数学广角数与形教学文稿.docx

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数学广角数与形教学文稿

数学广角——数与形

《数学广角──数与形》

一、教材分析

数形结合是一种非常重要的数学思想，把数和形结合起来解决问题，可以使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。

1、图形中隐含着数的规律，可利用数的规律来解决图形的问题。

本单元的例1以及相关练习就属于这种情况。

2、有些情况下，是利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实，让人一目了然。

3、还有的时候，数与形密不可分，可用“数”来解决“形”的问题，也可用“形”来解决“数”的问题。

例如，解析几何中，函数图象与方程、方程组互为工具，互为解释，有机融合。

小学中的正比例关系和反比例关系图象也很好地反映了这样的思想。

《连续奇数数列之和与正方形的关系》

教学内容：

人教版小学数学教材六年级上册第107页例1及相关练习。

教学目标：

1．体会数与形的联系，进一步积累数形结合数学活动经验，培养学生数形结合的数学思想意识。

2．体验数形结合的数学思想方法价值，激发学生用数形结合思想方法解决问题的兴趣，感受数学的魅力。

3．在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学思想。

教学重点：

观察、发现数与形的联系，感受数形结合的价值

教学难点：

渗透极限思想

教学准备：

课件，不同颜色的小正方形。

学具准备：

不同颜色的小正方形，吸铁板，作业纸。

教学过程：

一、谈话导入，出示课题

教师：

最近老师发现，我有一项非常神奇的本领。

什么本领呢？

我发现只要从1开始的连续奇数相加，比如，1+3,1+3+5……像这样的算式，我都算得特别快。

你们信吗？

教师：

不信也没关系，我们现场来比一比。

   师生比赛，看谁算得快。

教师：

这个方法快吗？

你们想不想也像老师一样算得快呢？

教师：

老师给你们一点点提示，我是借助图形发现这个方法的，今天这节课我们就来研究──数与形（板书）。

  二、动手实践，以形解数

1．教师：

我先根据算式中的加数拿出若干个图形。

比如，1+3，我就先拿一个小正方形，再拿三个小正方形（贴在黑板上），我发现这些数量的小正方形刚好可以拼成一个大正方形，那我就把它们拼成一个大的正方形。

教师：

接着，我观察图形和算式之间的关系，就发现了可以快速算得结果的方法，你们想不想自己试试看？

教师：

先来两个加数的，再来三个加数的。

请同学们在小组内先完成第一步，再完成第二步，看看哪个小组最先发现老师的方法。

2．小组动手操作，教师巡视。

3．学生汇报，全班交流分析。

先讨论1+3，再讨论1+3+5。

教师：

根据同学们的汇报，大家认为1+3=22，1+3+5=32。

除了这两组同学的汇报，你们还有其他发现吗？

学生：

算式中加数的个数是几，和就等于几的平方。

教师：

你们认同他的方法吗？

能不能举个具体的例子来说一说？

学生1：

1+3+5+7+9=52。

学生2：

1+3+5+7+9+11=62。

教师：

那我们从头来看一看。

请看屏幕：

1+3+5+7+9=（52）。

教师：

一个小正方形可以看成12，想要拼成一个更大的正方形，再增加1个是不够的，增加的个数要比前一个加数再多2（也就是3）；想拼成更大的正方形，再增加3个是不够的，还要比3个再多2个（也就是5个），此时是1+3+5；再往下去，要加7才能拼成更大的正方形，依此类推，加到了9，就能排成每行、每列的个数是5的大正方形。

教师：

那看来只要是1开始的，连续的奇数相加，就能排成每行、每列个数是几的大正方形，和也就是几的平方。

4．练习。

（1）1+3+5+7+9=（     ）2；

    1+3+5+7+9+11+13=（     ）2；

____________________________=92。

教师请学生独立完成，然后全班核对答案。

（2）利用规律，算一算。

1+3+5+7+5+3+1=（     ）；

1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（     ）。

全班交流，请学生说明计算结果和原因。

5．小结。

教师：

我们同学都很细心，现在不但能很快算出从1开始的连续奇数的和，稍加一点变化，你们也照样算得很快。

现在知道老师是用什么方法来快速计算这些题的吧？

教师：

这么巧妙的方法，我们是借助什么发现的？

（图形）。

看来，有的计算问题借助图形解决会更容易。

就像这个题一样，我们借助图形发现了更巧妙、更简便的方法。

【设计意图】充分让学生动手实践，感受如何将数和形结合，体会数和形之间的紧密联系，同时让学生感受到“形”可以展示“数”的特点，通过“形”使解决“数”的问题变得更加容易。

