天津理工大学离散数学魏雪丽版检测题目解析.docx
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天津理工大学离散数学魏雪丽版检测题目解析
天津理工大学《离散数学》第一章检测题答案
、填空题(每空2分,共30分)
1.P
Q
2.
P
Q
3.二
c
4.(P
Q
R)
(P
Q
R)(P
QR),
(PQ
R)
(P
Q
R)(P
Q
R)(PQR)(PQR)
5.(PQ)(P(RS))6.QP7.(PQ)(QP)
、单项选择题(每小题2分,共20分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
D
B
C
B
C
D
A
A
C
B
二、简答题(每小题6分,共12分)
1.构造命题公式P(QR)的真值表.
P
Q
R
QR
P(QR)
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
2•求命题公式((PQ)R)P的主析取范式和主合取范式。
((PQ)R)P((PQ)R)P1分((PQ)R)P1分(PR)(QR)PP(QR)
(P
(Q
Q)(RR))
((PP)
(Q
R))
1分
(P
Q
R)(P
QR)
(PQ
R)
(P
Q
R)
(P
Q
R)(
PQ
R)1分
(P
Q
R)(P
QR)
(PQ
R)
(P
Q
R)(PQ
叫
m4
gm6
m7(这是主析取范式))
1分
Mo
M1
M3(这是主合取范式)
(P
Q
R)(P
QR)
(PQ
R)1分
R)
3.判断命题公式(P
Q)
(PR)与
(PQR)是否等价。
解:
A(PQ)(P
R)
(PQ)
(PR)
BP(QR)
P(QR)
(PQ)(PR)
等价
四.证明题(共32分)
i.
(10分)用CP规则证明P(
Q
R),Q
(R
S),P
Q
S;
1
P
P
6.
(R
S)
T(4,5)I
(2分)
2
P
(Q
R)
P
7.
R
T(3,4)I
(2分)
3
Q
R
T(1,2)I
(2
分)
8.
S
T(6,7)I
(2分)
4
•Q
P(附加前提)
9.
(Q
S)
CP(:
2分)
5
•Q
(R
S)
P
2.
(10分)
用归谬法证明
A
B,(
CB),C
S
A
.
证:
1
A
P(附加前提)
(1
分)
2
A
B
P
3
B
T1,2I
(2
分)
4
C
B
P
5
C
T3,4I
(2分)
6
C
S
P
7
C
T6I
(2
分)
8
C
C
T57I
(2
分)由8得出了矛盾,根据归谬法说明原推理正确(1分)
3.(12分)公安人员审理某珠宝商店的钻石项链的失窃案,已知侦察结果如下:
(1)营业员A或B盗窃了钻石项链
(2)若B作案,则作案时间不在营业时间
(3)若A提供的证词正确,则货柜未上锁
(4)若A提供的证词不正确,则作案发生在营业时间
(5)货柜上了锁
试问:
作案者是谁?
要求写出推理过程。
解:
令A表示“营业员A盗窃了钻石项链”;B表示“营业员B盗窃了钻石项链”;
P表示“作案时间在营业时间”;Q表示“A提供的证词正确”;R表示“货柜上了锁”。
则侦察结果如下:
AB,BP,QR,QP,R•由此可推出作案者是A.(4分)
P
⑹
P
⑺
T
(1),
(2)I
(2分)(8)
P
(9)
BPP
BT(5),(6)I(2
ABP
AT⑺,(8)I(2
推理过程如下:
(1)R
⑵QR
分)
(3)Q
⑷QP
分)
天津理工大学《离散数学》第二章检测题答案
一、填空题(每空3分,共30分)
1-(x)(G(x)F(x))(x)(F(x)G(x))
或(x)(G(x)F(x))(y)(F(y)G(y))
2•(x)(z)(w)[(P(x)
R(x,w))(Q(z,y)R(x,w))]
3.P(a)P(b)P(c)(Q(a)Q(b)Q(c))
6•(x,y;y)7.(P(x)yR(x,y))8.(x)(F(x)G(x))
、单项选择题(每小题2分,共20分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
A
A
B
D
C
A
C
C
B
D
二、简答题(每小题6分,共12分)
1.求謂词公式(x)(P(x)Q(x,y))((y)P(y)(z)Q(y,z))的前束析取范式.
