北师大八年级下册第六章平行四边形证明题专项练习包含答案.docx

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北师大八年级下册第六章平行四边形证明题专项练习包含答案

北师大八年级下册-第六章-平行四边形证明题专项练习（包含答案）

1.如图,四边形ABCD是平行四边形,DE平分∠ADC,交AB于点E,BF平分∠ABC,交CD于点F.求证:

DE=BF

2.如图,在平行四边形ABCD中,将△BCD沿BD翻折,使点C落在点E处,BE和AD相交于点O.求证:

OA=OE.

3.如图所示,把平行四边形ABCD折叠,使点C与点A重合,这时点D落在点D1处,折痕为EF,若∠BAE=55°,求∠D1AD的度数

4.如图

（1）,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD、BC分别相交于点E、F,则OE=OF.若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（如图

（2）和图（3））,OE与OF还相等吗?

若相等,请你说明理由.

5.如图,点E为▱ABCD的边AB上一点,将△BCE沿CE翻折得到△FCE,点F落在对角线AC上,且AE=AF,若∠BAC=28°,求∠BCD的度数。

6.如图,在▱ABCD中,点E是BC边的中点,连接AE并延长与DC的延长线交于F.

（1）求证:

CF=CD;

（2）若AF平分∠BAD,连接DE,试判断DE与AF的位置关系,并说明理由.

7.如图,在▱ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF=DE,连接AF、CE.

求证:

AF∥CE.

8.如图,在▱ABCD中,O是对角线AC的中点,EF经过点O交AD,BC于E,F.四边形AFCE是平行四边形吗?

请说明理由.

9.如图,四边形ABCD是平行四边形,直线EF∥BD,与CD、CB的延长线分别交于点E、F,与AB、AD交于点G、H.

（1）求证:

四边形FBDH为平行四边形;

（2）求证:

FG=EH.

10.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上,∠EFB=60°,EF=DC.

（1）求证:

四边形EFCD是平行四边形;

（2）若BF=EF,求证:

AE=AD.

11.如图①,已知在△ABC中,AB=AC,点P为底边BC上（端点B、C除外）的任意一点,且PE∥AC,PF∥AB.

（1）线段PE、PF、AB之间有什么数量关系?

并说明理由;

（2）如图②,将“点P为底边BC上任意一点”改为“点P为底边BC延长线上任意一点”,其他条件不变,上述结论还成立吗如果不成立,你能得出什么结论请说明你的理由.

12.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上,∠EFB=60°,EF=DC.

（1）求证:

四边形EFCD是平行四边形;

（2）若BF=EF,求证:

AE=AD.

13.如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M、N分别是AD、BC的中点,BC=2CD.

（1）求证:

四边形MNCD是平行四边形;

（2）求证:

BD=

MN.

14.如图,已知△ABC的中线BD、CE交于点O,F、G分别是OB、OC的中点.求证:

四边形DEFG是平行四边形.

15.如图,在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,∠B=50°.将△ADE沿DE折叠,使点A落在点A1处,求∠BDA1的度数.

16.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3.

（1）求证:

BN=DN;

（2）求△ABC的周长.

17.如图,在△ABC中,BC=AC,E、F分别是AB、AC的中点,延长EF交∠ACD的平分线于点G.

（1）AG与CG有怎样的位置关系?

说明你的理由;

（2）求证:

四边形AECG是平行四边形.

18.我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”“三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半”.类似地,我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别是AB,CD的中点,那么EF就是梯形ABCD的中位线,通过观察、测量,猜想EF和AD,BC有怎样的位置和数量关系,并证明你的结论.

19.如图,四边形纸片ABCD中,∠A=70°,∠B=80°,将纸片折叠,使C,D落在AB边上的C',D'处,折痕为MN,

求∠AMD'+∠BNC'的度数

20.如图所示，E，F分别为平行四边形ABCD中AD，BC的中点，G，H在BD上，且BG＝DH，求证四边形EGFH是平行四边形．

21.如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24㎝，BC＝26㎝，动点P从点A开始沿AD边以每秒1㎝的速度向D点运动，动点Q从点C开始沿CB边以每秒3㎝的速度向B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts．

（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形?

（2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形?

（3）t为何值时，四边形ABQP为矩形?

22.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，

BC＝15，MN＝3 

（1）求证：

BN＝DN； 

（2）求△ABC的周长． 

23.

