引入松弛变量X4、X5、X6,标准化得，

maxZ=2X[-x2x3

s.t.3xi+X2+X3+X4=60

X1-X2+2X3+X5=10

X1+X2-X3+X6=0

X1,X2,X3,X4、X5、X6,>03分

建初始单纯形表，进行迭代运算：

9分

Cb

Xb

b'

2

-1

1

0

0

0

0

X1

X2

X3

X4

X5

X6

0

X4

60

3

1

1

1

0

0

20

0

X5

10

[1]

-1

2

0

1

0

10*

0

X6

20

1

1

-1

0

0

1

20

O1

0

2*

-1

1

0

0

0

0

X4

30

0

4

-5

1

-3

0

7.5

2

X1

10

1

-1

2

0

1

0

---

0

X6

10

0

[2]

-3

0

-1

1

5*

02

20

0

1*

-3

0

-2

0

0

X4

10

0

0

1

1

-1

-2

2

X1

15

1

0

0.5

0

0.5

0.5

-1

X2

5

0

1

-1.5

0

-0.5

0.5

03

25

0

0

-1.5

0

-1.5

-0.5

由最优单纯形表可知，原线性规划的最优解为：

（15,5,0）T...2分

最优值为：

z*=25。

2分

五、求解运输问题。

共计18分

解：

（1）最小元素法：

（也可以用其他方法，酌情给分）

设Xjj为由Ai运往Bj的运量（i=1,2,3;j=1,2,3,4）,列表如下：

销地产地

B1

B2

B3

B4

产量

1

25

25

2

20

5

25

3

15

30

5

50

销量

15

20

30

35

100

所以，基本的初始可行解为：

X14=25；X22=20；X24=5；

X31=15；X33=30；X34=5

其余的Xij=0。

3分

（2）求最优调运方案：

1会求检验数，检验解的最优性：

11=2;.12=2;:

13=3;

「21=1;；:

23=5;；「32=-13分

2会求调整量进行调整：

=52分

销地产地

B1

B2

B3

B4

产量

1

25

25

2

15

10

25

3

15

5

30

50

销量

15

20

30

35

100

…3分

3再次检验2分

4能够写出正确结论

解为：

x14=25；X22=15；X24=10X31=15，X32=5X33=30

其余的Xij=0。

……1分

最少运费为：

5351分。

六、灵敏度分析。

共计8分

（1）（4分）

'—8/3-213、—孑.'—10/3max』,>

l1/61/6,j-2/3

一4空：

c,乞5,6=10—4乞c,g乞105=15

（2）（4分）

-200/3

5/3

=0・35uk*0.65（sk—uk）

（5）允许决策集合，在第k段为Uk（sk）{uk0_uk_s.}

（6）目标函数。

设gk（sKuk）为第k年度的产量，则

gk（sk,uk）=45uk+35（sk~uk）,

因此，目标函数为

Rk八gk（Sk,uk）

i

（7）条件最优目标函数递推方程。

fk（Sk）=mqx（uk（Sk））

Uk包k

令fk（sk）表示由第k年的状态sk出发，采取最优分配方案到第3年度结束这段时间

的产品产量，根据最优化

原理有以下递推关系：

{[45u「35（Sk-山）]fki[0・35Uk0.65（Sk-山）]}

f31（S31）=0

（8）.边界条件为

八、解决对策问题。

共10分

（1）益损矩阵如下表所示：

……3分

销售

S1

S2

S3

S4

订购

500

1000

1500

2000

A1500

1500

1500

1500

1500

A21000

0

3000

3000

3000

A31500

—1500

1500

4500

4500

A42000

—3000

0

3000

6000

（2）悲观法：

A1，订购500公斤。

……2分

（3）后悔矩阵如下表所示：

3分

S1

S2

S3

S4

最大后悔值

A1

0

1500

3000

4500

4500

A2

1500

0

1500

3000

3000

A3

3000

1500

0

1500

3000

A4

4500

3000

1500

0

4500

工序代号

工序时间

最早开工时间

最早完工时间

最晚开工时间

最晚完工时间

机动时间

1-2

8

0

8

0

8

0

1-3

7

0

7

2

9

2

1-4

6

0

6

5

11

6

2-4

3

8

11

8

11

0

2-5

5

8

13

9

14

1

3-4

2

7

9

9

11

2

3-6

3

7

10

15

18

8

4-5

3

11

14

11

14

0

4-6

7

11

18

11

18

0

4-7

4

11

15

22

26

11

5-7

9

14

23

17

26

3

6-7

8

18

26

18

26

0

评分标准：

①能正确给各顶点标号并填表4分

2正确写出关键问题2分

3正确画出关键线路2分

十、用标号法求V1到V6的最短路。

（6分）

正确标号：

4分；正确写出结论：

2分

运筹学样卷

（二）答案

判断题。

（共计10分，每小题1分）

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

⑨

10

X

X

X

X

V

X

X

X

二、建线性规划模型。

（8分）（酌情给分）

解：

设Xij为第i个季度生产的产品j的数量；sj为第i个季度末需库存的产品j的数量;tij为第i个季度不能交货的产品j的数量；yij为第i个季度对产品j的预定数量，则有：

minZ八"20（ti1ti2）15tiJ5芒sij

yi口j二

Xil+Xi2+Xi3M15000（i=123,4）

X21=0

44

xij=Zyij+150（j=1,2,3）

i丄id

ii

迟Xkj+tij-Sij=迟ykj（i=123,4;j=1,2,3）

k=k丄

Xij,sij,tij-0

三、求解线性规划。

（16分）

解：

引入松弛变量x3,x4,x5，标准化得，

MaxZ=1500X1+2500X2

st3x1+2x2+x3=65

2x1+x2+x4=40

3x2+x5=75

x1,x2>03分

建初始单纯形表，进行迭代运算：

9分

Cb

Xb

b'

1500

2500

1

0

0

0

X1

X2

X3

X4

X5

0

X3

65

3

2

1

0

0

32.5

0

X4

40

2

1

0

1

0

40

0

X5

75

0

[3]

0

0

1

2.5*

O1

0

1500

2500*

0

0

0

0

X3

15

[3]

0

1

0

-2/3

5*

0

X4

15

2

0

0

1

-1/3

7.5

2500

X2

25

0

1

0

0

1/3

-■■-

02

62500

1500*

0

0

0

-2500/3

1500

X1

5

1

0

1/3

0

-2/9

0

X4

5

0

0

-2/3

1

1/9

2500

X2

25

0

1

0

0

1/3

a3

70000

0

0

-500

0

-500

由最优单纯形表可知原线性规划的最优解为：

（5,25,0,5,0）T...2分

最优值为：

z*=70000。

2分

四、解：

原问题的对偶规划问题为：

（共8分）

Maxf=7y1+5y2+3y3

2yi+2y2-3y3兰1

』yi—3y2+5y3兰1

2yi-y2-4y^2

yl0,y2无约束，y3-0

五、求解运输问题。

（18分）解：

（1）最小元素法：

设Xij为由Ai运往Bj的运量（i=1,2,3;j=1,2,