全国新课标卷Ⅰ理科数学精准解析.docx
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全国新课标卷Ⅰ理科数学精准解析
2014高考真题2全国新课标卷Ⅰ(理科数学)
1.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},
则A∩B=()
A.[-2,-1]
B.[-1,2)
B.[-1,1]
D.[1,2)
1.A[解析
]
集合A=(-∞,-1]∪[3,+∞),所以A∩B=[-2,-1].
(1+i)3
2.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]
(1-i)2=()
A.1+iB.1-i
C.-1+iD.-1-i
2.D[解析]
(1+i)3
(1+i)2(1+i)
(1-i)
2=
(1-i)
2
=2i(1+i)=-1-i.
-2i
3.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]
设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,
g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是
(
)
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
3.C
[解析]
由于偶函数的绝对值还是偶函数,
一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,
故正确选项为C.
4.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]
已知F为双曲线C:
x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,
则点F到C的一条渐近线的距离为
(
)
A.3B.3
C.3mD.3m
4.A
[解析]
双曲线的一条渐近线的方程为
x+my=0.根据双曲线方程得
a2=3m,b2
=3,所以
c=3m+3,双曲线的右焦点坐标为
(
3m+3,0).故双曲线的一个焦点到一条渐
近线的距离为|3m+3|=3.
1+m
5.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益
活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()
13A.8B.8
57
C.8
D.8
5.D
[解析]每位同学有
2种选法,基本事件的总数为
24=16,其中周六、周日中有一
1
天无人参加的基本事件有
2个,故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
1-
2
7
16
=.
8
图11
6.、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]如图11,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是
圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,
将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图像大致为()
AB
C
D
1
6.C
[解析]根据三角函数的定义,点
M(cosx,0),△OPM的面积为
2|sinxcosx|,在
直角三角形OPM中,根据等积关系得点
M到直线OP的距离,即f(x)=|sinxcosx|=1
|sin2x|,
2
π
且当x=2时上述关系也成立,
故函数f(x)的图像为选项
C中
的图像.
7.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]执行如图
12所示的程
序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=(
)
图12
20
16
7
15
A.3
B.5
C.2
D.8
7.D
[解析]逐次计算,依次可得:
3,a=2,b=3,
M=2
2
8
3
8
15
8
15
n=2;M=3,a=
2,b=3,n=3;M=
8
,a=3,b=8,n=
15
4.此时输出M,故输出的是
8.
2
8.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]
设α∈
0,π
,β∈
0,
π
,且tan
α=1+sinβ,
2
2
cosβ
则()
π
π
A.3α-β=2
B.3α+β=2
π
π
C.2α-β=2
D.2α+β=2
β
β
1+sinβ
cos
2
+sin
=
2
=
8.C
[解析]tanα=cosβ
2
β
β
-sin2
cos2
2
β
+sinβ
1+tan
β
cos
2=tanπ+
β,因为β∈0,π,所以π+β∈π,π,又α
2
2=
ββ
1-tan
β
4
2
2
42
42
cos
-sin
2
2
2
∈
π
且tan
α=tan
π
β
,所以α=
π
β
π
,
+
+,即2α-β=
.
0
2
4
2
4
2
2
9.、[2014高考真题
2新课标全国卷Ⅰ
]不等式组
x+y≥1,
的解集记为
D,有下面四个
x-2y≤4
命题:
p1:
?
(x,y)∈D,x+2y≥-2,
p2:
?
(x,y)∈D,x+2y≥2,
p3:
?
(x,y)∈D,x+2y≤3,
p4:
?
(x,y)∈D,x+2y≤-1.
其中的真命题是(
)
A.p2,p3
B.p1,p2
C.p1,p4
D.p1,p3
9.B
[解析]不等式组表示的区域
D如图中的阴影部
分所示,设目标函数
z=x+2y,根据目标函数的几何意义可
知,目标函数在点
A(2,-1)处取得最小值,且
zmin=2-2=0,即x+2y的取值范围是[0,+
∞),故命题p1,p2为真,命题p3,p4为假.
10.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ
]已知抛物线
C:
y2=8x的焦点为F,准线为l,P是
l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=
4,则|QF|=(
)
7
A.2
B.3
5
C.2
D.2
3
10.B[解析]由题知F(2,
0),设P(-2,t),Q(x0,y0),则
FP=(-4,t),=(x0-2,
y0),由FP=4FQ,得-4=4(x0-
2),解得x0=1,根据抛物线定义得
|QF|=x0+2=3.
11.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]已知函数
f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零
点x0,且x0>0,则a的取值范围是()
A.(2,+∞)
B.(1,+∞)
C.(-∞,-2)
D.(-∞,-1)
11.C[解析]当a=0时,f(x)=-3x2+1,存在两个零点,不符合题意,故a≠0.
由f′(x)=3ax2-6x=0,得x=0或x=2a.
若a<0,则函数f(x)的极大值点为
x=0,且f(x)极大值=f(0)=1,极小值点为
x=2,且f(x)极
a
=f
2
=
a2-4
a2-4
小值
a
2,此时只需
2>0,即可解得a<-2;
a
a
若a>0,则f(x)极大值=f(0)=1>0,此时函数f(x)一定存在小于零的零点,不符合题意.综上可知,实数a的取值范围为(-∞,-2).
