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最新11变化率与导数
1.1变化率与导数
课时教案编号:
授课教师
甘老师
地点
时间
学生
年级
高二
科目
数学(理科)
课题
1.1变化率与导数
教学目标
(1)理解平均变化率的概念;
(2)了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;
(3)理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;
(4)会求函数在某点的导数或瞬时变化率;
(5)理解导数的几何意义。
教学重点
瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成,导数及几何意义的理解。
教学难点
在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率,导数及几何意义的理解。
教
学
过
程
一、双基回眸科学导入:
前面我们学习了函数及几种重要的函数,而且我们学习的很多公式所展示的两个量之间的关系也是函数关系:
下面找两个学生写出著名的函数——二次函数的表达式和球的体积公式:
⏹二次函数
⏹气球的体积V(单位:
L)与半径r(单位:
dm)之间的函数关系是«SkipRecordIf...»
函数很明确地描述了两个变量之间的因果关系。
自变量的变化引起因变量的变化。
下面我们来看这种变化的各种特点:
相信你都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢,从数学角度,如何描述这种现象呢?
容量的增加与气球的半径增加这两者的变化的关系和本质是怎样呢?
今天,我们就来通过此问题来研究这种变化的特点和规律。
二、创设情境积极探究:
【首先来探究上面所提出的问题】
我们已经提问过了气球的体积V(单位:
L)与半径r(单位:
dm)之间的函数关系是«SkipRecordIf...»
现将半径r表示为体积V的函数,那么«SkipRecordIf...»
教学课程
【分析】«SkipRecordIf...»,
1当V从0增加到1时,气球半径增加了«SkipRecordIf...»
气球的平均膨胀率为«SkipRecordIf...»
2当V从1增加到2时,气球半径增加了«SkipRecordIf...»
气球的平均膨胀率为«SkipRecordIf...»
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
【再来探究一个问题——高台跳水】
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:
m)与起跳后的时间t(单位:
s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速«SkipRecordIf...»度粗略地描述其运动状态?
思考计算:
«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»的平均速度«SkipRecordIf...»
在«SkipRecordIf...»这段时间里,«SkipRecordIf...»;
在«SkipRecordIf...»这段时间里,«SkipRecordIf...»
【探究】计算运动员在«SkipRecordIf...»这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
⑴运动员在这段时间内使静止的吗?
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
【探究过程】如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像,结合图形可知,«SkipRecordIf...»,
所以«SkipRecordIf...»,
虽然运动员在«SkipRecordIf...»这段时间里的平均速度为«SkipRecordIf...»,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
教学过程
【引出平均变化率的概念】
一般地,函数f(x)在区间«SkipRecordIf...»上的平均变化率为«SkipRecordIf...»
①本质:
如果函数的自变量的“增量”为«SkipRecordIf...»,且«SkipRecordIf...»,相应的函数值的“增量”为«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,则函数«SkipRecordIf...»从«SkipRecordIf...»到«SkipRecordIf...»的平均变化率为«SkipRecordIf...»
②几何意义:
两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率(割线的斜率);
③平均变化率反映了在函数在某个区间上平均变化的趋势(变化快慢),或说在某个区间上曲线陡峭的程度;
【但我们想要知道的是在某处的瞬时速度】
下面继续探索:
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?
小结:
局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
在高台跳水运动中,如果我们知道运动员相对于水面的高度«SkipRecordIf...»(单位:
«SkipRecordIf...»)与起跳后的时间«SkipRecordIf...»(单位:
«SkipRecordIf...»)存在关系«SkipRecordIf...»,那么我们就会计算任意一段的平均速度«SkipRecordIf...»,通过平均速度«SkipRecordIf...»来描述其运动状态,但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度,那么如何求运动员的瞬时速度呢?
问题:
2秒时的瞬时速度是多少?
我们现在会算任意一段的平均速度,先来观察一下2秒附近的情况。
«SkipRecordIf...»时,在«SkipRecordIf...»这段时间内
«SkipRecordIf...»时,在«SkipRecordIf...»这段时间内
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
当«SkipRecordIf...»0.01时,«SkipRecordIf...»13.051;
当«SkipRecordIf...»0.01时,«SkipRecordIf...»13.149;
当«SkipRecordIf...»0.001时,«SkipRecordIf...»13.0951;
当«SkipRecordIf...»0.001时,«SkipRecordIf...»13.1049;
当«SkipRecordIf...»0.0001时,«SkipRecordIf...»13.09951;
当«SkipRecordIf...»0.0001时,«SkipRecordIf...»13.10049;
当«SkipRecordIf...»0.00001时,«SkipRecordIf...»13.099951;
当«SkipRecordIf...»0.00001时,«SkipRecordIf...»13.100049;
当«SkipRecordIf...»0.000001时,«SkipRecordIf...»13.0999951;
当«SkipRecordIf...»0.000001时,«SkipRecordIf...»13.1000049;
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教学过程
问题:
1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗?
关于这些数据,下面的判断对吗?
2.当«SkipRecordIf...»趋近于0时,即无论«SkipRecordIf...»从小于2的一边,还是«SkipRecordIf...»从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值-13.1«SkipRecordIf...»。
3.靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段«SkipRecordIf...»上的平均速度;
4.靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段«SkipRecordIf...»上的平均速度;
5.-13.1表示在2秒附近,运动员的速度大约是-13.1«SkipRecordIf...»。
分析:
«SkipRecordIf...»秒时有一个确定的速度,2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度,所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理,比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理,因此,运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1«SkipRecordIf...»。
小结:
局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
【导数的概念】
定义:
函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处瞬时变化率是«SkipRecordIf...»,我们称它为函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的导数,记作«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»。
求导数的步骤:
①求函数的增量:
«SkipRecordIf...»②求平均变化率:
«SkipRecordIf...»
