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幂函数中档题含答案
3.3幂函数中档题
一.选择题(共4小题)
1.若幂函数f(x)的图象经过点(3,),则函数g(x)=+f(x)在[,3]上的值域为( )
A.[2,]B.[2,]C.(0,]D.[0,+∞)
2.已知指数函数f(x)=ax﹣16+7(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,若定点P在幂函数g(x)的图象上,则幂函数g(x)的图象是( )
A.B.C.D.
3.函数f(x)=(m2﹣m﹣1)x是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值( )
A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断
4.已知,若0<a<b<1,则下列各式中正确的是( )
A.B.
C.D.
二.填空题(共1小题)
5.已知幂函数f(x)的图象经过点(,),P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点,给出以下结论:
①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2);③>;④<.其中正确结论的序号是.
三.解答题(共13小题)
6.已知幂函数f(x)=(m﹣1)2x在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x﹣k.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)当x∈[1,2]时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,数k的取值围.
7.已知函数f(x)=(a﹣1)xa(a∈R),g(x)=|lgx|.
(Ⅰ)若f(x)是幂函数,求a的值并求其单调递减区间;
(Ⅱ)关于x的方程g(x﹣1)+f
(1)=0在区间(1,3)上有两不同实根x1,x2(x1<x2),求a++的取值围.
8.已知函数f(x)=(a﹣1)xa(a∈R),g(x)=|lgx|.
(Ⅰ)若f(x)是幂函数,求a的值;
(Ⅱ)关于x的方程g(x﹣1)+f
(1)=0在区间(1,3)上有两不同实根x1,x2(x1<x2),求的取值围.
9..已知幂函数的图象关于y轴对称,且在区间(0,+∞)上是减函数,
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若a>k,比较(lna)0.7与(lna)0.6的大小.
10.已知幂函数g(x)=(m2﹣2)xm(m∈R)在(0,+∞)为减函数,已知f(x)是对数函数且f(﹣m+1)+f(﹣m﹣1)=.
(1)求g(x),f(x)的解析式;
(2)若实数a满足f(2a﹣1)<f(5﹣a),数a的取值围.
11.函数f(x)=是偶函数.
(1)试确定a的值,与此时的函数解析式;
(2)证明函数f(x)在区间(﹣∞,0)上是减函数;
(3)当x∈[﹣2,0]时,求函数f(x)=的值域.
12.如图,点A、B、C都在幂函数的图象上,它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a)
(1)求函数f(a)和g(a)的表达式;
(2)比较f(a)与g(a)的大小,并证明你的结论
13.已知幂函数的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数.
(1)求m的值;
(2)求满足的a的取值围.
14.已知幂函数y=f(x)经过点,
(1)试求函数解析式;
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间;
(3)试解关于x的不等式f(3x+2)+f(2x﹣4)>0.
15.已知幂函数f(x)=xa和对数函数g(x)=logax,其中a为不等于1的正数
(1)若幂函数的图象过点(27,3),求常数a的值,并说明幂函数f(x)的单调性;
(2)若0<a<1,且函数y=g(x+3)在区间[﹣2,﹣1]上总有|y|≤2,求a的取值围.
16.已知幂函数(m∈Z)的图象关于y轴对称,且在区间(0,+∞)为减函数
(1)求m的值和函数f(x)的解析式
(2)解关于x的不等式f(x+2)<f(1﹣2x).
17.已知函数f(x)=(m﹣1)为幂函数,g(x)=x+f(x).
(1)求证:
函数g(x)是奇函数;
(2)根据函数单调性定义证明:
函数g(x)在[2,+∞)上是增函数.
18.已知幂函数f(x)=x(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=+2x+c,若g(x)>2对任意的x∈R恒成立,数c的取值围.
3.3幂函数中档题
参考答案与试题解析
一.选择题(共4小题)
1.(2015•一模)若幂函数f(x)的图象经过点(3,),则函数g(x)=+f(x)在[,3]上的值域为( )
A.[2,]B.[2,]C.(0,]D.[0,+∞)
[分析]根据幂函数f(x)的图象过点(3,),求出f(x)的解析式,再求出g(x)的解析式,计算g(x)在x∈[,3]上的最值即可.
[解答]解:
设f(x)=xα,
∵f(x)的图象过点(3,),
∴3α=,
解得α=﹣,
∴f(x)=;
∴函数g(x)=+f(x)=+=+,
当x∈[,3]时,在x=1时,g(x)取得最小值g
(1)=2,
在x=3时,g(x)取得最大值g(3)=+=,
∴函数g(x)在x∈[,3]上的值域是[2,].
故选:
A.