12.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]如图13,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画
出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()
图13
A.62B.6C.42D.4
12.B[解析]该几何体是如图所示的棱长为
4的正方体内的三棱锥
ECC1D1(其中E为
BB1的中点),其中最长的棱为D1E=(4
2)2+22=6.
13
.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ](x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用
数字填写答案)
13
.-20[解析](x+y)8的展开式中xy7的系数为C87=8,x2y6的系数为C86=28,故(x-
4
y)(x+y)8的展开式中x2y8的系数为8-28=-20.
14
.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过
A,B,C三
个城市时,
甲说:
我去过的城市比乙多,但没去过
B城市;
乙说:
我没去过
C城市;
丙说:
我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为________.
14
.A[解析]
由于甲没有去过B城市,乙没有去过C城市,但三人去过同一个城市,
故三人去过的城市为
A城市.又由于甲最多去过两个城市,且去过的城市比乙多,故乙只能
去过一个城市,这个城市为
A城市.
1
15
.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]已知A,B,C为圆O上的三点,若=
2(+),则与
的夹角为________.
15
.90°[解析]由题易知点O为BC的中点,即BC为圆O的直径,故在△ABC中,
BC对应的角A为直角,即AC与AB的夹角为90°.
16
.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的
对边,a=2,且(2+b)·(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为________.
16.3[解析]
根据正弦定理和a=2可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,故得b2+c2-a2=bc,
2
2
2
根据余弦定理得cosA=b+c-a=1,所以A=π
.根据b2+c2-a2=bc及基本不等式得bc≥
2bc
2
3
2bc-a2,即bc≤4,所以△ABC面积的最大值为1343
3=3.
2
2
17.、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan
+1=λS-n1,其中λ为常数.
(1)证明:
an+2-an=λ.
(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?
并说明理由.
17.解:
(1)证明:
由题设,
=λS-1,a
n1an2
=λS
1
-1,
anan1
n
n
+
+
+
+
两式相减得an
1(an
2-an)=λan1.
+
+
+
因为an+1≠0,所以an+2-an=λ.
=1,a
=λS-1,可得
a=λ-1,
(2)由题设,a1
1a2
1
2
由
(1)知,a3=λ+1.
若{an}为等差数列,则
2a2=a1+a3,解得λ=4,故an+2-an=4.
由此可得{a2n-1}是首项为
1,公差为4的等差数列,
a2n-1=4n-3;
{a2n}是首项为3,公差为
4的等差数列,a2n=4n-1.
所以an=2n-1,an+1-an=2.
因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.
18.、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]
从某企业生产的某种产品中抽取
500件,测量这
5
些产品的一项质量指标值,由测量结果得如图14所示的频率分布直方图:
图14
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数
x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间
的中点值作代表);
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值
2
Z服从正态分布N(μ,σ),其中μ近似为
2
2
样本平均数,σ近似为样本方差s.
(i)利用该正态分布,求
P(187.8 (ii)某用户从该企业购买了 100件这种产品,记 X表示这100件产品中质量指标值位于区 间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX. 附: 150≈12.2. 2 若Z~N(μ,σ),则p(μ-σ p(μ-2σ 18 .解: (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差 s2分别为 = 17030.02 +18030.09+19030.22+2003 0.33 +2103 0.24+2203 0.08+2303 0.02= 200. s2=(-30)23 0.02+(-20)230.09+(-10)23 0.22 +030.33+10230.24+20230.08+302 30.02=150. (2)(i)由 (1)知,Z~N(200,150),从而P(187.8 6. (ii)由(i)知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知X~ B(100,0.6826),所以EX=10030.6826=68.26. 19.G5、G11[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]如图15,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C. 图15 (1)证明: AC=AB1; (2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角AA1B1C1的余弦值. 19.解: (1)证明: 连接BC1,交B1C于点O,连接AO,因为侧面BB1C1C为菱形,所以 6 B1C⊥BC1,且O为B1C及BC1的中点. 又AB⊥B1C,所以B1C⊥平面ABO.由于AO? 平面ABO,故B1C⊥AO. 又B1O=CO,故AC=AB1. (2)因为AC⊥AB1,且O为B1C的中点,所以AO=CO. 又因为AB=BC,所以△BOA≌△BOC.故OA⊥OB,从而OA,OB,OB1两两垂直. 以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向,|OB|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 因为∠CBB1=60°,所以△CBB1为等边三角形,又AB=BC,则A0,0,33,B(1,0,0),B10,3,0,C0,-3,0. 33 33 =0,3,-3, =AB=1,0,-3, 3 1=BC=-1,-33,0. 设n=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,则 33 3y-3z=0, 即 3 x-3z=0. 所以可取n=(1,3,3). 设m是平面A1B1C1的法向量, 则 同理可取m=(1,-3,3). n2m1 则cos〈n,m〉=|n||m|=7. 1 所以结合图形知二面角AA1B1C1的余弦值为7. 7 x2y2 20.、、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ ]已知点A(0,-2),椭圆E: a2+b2=1(a>b>0)的 离心率为 3,F是椭圆E的右焦点,直线 AF的斜率为23,O为坐标原点. 2 3 (1)求E的方程; (2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求 l的方程. 20.解: (1)设F(c, 2=23,得c=3.
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