③取极限,得导数:
«SkipRecordIf...»
上述求导方法可简记为:
一差、二化、三极限。
定义:
当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»是一个确定的数,当«SkipRecordIf...»变化时,«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»的函数,我们称它为«SkipRecordIf...»的导函数(简称导数)即«SkipRecordIf...»
教学过程
【小试牛刀】
1«SkipRecordIf...»
2«SkipRecordIf...»
3设«SkipRecordIf...»,若«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»的值()
A2B-2
C3D-3
4①已知S=πr2,求«SkipRecordIf...»②已知V=«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...»③已知y=x2+3x
求
(1)«SkipRecordIf...»;
(2)求«SkipRecordIf...»︱x=2
5在曲线«SkipRecordIf...»的图像上取一点(1,2),及附近一点«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
【导数的几何意义】
函数«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»的导数的几何意义就是曲线«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处的切线的斜率,也就是说,曲线«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处的切线斜率是«SkipRecordIf...»,切线的方程为«SkipRecordIf...»。
三、巩固所学:
问题.1在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:
m)与起跳后的时间t(单位:
s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,求运动员在t=2时的瞬时速度?
教学过程
【分析】我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
如何求运动员的瞬时速度?
在t=2之前或之后,任意取一个时刻2+Δt,Δt可以是正值,可以是负值,当Δt趋于0时,平均速度有怎样的变化趋势?
【解析】(见学案)
【点评】学生可以分组讨论,上台板演,展示计算结果,同时口答:
在t=2时刻,Δt趋于0时,平均速度趋于一个确定的值-13.1,即瞬时速度,第一次体会逼近思想;另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳,第二次体会逼近思想,为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即«SkipRecordIf...»
问题.2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热。
如果在第xh时,原油温度(单位:
«SkipRecordIf...»)为«SkipRecordIf...».计算第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义。
【分析】瞬时变化率与问题.1瞬时速度本质一样,所以做法一样。
【解析】在第«SkipRecordIf...»时和第«SkipRecordIf...»时,原油温度的瞬时变化率就是«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»
根据导数定义«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
所以«SkipRecordIf...»同理可得:
«SkipRecordIf...»
在第«SkipRecordIf...»时和第«SkipRecordIf...»时,原油温度的瞬时变化率分别为«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»,说明在第«SkipRecordIf...»附近,原油温度大约以«SkipRecordIf...»的速率下降在第«SkipRecordIf...»附近,原油温度大约以«SkipRecordIf...»的速率上升.
【点评】一般地,«SkipRecordIf...»反映了原油温度在时刻«SkipRecordIf...»附近的变化情况.
问题.3
(1)求函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的导数.
(2)求函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»附近的平均变化率,并求出该点处的导数.
【分析】先求«SkipRecordIf...»,再求«SkipRecordIf...»,最后求«SkipRecordIf...».
教学过程
【解析】
(1)法一定义法(略)
法二«SkipRecordIf...»
(2)«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
【点评】由此题可体现求导数的步骤及进一步认识«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»的关系和区别,通过这种近似与精确深刻理解导数的本质……
为了进一步体现其抽象性及几何意义,同学们完成下列两题:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
四、思悟小结:
知识线:
(1)平均变化率;
(2)瞬时速度与瞬时变化率的概念;
(3)导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;
思想方法线:
(1)定义法;
(2)公式法;
(3)近似与逼近思想;
(4)数形结合思想与等价转化思想。
题目线:
(1)求平均变化率与瞬时变化率的问题;
(2)求瞬时速度的问题;
(3)求函数在某点的导数;
(4)关于切线的问题。
五、针对训练巩固提高:
1已知曲线«SkipRecordIf...»上过点(2,8)的切线方程为«SkipRecordIf...»,则实数«SkipRecordIf...»的值为()
A-1B1C-2D2
教学过程
2函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的导数«SkipRecordIf...»的几何意义是()
A在点«SkipRecordIf...»处的函数值
B在点«SkipRecordIf...»处的切线与«SkipRecordIf...»轴所夹锐角的正切值
C曲线«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处的切线的斜率
D点«SkipRecordIf...»与点(0,0)连线的斜率.
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
5若f′(x0)=a,
(1)求«SkipRecordIf...»的值。
(2)求«SkipRecordIf...»的值。
课堂检测
测试题(累计不超过20分钟)_______道;成绩_______;教学需:
加快□;保持□;放慢□;增加内容□
课后巩固
作业_____题;巩固复习____________________;预习布置_____________________
教师课后反思
签字
教学主任:
教学组长:
学生/家长:
1、一作直线运动的物体其位移s与时间t的关系是«SkipRecordIf...»。
(1)求此物体的初速度;
(2)求此物体在t=2秒时的瞬时速度;
(3)求t=0到t=2时的平均速度。
2、已知一个物体运动的位移(m)与时间t(s)满足关系S(t)=-2t2+5t
⑴求物体第5秒和第6秒的瞬时速度
⑵求物体在t时刻的瞬时速度
⑶求物体t时刻运动的加速度,并判断物体作什么运动?
3、求曲线f(x)=«SkipRecordIf...»x3-x2+5在x=1处的切线的倾斜角。
«SkipRecordIf...»110求切线斜率和切线方程
⑴已知«SkipRecordIf...»,求曲线«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的切线斜率和切线方程.
⑵已知«SkipRecordIf...»,求曲线«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的切线斜率和切线方程.
5、在曲线«SkipRecordIf...»上过哪一点的切线,
(1)平行于直线«SkipRecordIf...»;
(2)垂直于直线«SkipRecordIf...»;(3)倾斜角为«SkipRecordIf...»;
(4)求过点R(1,-3)与曲线相切的直线。
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