（1）如图①，口ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：

AE＝CF．

（2）如图②，将口ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．

求证：

EI＝FG．

答案

1.证法一:

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,∠A=∠C,∠ADC=∠CBA.∵DE平分∠ADC,BF平分∠ABC,

∴∠ADE= ∠ADC,∠CBF= ∠CBA,∴∠ADE=∠CBF,∴△ADE≌△CBF（ASA）.∴DE=BF.

证法二:

∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CDE=∠AED,∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,∴∠ADE=∠AED,

∴AE=AD.同理,CF=CB,又AD=CB,∴AE=CF,∵AB=CD,∴DF=BE,∴四边形DEBF是平行四边形,∴DE=BF.

2.证法一:

∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∴∠ADB=∠CBD,由折叠可知∠EBD=∠CBD,BE=BC,

∴∠EBD=∠ADB,AD=BE,∴BO=DO,∴AD-DO=BE-BO,即OA=OE.

证法二:

∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠A=∠C,且AB=DC.由折叠可知∠E=∠C,DE=DC,∴∠A=∠E,AB=DE.

在△AOB和△EOD中,

∴△AOB≌△EOD,∴OA=OE.

3.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD=∠C,由折叠性质知,∠D1AE=∠C,∴∠D1AE=∠BAD,∴∠D1AD=∠BAE=55°.

4.题图

（2）中OE=OF.理由:

在▱ABCD中,AB∥CD,OA=OC,∴∠E=∠F,又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF（AAS）,∴OE=OF

题图（3）中OE=OF.理由:

在▱ABCD中,AD∥BC,OA=OC,∴∠E=∠F,又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF（AAS）,∴OE=OF

5.∵∠BAC=28°,AE=AF,∴∠AFE=∠AEF= =76°,∴∠EFC=180°-76°=104°,由折叠的性质知,∠B=∠EFC=104°,

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠B+∠BCD=180°,∴∠BCD=180°-104°=76°.

6. 

（1）证明:

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵点F为DC的延长线上一点,∴AB∥DF,

∴∠BAE=∠CFE,∠ECF=∠EBA,∵E为BC的中点,∴BE=CE,则在△BAE和△CFE中,

∴△BAE≌△CFE（AAS）,∴AB=CF,∴CF=CD.

（2）DE⊥AF.理由:

∵AF平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF,∵∠BAF=∠F,∴∠DAF=∠F,∴DA=DF,又由

（1）知△BAE≌△CFE,

∴AE=EF,∴DE⊥AF.

7.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∴∠ADF=∠CBE.又∵BF=DE,∴BF+BD=DE+BD,∴DF=BE.

∴△ADF≌△CBE.∴∠AFD=∠CEB.∴AF∥CE.

8.四边形AFCE是平行四边形.理由如下:

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠DAC=∠BCA.又∵O是AC的中点,∴OA=OC.又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.∵OE=OF,OA=OC,∴四边形AFCE是平行四边形.

9. 

（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,又∵EF∥BD,∴四边形FBDH为平行四边形.

（2）由

（1）知四边形FBDH为平行四边形,∴FH=BD,∵EF∥BD,AB∥DC,∴四边形BDEG是平行四边形,

∴BD=EG,∴FH=EG,∴FH-GH=EG-GH,∴FG=EH.

10. 

（1）∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵∠EFB=60°,∴∠ABC=∠EFB.∴EF∥BC.

又∵EF=DC,∴四边形EFCD是平行四边形.

（2）连接BE.∵BF=EF,∠EFB=60°∴△BEF是等边三角形∴EB=EF∠ABE=60°又∵EF=DC∴BE=DC∵△ABC是等边三角形,

∴∠ACB=60°,AB=AC.∴∠ABE=∠ACD,又∵BE=DC,AB=AC,∴△ABE≌△ACD,∴AE=AD.

11. 

（1）PE+PF=AB.理由:

∵PE∥AC,PF∥AB,∴∠EPB=∠C,四边形PEAF是平行四边形,∴PF=AE,

∵AC=AB,∴∠B=∠C,∴∠EPB=∠B,∴PE=BE.∵BE+AE=AB,∴PE+PF=AB.

（2）

（1）中结论不成立.此时结论为PE-PF=AB.理由:

∵PE∥AC,PF∥AB,∴∠FPC=∠ABC,四边形PEAF是平行四边形,

∴PE=AF,又AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠FPC=∠ACB=∠FCP,∴PF=FC,∴PE-PF=AF-FC=AC=AB.