[点评]本题考查了用待定系数法求幂函数的解析式的应用问题,也考查了基本不等式的应用问题以与求函数的值域的应用问题,是基础题目.
2.(2015秋•庄河市期末)已知指数函数f(x)=ax﹣16+7(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,若定点P在幂函数g(x)的图象上,则幂函数g(x)的图象是( )
A.B.C.D.
[分析]求出定点P,然后求解幂函数的解析式,即可得出结论.
[解答]解:
指数函数f(x)=ax﹣16+7(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,
令x﹣16=0,解得x=16,
且f(16)=1+7=8,
所以f(x)的图象恒过定点P(16,8);
设幂函数g(x)=xa,P在幂函数g(x)的图象上,
可得:
16a=8,解得a=;
所以g(x)=,
幂函数g(x)的图象是A.
故选:
A.
[点评]本题考查了指数函数与幂函数的性质与应用问题,也考查了计算能力的问题,是基础题.
3.(2015秋•校级期中)函数f(x)=(m2﹣m﹣1)x是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值( )
A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断
[分析]根据题意,求出幂函数f(x)的解析式,利用函数f(x)的奇偶性与单调性,求出f(a)+f(b)>0.
[解答]解:
根据题意,得
f(x)=(m2﹣m﹣1)x是幂函数,
∴m2﹣m﹣1=1,
解得m=2或m=﹣1;
又f(x)在第一象限是增函数,
且当m=2时,指数4×29﹣25﹣1=2015>0,满足题意;
当m=﹣1时,指数4×(﹣1)9﹣(﹣1)5﹣1=﹣4<0,不满足题意;
∴幂函数f(x)=x2015是定义域R上的奇函数,且是增函数;
又∵a,b∈R,且a+b>0,∴a>﹣b,
又ab<0,不妨设b<0,
即a>﹣b>0,∴f(a)>f(﹣b)>0,
f(﹣b)=﹣f(b),
∴f(a)>﹣f(b),∴f(a)+f(b)>0.
故选:
A.
[点评]本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题,也考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题,是基础题目.
4.(2014•西湖区校级学业考试)已知,若0<a<b<1,则下列各式中正确的是( )
A.B.
C.D.
[分析]函数的单调性,对a、b、、,区分大小,即可找出选项.
[解答]解:
因为函数在(0,+∞)上是增函数,又,
故选C.
[点评]本题考查幂函数的性质,数值大小比较,是基础题.
二.填空题(共1小题)
5.(2016春•校级期末)已知幂函数f(x)的图象经过点(,),P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点,给出以下结论:
①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2);③>;④<.其中正确结论的序号是 ②③ .
[分析]利用待定系数法求出幂函数的解析式;幂函数的指数大于0得到幂函数在(0,+∝)上的单调性;图象呈上升趋势,判断出②③正确.
[解答]解:
依题意,设f(x)=xα,则有()α=,即()α=(),
所以α=,于是f(x)=x.
由于函数f(x)=x在定义域[0,+∞)单调递增,所以当x1<x2时,必有f(x1)<f(x2),
从而有x1f(x1)<x2f(x2),故②正确;
又因为,分别表示直线OP、OQ的斜率,结合函数
图象,容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率,故>,所以③正确.
答案②③
[点评]本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式、考查幂函数的性质由幂函数的指数的取值决定.
三.解答题(共13小题)
6.(2016春•校级期末)已知幂函数f(x)=(m﹣1)2x在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x﹣k.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)当x∈[1,2]时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,数k的取值围.
[分析](Ⅰ)根据幂函数的定义和性质即可求出m的值,
(Ⅱ)先求出f(x),g(x)的值域,再根据若A∪B⊆A,得到关于k的不等式组,解的即可.
[解答]解:
(Ⅰ)依题意得:
(m﹣1)2=1,
解得m=0或m=2
当m=2时,f(x)=x﹣2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去
∴m=0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x2,当x∈[1,2]时,f(x),g(x)单调递增,
∴A=[1,4],B=[2﹣k,4﹣k],
∵A∪B⊆A,
∴
解得,0≤k≤1
故实数K的取值围为[0,1]
[点评]本题主要考查了幂函数的性质定义,以与集合的运算,属于基础题.
7.(2016春•江阴市校级期中)已知函数f(x)=(a﹣1)xa(a∈R),g(x)=|lgx|.
(Ⅰ)若f(x)是幂函数,求a的值并求其单调递减区间;
(Ⅱ)关于x的方程g(x﹣1)+f
(1)=0在区间(1,3)上有两不同实根x1,x2(x1<x2),求a++的取值围.