(x)(P(x)Q(x,y))((y)P(y)(z)Q(y,z))
(x)(P(x)Q(x,y))((y)P(y)(z)Q(y,z))
x(P(x)Q(x,y))((y)P(y)(z)Q(y,z))
x(P(x)Q(x,y))((u)P(u)(z)Q(y,z))
(x)(u)(z)[(P(x)Q(x,y))(P(u)Q(y,z))]
2.证明:
x(P(x)Q(x))xP(x)xQ(x)
证:
xP(x)Q(x))
左式x(P(x)Q(x))x(P(x))xQ(x)xP(x)xQ(x)xP(x)xQ(x))
四.证明题(共38分)
1.(12分)用谓词演算的推理规则证明
x(P(x)Q(x)),x(Q(x)R(x)
S(x)),P(a)
R(a)S(a)
(1)x(P(x)Q(x))
P
(2)P(a)Q(a)
US
(1)
(2分)
(3)P(a)R(a)
P
(4)Q(a)
T
(2)(3)I
(2分)
(5)x(Q(x)R(x)S(x))
P
(6)Q(a)R(a)S(a)
US(5)
(2分)
(7)R(a)
T(3)I
(2分)
(8)Q(a)R(a)
T(4)(7)l
(2分)
(9)S(a)
T(6)(8)l
(2分)
2.(10分)指出下面推理证明过程中的错误,并给出正确的证明.用谓词演算的推理规则证明:
x(Q(x)R(x))x(Q(x)Z(x))x(R(x)Z(x))
证:
:
(1)
x(Q(x)R(x))
P
⑹
Z(a)
T⑷I
⑵
Q(a)R(a)
US
(1)
(7)
R(a)
T
(2),(5)I
(3)
x(Q(x)Z(x))
P
(8)
R(a)Z(a)
T(6),⑺I
⑷Q(a)Z(a)
ES(3)
(9)x(R(x)Z(x))EG(8)
(5)Q(a)
该证明的错误在于:
(1)、
(2)与(3)、(4)的顺序颠倒了,应该先指定存在后
指定全称。
(2分)正确的证明是:
(4分)
(1)
x(Q(x)
Z(x))
P
⑹
Z(a)
T
(2)I
(1分)
⑵
Q(a)Z(a)
ES
(1)(
2分)
⑺
R(a)
T(4),(5)I
(1分)
⑶
x(Q(x)
R(x))
P
(8)
R(a)Z(a)
T(6),⑺I
(1分)
⑷
Q(a)
R(a)
US(3)
(2分)
(9)x(R(x)
Z(x))EG(8)(1
分)
⑸Q(a)T
(2)I
3.(16分)符号化下列命题并推证其结论.
任何人如果他喜欢音乐,他就不喜欢体育.每个人或者喜欢体育,或者喜欢美
术.有的人不喜欢美术.因而有的人不喜欢音乐.(设M(x):
x喜欢音乐,
S(x):
x喜欢体育,A(x):
x喜欢美术.)
该推理符号化为:
(x(M(x)
S(x))
x(S(x)
A(x))
xA(x))(
xM(x))或
前提:
x(M(x)
S(x)),
x(S(x)
A(x)),
xA(x)
结论:
xM(x)
(4分)
证:
(1)xA(x)
P
(2)
A(a)
ES
(1)(
2分)
(3)x(S(x)A(x))P
(4)
S(a)A(a)
US(3)
(2分)
(5)S(a)T
(2)(4)
I(2分)
(6)
x(M(x)
S(x))P
(7)M(a)S(a)US(6)(2分)(8)S(a)M(a)T(7)E(1分)
(9)M(a)
T(5)(8)I(2分)(10)xM(x)EG(9)(1分)
天津理工大学《离散数学》第三、四章检测题答案
、填空题(每空2分,共40分)
8•f1{,0,{},1},f2{,1,{},0}。
9.单射,满射;既是单射又是满射;IB;IA
、单项选择题(每小题2分,共20分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
(1)
(2)
(1)
(3)
(2)
(2)
(1)
(3)
(3)
(1)
三、简答题(共30分)
1.(6分)设A={1,2,3,5,6,10,15,30},“/”为集合A上的整除关系。
〈A,/〉是否
为偏序集?