三、练习巩固

1．下面每个图中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？

学生回答，课件出示答案。

教师：

请你认真思考、观察，上边的图形和对应的数之间有什么规律？

四人小组交流。

教师：

刚才有一个同学说，蓝色的小正方形顺次增加1个，红色的小正方形顺次增加2个。

为什么蓝色的小正方形每次增加1个，而红色的小正方形每次增加2个呢？

教师：

我们一起来看一看。

第一个图形，若要增加1个蓝色小正方形，其上方、下方就要各增加1个红色小正方形；依此类推，第三个图形在第二个图形的基础上增加了1个蓝色小正方形，则红色小正方形就要增加几个？

教师：

如果不让你看图，照这样画下去，第6个和第10个图形各有几个红色小正方形和蓝色小正方形呢？

你能写出来吗？

在草稿本上写一写。

教师请学生介绍，说说是怎么算出来的。

教师：

观察发现，图形中左右两侧的红色小正方形个数固定不变（为6个），在中间部分，蓝色小正方形的个数乘以2就是红色小正方形的个数。

即使在蓝色小正方形个数较多的情况下，仍然可以算得很快，看来图形问题确实也蕴涵着数的规律。

找到了其中的规律，解决问题就清晰、容易多了。

2．课件出示教材第109页练习二十二第2题。

（1）教师：

上方有图，下方有对应的数字，请你观察和思考，图和数之间有什么规律？

小组交流一下。

全班交流。

学生：

第2个图形中小圆的个数为1+2，第3个图形中小圆的个数为1+2+3，第4个图形中小圆的个数为1+2+3+4。

学生：

是第几个图形，其中就有几行小圆。

教师：

照这个规律往下画，你能画出来吗？

图形下方的数字表示的是什么？

第5个、第6个、第7个图形下方的数，你能不能很快写出来？

教师请学生独立完成在练习纸上。

教师请学生汇报，说说是怎么得到结果的。

教师：

图形中的最后一行是第几行？

含有几个小圆？

教师：

现在如果老师不让你画图，你能不能想象一下第10个图形，它是什么样子的？

一共有多少个小圆呢？

现在我们就不画图，算一算，第10个图形下方的那个数是多少？

能算出来吗？

动笔试一试。

展示学生作品，请学生介绍方法。

（2）教师介绍“三角形数”“正方形数”。

教师：

同学们发现没有，55个小圆能排成什么图形？

（三角形）而且这个三角形的每一行的小圆的个数分别是从1到10。

教师：

回过头来看看。

3、6、10、15、21呢？

它们是否也具有同样的特点？

教师：

在数学上，我们把1、3、6、10、15、21、28这样的数称为“三角形数”。

请同学们想一想，28后面的下一个三角形数是多少？

（36）

教师：

大家再看，一个图形，如果是4个小正方形可以拼成大正方形，如果是9个小正方形可以拼成大正方形，16个小正方形也可以拼成大正方形。

像这样的数，我们称之为“正方形数”。

【设计意图】通过两个练习，让学生进一步体会数形结合的特点，感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。