[分析](Ⅰ)根据幂函数的定义,求出a的值,即得f(x)的解析式与单调递减区间;
(Ⅱ)把方程化为g(x﹣1)=1﹣a,利用函数y=g(x﹣1)与y=1﹣a在x∈(1,3)的图象上有二交点,得出a的取值围以与x1,x2的关系,从而求出a++的取值围.
[解答]解:
(Ⅰ)∵f(x)=(a﹣1)xa(a∈R),f(x)是幂函数,
∴由题有a﹣1=1,得a=2;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2’
∴f(x)=x2的单调递减区间为(﹣∞,0)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4’
(Ⅱ)方程g(x﹣1)+f
(1)=0化为g(x﹣1)=1﹣a,
由题意函数y=g(x﹣1)与y=1﹣a在x∈(1,3)上有两不同交点.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’
y=g(x﹣1)=|lg(x﹣1)|=;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7’
在x∈(1,2]时,y=g(x﹣1)单调递减,
又y=g(x﹣1)∈[0,+∞),
在x∈[2,3)时,y=g(x﹣1)单调递增,
y=g(x﹣1)∈[0,lg2),﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9’
所以0<1﹣a<lg2,即1﹣lg2<a<1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11’
由x1<x2,可知x1∈(1,2),x2∈(2,3),
且即
相加消去a,可得lg(x1﹣1)+lg(x2﹣1)=0,
即(x1﹣1)(x2﹣1)=1,
展开并整理得x1x2=x1+x2,即+=1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14’
所以a++的取值围为(2﹣lg2,2).﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣16’
[点评]本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题,也考查了函数与方程的应用问题以与分类讨论与转化思想,是就综合性题目.
8.(2015秋•资阳期末)已知函数f(x)=(a﹣1)xa(a∈R),g(x)=|lgx|.
(Ⅰ)若f(x)是幂函数,求a的值;
(Ⅱ)关于x的方程g(x﹣1)+f
(1)=0在区间(1,3)上有两不同实根x1,x2(x1<x2),求的取值围.
[分析](Ⅰ)利用幂函数的定义能求出a.
(Ⅱ)函数y=g(x﹣1)与y=1﹣a在x∈(1,3)上有两不同交点,y=g(x﹣1)=,推导出1﹣lg2<a<1,x1∈(1,2),x2∈(2,3),由此能求出的取值围.
[解答]解:
(Ⅰ)∵f(x)=(a﹣1)xa(a∈R),f(x)是幂函数,
∴由题有a﹣1=1,得a=2.(2分)
(Ⅱ)方程化为g(x﹣1)=1﹣a,
由题有函数y=g(x﹣1)与y=1﹣a在x∈(1,3)上有两不同交点.(3分)
y=g(x﹣1)=|lg(x﹣1)|=
在x∈(1,2]时,y=g(x﹣1)单调递减,y=g(x﹣1)∈[0,+∞),
在x∈[2,3)时,y=g(x﹣1)单调递增,y=g(x﹣1)∈[0,lg2),5分
所以0<1﹣a<lg2,即1﹣lg2<a<1,(7分)
由x1<x2,可知x1∈(1,2),x2∈(2,3),
且即
相加消去a,可得lg(x1﹣1)+lg(x2﹣1)=0,即(x1﹣1)(x2﹣1)=1,
展开并整理得x1x2=x1+x2,即.(11分)
所以的取值围为(2﹣lg2,2).(12分)
[点评]本题考查实数值的求法,考查代数式的值的取值围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.
9.(2015秋•校级期中).已知幂函数的图象关于y轴对称,且在区间(0,+∞)上是减函数,
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若a>k,比较(lna)0.7与(lna)0.6的大小.
[分析]
(1)利用幂函数的性质,结合函数的奇偶性通过k∈N*,求出k的值,写出函数的解析式.
(2)利用指数函数y=(lna)x的性质,把不等式大小比较问题转化为同底的幂比较大小,即可得出答案.
[解答]解:
(1)幂函数的图象关于y轴对称,
所以,k2﹣2k﹣3<0,解得﹣1<k<3,
因为k∈N*,所以k=1,2;且幂函数在区间(0,+∞)为减函数,
∴k=1,
函数的解析式为:
f(x)=x﹣4.
(2)由
(1)知,a>1.
①当1<a<e时,0<lna<1,(lna)0.7<(lna)0.6;
②当a=e时,lna=1,(lna)0.7=(lna)0.6;
③当a>e时,lna>1,(lna)0.7>(lna)0.6.
[点评]本题是中档题,考查幂函数的基本性质,考查不等式的大小比较,注意转化思想的应用.