若是,画出其哈斯图;
解:
〈A,/〉是偏序集。
其哈斯图为:
2.(12分)对下图所给的偏序集A,,求下表所列集合的上(下)界,上(下)确界,并将结果填入表中。
子集
上界
下界
上确界
下确界
{a,b,c}
a
d
a
d
{c,d,e}
a,c
无
c
无
A
a
无
a
无
3.(6分)设A={1,2,3,4,5,6},集合A上的关系
R={〈1,3>,〈1,5>,〈2,5>,〈4,4>,〈4,5>,〈5,4>,〈6,3>,〈6,6>}。
(1)画出R的关系图,并求它的关系矩阵;
(2)求r(R),S(R)及t(R)。
解:
(1)R的关系图为
R的关系矩阵为
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
Mr
(2分)
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
(2)r(R)砒1,1,2,2,33,.5,5},(1分)
S(RRJ{3,1<5,1,5,2,3,6}(1分)
t(R)RJ{1,4,2,4,5,5}(2分)
4•设Z是整数集,R是Z上的模3同余关系,即R{-x,y|x,y乙xy(mod3)},试
根据等价关系R决定Z的一个划分。
答案:
由R决定的Z的划分为:
{0r,1r,2r},其中:
Or{,9,6,30,3,6,9,}
1r{,8,5,2,1,4,7,}
2r{,7,4,1,2,5,8,}
四.证明题(共10分)
xa
1.设a,bR,ab,定义f:
[a,b][0,1]为f(x),证明:
f是双射,并求出
ba
其逆映射。
证:
1)先证明f是入射(2分)
卄x..ax2a
对任意的X1,X2a,b,右f(X1)f(X2),则有一-,从而有X1X2,
baba
故f是入射。
2)再证明f是满射(2分)
对任意的y0,1,都存在x(ba)yaa,b,使得f(x)y,从而f是满射。
综合
(1)、
(2)知f是双射。
11
f:
[0,1][a,b]为f(x)(ba)xa,对任意x0,1。
(1分)
天津理工大学《离散数学》第五章检测题答案
、填空题(每空2分,共30分)
1.b1a
12•a
3•,S,S,4•
a;15•S关于运算不圭寸闭
6•
2,a
14a
7循环群,生成元
8•
1
2
1
1
1
2
丄
2
9•
B关于
圭封闭
、单项选择题(每小题2分,共20分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
B
C
A
A
B
D
D
C
B
D
三、简答题(共30分)
1•设是实数集R上的二元运算,其定义如下:
abab2ab
(1)求23,3(-5)和71/2
(2)■:
R,;是半群吗?
可交换吗?
(3)求R中关于的单位元。
2•设A
{a,b,c,d},:
A,
的运算表如下:
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
a
X1
X2
c
c
X4
a
X3
d
d
x
X6
a
a是A,:
的单位元。
1
(4)当aR,a1/2时,a有逆元素,a
a/(12a)。
求Xi,X2,X3,X4,X5,X6,并说明道理。
答案:
x1d,x2c,x3b,x4d,x5c,Xgb。
因为有限群的运算表中的每行、每列都是群中元素的一个置换。
3.设集合G{1,3,4,5,9},是定义在G上的模11乘法(即任意a,b€G,有
a*b=(axb)(mod11),x是普通乘法),问:
;G,:
是循环群吗?
若是,试找出它的生成元。
答:
G,:
的运算表如下表所示。
9
1
3
4
5
1
3
4
5
9
3
9
1
4
1
5
3
4
1
5
9
4
3
5
5
4
9
3
9
1
9
5
3
1
4
从运算表可知,在G上封闭、有幺元1,且135,331,434,53【932,再
由是可结合的得:
G,:
;是循环群,3,4,5和9均为其生成元。
aG,有aae,证明
四.证明题(共20分)
1.(4分)设.;G,';是独异点,e为其幺元,且对
G,:
:
是--个交换群。
1
证明:
对aG,由于aae,贝Uaa,即G中的每一个元素a都有逆元素,故:
;G,]是一个群。
又对a,bG,有
abab(ba)ba,
所以:
G,是一个Abel群。
2.(6分)设是-一个群,aG,f:
GG,xG,有
f(x)axa1
试证明f是;G,;:
•一个自同构.
证:
首先证明f是入射。
(3分)
对为必G,若f(x)f(x2),则有ax1a1ax2a1,
该式两边同时左乘a1及右乘a,得咅x2,故f为入射f.
其次证明f是满射。
对yG,都存在xa1yaG,使得yf(x),因此f是满射.
综合以上两点,知f是双射。
(3分)
最后,对x-!
x2G,都有f(x1x2)ax-!
x2a1(a%a1)(ax2a1)
f(xjf区),从而f是G到G的自同构.
天津理工大学《离散数学》第六章检测题答案
一、填空题(每空2分,共40分)
1.上确界和下确界,a,b2.至少有一个补元素,不一定
4.aa1,aa05.ab;ab6.屮,A
二、单项选择题(每小题2分,共20分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
D
C
B
C
A
D
A
B
D
D
二、简答题(共30分)
1•下面哈斯图表示的格中哪个元素无补元?
对有补元的元素求出它们的补元.