在练习中充分让学生动脑、动口、动手，在交流中发现特点，解决问题。

四、回顾反思

教师：

今天这节课，我们一起学习了“数与形”，说说你有什么收获？

《利用图形求等比数列之和》教学设计

教学内容：

人教版小学数学教材六年级上册第107～108页例2及相关练习。

教学目标：

1．在学习过程中引导学生探索研究数与形之间的联系，寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。

2．让学生经历猜想与验证的过程，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。

教学重难点：

探索数与形之间的联系，寻找规律，并利用图形来解决有关数的问题。

教学准备：

教学课件。

教学过程：

一、直接导入，揭示课题

同学们，上节课我们探究了图形中隐藏的数的规律，今天我们继续研究有关数与图形之间的联系。

（板书课题：

数与形）

【设计意图】直奔主题，简洁明了，有利于学生清楚本节课学习的内容和方向。

二、探索发现，学习新知

（一）教师与学生比赛算题

1．教师：

你知道

等于多少吗？

（学生：

）

教师：

那

等于多少呢？

（学生计算需要时间）教师紧接着说：

我已经算好了，是

，不信你算算。

2．只要按照这个分子是1，分母依次扩大2倍的规律写下去，不管有多少个分数相加，我都能立马算出结果。

有的同学不相信是吗？

咱们试试就知道。

为了方便，我请我们班计算最快的同学跟我一起算，看看结果是否相同。

谁来出题？

学生出题。

预设：

，

，

，

，

……

在学生出题后，老师都能立刻算出结果，并且是正确的，学生感到很惊奇。

3．知道我为什么算得那么快吗？

因为我有一件神秘的法宝，你们也想知道吗？

【设计意图】一方面，教师通过与学生比赛计算速度，且每次老师胜利，使学生产生好奇心，再通过教师幽默的语言，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣和求知欲。

另一方面，为接下来学习例题做好铺垫。

（二）借助正方形探究计算方法

1．这件法宝就是（师边说边课件出示一个正方形），让我们来把它变一变，聪明的同学们一定能看明白是怎么回事了。

2．进行演示讲解。

（1）演示

：

用一个正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的

（涂红），再剩下部分的一半就是正方形的

（涂黄）。

想一想：

正方形中表示

的涂色部分与空白部分和整个正方形之间有什么关系呢？

（涂色部分等于“1”减去空白部分）空白部分占正方形的几分之几？

（

）那么涂色部分还可以怎么算呢？

（

），也就是说

。

（2）继续演示

，谁知道除了通分，还可以怎么算？

根据学生回答，板书

。

（3）演示

：

那么计算

就可以得到？

（

）。

3．看到这儿，你发现什么规律了吗？

4．小结：

按照这样的规律往下加，不管加到几分之一，只要用1减去这个几分之一就可以得到答案了。

5．这个法宝怎么样？

谁来说说它好在哪里？

你学会了吗？

6．尝试练习：

；

；

。

【设计意图】将复杂的数量运算转化为简单的图形面积计算，转繁为简，转难为易，引导学生探索数与图形的联系，让学生体会到数形结合、归纳推理的数学思想方法。

（三）知识提升，探索发现

1．感受极限。

（1）刚才我们已经从一直加到了

，如果我继续加，加到

，得数等于？

（

）再接着加，一直加到

，得数等于？

（

）随着不断继续加，你发现得数越来越？

（大）无数个这样的数相加，和会是多少呢？

（2）这时候你心中有没有一个大胆的猜想？

（学生猜想：

这样一直加下去，得数会不会就等于1了。

）

（3）想象一下，如果我们在刚才加的过程中在正方形上不断涂色，那空白部分的面积就越来越？

（小）而涂色部分的面积越来越接近？

（1）也就是求和的得数越来越接近？

（1）最终得数是1吗？

你有什么方法来证明得数就是1？

（学情预设：

学生提出书本的圆形图和线段图，若没有学生提出，教师自己提出。

）

2．利用线段图直观感受相加之和等于“1”。

（1）书本上有两幅图，我们一起来看看（课件出示）。

一幅是圆形图，一幅是线段图，你能看懂它的意思吗？

请你想一想，然后告诉大家你的想法。

（2）学生看书思考。

（3）全班交流，课件演示，得出结论：

这些分数不断加下去，总和就是1。

【设计意图】利用数与形的结合，让学生直观体会极限数学思想，并让学生经历猜想得数等于“1”，到数形结合证明得数等于“1”的过程，激发学生学习兴趣，培养学生探索新