10.(2014秋•旌阳区校级月考)已知幂函数g(x)=(m2﹣2)xm(m∈R)在(0,+∞)为减函数,已知f(x)是对数函数且f(﹣m+1)+f(﹣m﹣1)=.
(1)求g(x),f(x)的解析式;
(2)若实数a满足f(2a﹣1)<f(5﹣a),数a的取值围.
[分析]
(1)根据题意,求出m的值,得出g(x)的解析式,再求出f(x)的解析式;
(2)根据题意,利用f(x)的单调性,列出不等式组,求出实数a的取值围.
[解答]解:
(1)∵幂函数g(x)=(m2﹣2)xm(m∈R)在(0,+∞)上为减函数,
∴,
解得m=﹣,
∴g(x)=;
又∵f(x)是对数函数,且f(﹣m+1)+f(﹣m﹣1)=,
∴设f(x)=logax(a>0且a≠1),
∴loga(﹣m+1)+loga(﹣m﹣1)=,
即loga(m2﹣1)=loga2=,
解得a=4,
∴f(x)=log4x;
(2)∵实数a满足f(2a﹣1)<f(5﹣a),
且f(x)=log4x在(0,+∞)上单调递增,
∴,
解得;
即<a<2,
∴实数a的取值围是(,2).
[点评]本题考查了函数的性质与应用的问题,也考查了不等式的解法与应用问题,是基础题目.
11.(2013秋•大县校级期末)函数f(x)=是偶函数.
(1)试确定a的值,与此时的函数解析式;
(2)证明函数f(x)在区间(﹣∞,0)上是减函数;
(3)当x∈[﹣2,0]时,求函数f(x)=的值域.
[分析]
(1)根据f(x)是偶函数,f(﹣x)=f(x),求出a=0;
(2)用定义证明f(x)在(﹣∞,0)上是减函数;
(3)由
(2)得,根据f(x)在[﹣2,0]的单调性,求出f(x)在[﹣2,0]上的值域.
[解答]解:
(1)∵f(x)是偶函数,
∴f(﹣x)=f(x),
即=,
∴x2+ax﹣3=x2﹣ax﹣3;
∴a=0,
∴f(x)=;
(2)证明:
任取x1、x2∈(﹣∞,0),且x1<x2;
∴==;
∵x1<x2<0,
∴x1+x2<0,x1﹣x2<0,
∴(x1+x2)(x1﹣x2)>0,
∴>1,即f(x1)>f(x2);
∴f(x)在(﹣∞,0)上是减函数;
(3)由
(2)知,f(x)在(﹣∞,0)上是减函数;
∴当x∈[﹣2,0]时,f(﹣2)==2,f(0)=;
∴函数f(x)在[﹣2,0]上的值域是[,2].
[点评]本题考查了函数的奇偶性的应用,单调性的证明,以与利用函数的单调性求函数值域的问题,是综合题.
12.(2011•模拟)如图,点A、B、C都在幂函数的图象上,它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a)
(1)求函数f(a)和g(a)的表达式;
(2)比较f(a)与g(a)的大小,并证明你的结论
[分析]
(1)间接法求f(a),利用f(a)=S△AB'C=S梯形AA'C'C﹣S△AA'B'﹣S△CC'B'求出f(a)的值,直接法求g(a)=AC•BB′.
(2)比较f(a)与g(a)的大小,用作差法,化简f(a)﹣g(a)到因式乘积的形式,判断符号,从而比较大小.
[解答]解:
(1)连接AA′、BB′、CC′,
则f(a)=S△AB'C=S梯形AA'C'C﹣S△AA'B'﹣S△CC'B'
===(),
g(a)=S△A′BC′=AC•BB′=BB′=,
==,
∴f(a)<g(a),
[点评]本题考查幂函数的应用,不等式比较大小的方法,体现转化的数学思想.
13.(2011秋•高安市校级期中)已知幂函数的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数.
(1)求m的值;
(2)求满足的a的取值围.
[分析]
(1)幂函数y=xα的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数.则必须满足α为偶数且α<0,则易得m的值.
(2)再根据幂函数y=xα的单调性,求满足的a的取值围.
[解答]解:
(1)∵函数在(0,+∞)上递减,
∴m2﹣2m﹣3<0即﹣1<m<3,又m∈N*
∴m=1或2,又函数图象关于y轴对称,
∴m2﹣2m﹣3为偶数,故m=1为所求.
(2)函数在(﹣∞,0),(0,+∞)上均为减函数
∴
等价于a+1>3﹣2a>0或0>a+1>3﹣2a或a+1<0<3﹣2a,
解得
故a的取值围为
[点评]幂函数y=xα,α<0时则为减函数;α>0时,幂函数为增函数.要注意α的不同,其定义域是不同的.解不等式时要注意.