解:
c无补元(1分),a的补元为e(1分),b的补元为d(1分),d的补元为b、e(1
分),e的补元为a、d(1分),0与1互为补元。
(1分)
2.设B,,,_,0,1是一个布尔代数且B{0,a,b,1},求布尔表达式
f(^,X2,X3)(aX1X2)(X1区b))
的析取范式和合取范式并计算f(b,1a)的值
解:
f(X1,X2,X3)的析取范式为:
化X2X3)化
X2
X3)
a
X2
X3)
(bxx2
X3)
(4分)
f(X1,X2,X3)的合取范式为:
(X1X2X3)(X1X2X3)
(X1
X2
X3)
(X1
X2
X3)(bX1
X2
X3)(4分)
f(b,1a)b(2分)
3.设A={1,2,3,5,6,10,15,30},“/”为集合A上的整除关系。
(1).〈A,/〉是否为偏序集?
若是,画出其哈斯图;
(2).〈A,/〉是否构成格?
为什么?
(3).〈A,/〉是否构成布尔代数?
为什么?
解:
(1).〈A,/〉是偏序集。
其哈斯图为:
⑵.〈A,/〉构成格。
因为其任意两个元素都有上确界和下确界。
(3).〈A,/〉构成布尔代数。
因为它是有界分配格,且其任意元素都有唯一补元素。
四.证明题(共10分)
1.(4分)设[G,:
•是独异点,e为其幺元,且对aG,有aae,证明
G:
是--个交换群。
1
证明:
对aG,由于aae,贝Vaa,即G中的每一个元素a都有逆元素,故G,:
是一个群。
又对a,bG,有
aba1b1(ba)1ba,
所以';G,;■是一个Abel群。
2.(6分)设G:
是-一个群,aG,f:
GG,xG,有
1
f(x)axa
试证明f是G,;一个自同构.
证:
首先证明f是入射。
(3分)
对X1,x2G,若f(Gf(X2),则有aX1a1aX2a1,
该式两边同时左乘a1及右乘a,得為x2,故f为入射f.
其次证明f是满射。
对yG,都存在xa1yaG,使得yf(x),因此f是满射.
综合以上两点,知f是双射。
(3分)
最后,对x,x2G,都有f(x-!
x2)ax1x2a1(ax1a1)(ax2a1)
f(xjf(x2),从而f是G到G的自同构.
离散数学第七章检测题答案
、单项选择题(每小题2分,共20分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
2
4
2
4
3
2
4
2
1
3
二、填空题(每空3分,共45分)
1•4,3。
2.0,_1__。
0,0o
3•(V2Vi,V2Vi4•2|E丨,偶数。
5•_5;9_。
6•3,1。
7•7。
二、简答题(每小题5分,共25分)
1.对有向图GV,E求解下列问题:
(1)写出邻接矩阵A;
(2)GV,E中长度为3的不同的路有几条?
其中不同的回路有几条?
解:
(1)邻接矩阵为:
01001
00100
A00001
11000
00010
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
(2)A20
0
0
1
0,A3
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
则,GV,E中长
:
度为
3
的不
、同的路有
10
条,
其中有
1条不同的回路。
2.设有28盏灯,拟公用一个电源,求至少需要4插头的接线板的数目。
解:
设至少需要4插头的接线板i个,则有
(4-1)i=28-1(3分)
故i=9
即至少需要9个4插头的接线板。
(2分)
3.设有6个城市V1,V2,…,V6,它们之间有输油管连通,其布置如下图,Si(数字)中Si
为边的编号,括号内数字为边的权,它是两城市间的距离,为了保卫油管不受破坏,在每段
油管间派一连士兵看守,为保证每个城市石油的正常供应最少需多少连士兵看守?
输油管道
总长度越短,士兵越好防守。
求他们看守的最短管道的长度。
(要求写出求解过程)
W(T)=1+1+2+2+2=8.
S85
5.一次学术会议的理事会共有20个人参加,他们之间有的相互认识,但有的相互不认识。
但对任意两个人,他们各自认识的人的数目之和不小于20,说明能否把这20个人排在圆
桌旁,使得任意一个人认识其旁边的两个人?
根据是什么?
解:
可以把这20个人排在圆桌旁,使得任意一个人认识其旁边的两个人。
(1分)根据是:
分别用20个结点代表这20个人,将相互认识的人之间连一条线,便得到一个
无向简单图G:
V,E,每个结点ViV的度数是与Vj认识的人的数目,由题意知
Vi,VjV,有deg(Vi)deg(Vj)20,于是G:
V,E中存在哈密尔顿回路,设
Cv^ViJUv^v^是G
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