14.(2010秋•如东县期末)已知幂函数y=f(x)经过点,
(1)试求函数解析式;
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间;
(3)试解关于x的不等式f(3x+2)+f(2x﹣4)>0.
[分析]
(1)设y=xa,代入可得a值,从而得到幂函数的解析式.
(2)根据函数解析式求出定义域,在考查f(﹣x)与f(x)的关系,依据函数奇偶性的定义作出判断.
(3)将不等式化为f(3x+2)>f(4﹣2x),分3x+2与2x﹣4都是正数、都是负数、异号三种情况,依据函数的单调性与函数值围列出不等式组,最后把各个不等式组的解集取并集.
[解答]解:
(1)设y=xa,代入,
得a=﹣1,∴.
(2)定义域(﹣∞,0)∪(0,+∞),又,
∴f(x)为奇函数.
单调区间(﹣∞,0),(0,+∞)
(3)由f(3x+2)+f(2x﹣4)>0得f(3x+2)>﹣f(2x﹣4),
即f(3x+2)>f(4﹣2x),
①当3x+2>0,4﹣2x>0时,∴,
②当3x+2<0,4﹣2x<0时,,x无解,
③当3x+2与4﹣2x异号时,,x>2,
综上所述,或x>2.
[点评]本题考查用待定系数法求函数解析式、奇偶性,求函数单调区间、定义域,以与利用单调性、奇偶性解不等式.
15.(2010秋•校级期末)已知幂函数f(x)=xa和对数函数g(x)=logax,其中a为不等于1的正数
(1)若幂函数的图象过点(27,3),求常数a的值,并说明幂函数f(x)的单调性;
(2)若0<a<1,且函数y=g(x+3)在区间[﹣2,﹣1]上总有|y|≤2,求a的取值围.
[分析]
(1)将点的坐标代入幂函数解析式求出α,据α>0,幂函数单调递增.
(2)求出函数的解析式,根据0<a<1时,对数函数单调递减,求出函数的最值,列出不等式求出a的围.
[解答]解:
(1)∵幂函数的图象过点(27,3),
∴3=27α
∴,
∴
故函数在(﹣∞,+∞)上是单调增函数
(2)y=g(x+3)=loga(x+3)
∵0<a<1,
∴y=loga(x+3)在区间[﹣2,﹣1]上单调递减
所以当x=﹣2时y取得最大值0,当x=﹣1时y取得最小值loga2
∵|y|≤2
∴﹣loga2≤2
[点评]本题考查利用待定系数法求函数的解析式、幂函数的性质、对数函数的单调性与解对数不等式.
16.(2007秋•虹口区校级期末)已知幂函数(m∈Z)的图象关于y轴对称,且在区间(0,+∞)为减函数
(1)求m的值和函数f(x)的解析式
(2)解关于x的不等式f(x+2)<f(1﹣2x).
[分析]
(1)利用幂函数的性质,结合函数的奇偶性通过m∈Z,求出m的值,写出函数的解析式.
(2)利用函数的性质,函数的定义域,把不等式转化为同解不等式,即可求出不等式的解集.
[解答]解:
(1)幂函数(m∈Z)的图象关于y轴对称,且在区间(0,+∞)为减函数,
所以,m2﹣4m<0,解得0<m<4,
因为m∈Z,所以m=2;
函数的解析式为:
f(x)=x﹣4.
(2)不等式f(x+2)<f(1﹣2x),函数是偶函数,在区间(0,+∞)为减函数,
所以|1﹣2x|<|x+2|,解得,
又因为1﹣2x≠0,x+2≠0
所以,
[点评]本题是中档题,考查幂函数的基本性质,考查不等式的解法,注意转化思想的应用.
17.已知函数f(x)=(m﹣1)为幂函数,g(x)=x+f(x).
(1)求证:
函数g(x)是奇函数;
(2)根据函数单调性定义证明:
函数g(x)在[2,+∞)上是增函数.
[分析]
(1)因为只有y=xα型的函数才是幂函数,所以只有,m﹣1=1,函数f(x)=(m﹣1)才是幂函数,据此得出m.然后再证明其是奇函数;
(2)根据函数的单调性证明即可.
[解答]证明:
(1)有f(x)为幂函数,得m﹣1=1,∴M=2,
∴f(x)=,(x≠0),
∴g(x)=,
由g(﹣x)=(﹣x)+=﹣(),
∴函数g(x)在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数;
(2)设任意的x1,x2∈[2,+∞),且x1<x2,
∴g(x1)﹣g(x2)=(
=,
由x1
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