12.  

（1）∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵∠EFB=60°,∴∠ABC=∠EFB.

∴EF∥BC.又∵EF=DC,∴四边形EFCD是平行四边形.

（2）连接BE.∵BF=EF,∠EFB=60°,∴△BEF是等边三角形.∴EB=EF,∠ABE=60°.又∵EF=DC,∴BE=DC.

∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,AB=AC.∴∠ABE=∠ACD,又∵BE=DC,AB=AC,∴△ABE≌△ACD,∴AE=AD.

13. 

（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵M、N分别是AD、BC的中点,

∴MD=NC,又MD∥NC,∴四边形MNCD是平行四边形.

（3）如图,连接DN.∵N是BC的中点,BC=2CD,∴CD=NC.∵∠C=60°,∴△DCN是等边三角形.

∴ND=NC,∠DNC=∠NDC=60°.∴ND=NB=CN.∴∠DBC=∠BDN=30°.∴∠BDC=∠BDN+∠NDC=90°.

∴

∵四边形MNCD是平行四边形,∴MN=CD.∴BD= MN.

14.∵D,E分别为AC、AB的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,且DE=

BC,又∵F、G分别是OB、OC的中点,

∴FG是△BCO的中位线,∴FG∥BC,且FG= 

BC,∴DE∥FG,DE=FG,∴四边形DEFG是平行四边形.

15.∵D、E分别是边AB、AC的中点,∴DE∥BC,∴∠ADE=∠B=50°（两直线平行,同位角相等）,

又∵∠ADE=∠A1DE,∴∠A1DA=2∠B,∴∠BDA1=180°-2∠B=80°.

16. 

（1）证明:

∵AN平分∠BAC,∴∠1=∠2,∵BN⊥AN,∴∠ANB=∠AND=90°,又AN=AN,∴△ABN≌△ADN,∴BN=DN.

（2）由△ABN≌△ADN知,AD=AB=10,点N为BD的中点,又M是BC的中点,∴MN为△BCD的中位线,

∴CD=2MN=6,∴AC=AD+CD=16,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=10+15+16=41.

17. 

（1）AG⊥CG.理由:

∵E、F分别是AB、AC的中点,∴EF是△ABC的中位线,AF=CF,∴EF∥BC,∴∠FGC=∠GCD,

∵CG平分∠ACD,∴∠FCG=∠GCD,∴∠FCG=∠FGC,∴FG=FC,又∵AF=CF,∴AF=FG,∴∠FAG=∠AGF,

∵∠FAG+∠AGC+∠ACG=180°,∴∠AGC=90°,∴AG⊥CG.

（2）证明:

由

（1）知,FG= 

AC,∵EF是△ABC的中位线,∴EF= 

BC,∴FG=EF,又∵AF=CF,∴四边形AECG是平行四边形.

18. 结论:

EF∥AD∥BC,EF= 

（AD+BC）.证明如下:

如图所示,连接AF并延长交BC的延长线于点G,

∵AD∥BC,∴∠DAF=∠G,在△ADF和△GCF中,∠DAF=∠G,∠DFA=∠CFG,DF=FC,

∴△ADF≌△GCF（AAS）,∴AF=FG,AD=CG,又∵AE=EB,

∴EF∥BG,EF= 

BG,即EF∥AD∥BC,EF= 

（AD+BC）.

19.四边形纸片ABCD中,∠A=70°,∠B=80°,∴∠D+∠C=360°-∠A-∠B=210°.

∵将纸片折叠,使C,D落在AB边上的C',D'处,∴∠MD'B=∠D,∠NC'A=∠C,∴∠MD'B+∠NC'A=210°,

∴∠AD'M+∠BC'N=150°,∴∠AMD'+∠BNC'=360°-∠A-∠B-∠AD'M-∠BC'N=60°

20.证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC（平行四边形对边平行且相等）．∴∠EDH＝∠FBG．

又∵E，F分别为AD，BC的中点，∴DE＝BF．又∵BG＝DH，∴．△DEH≌△BFG（SAS），∴EH＝FG，∠DHE＝∠BGF．

∴∠EHG＝∠FGH（等角的补角相等）．∴EH∥FG．∴四边形EGFH是平行四边形

21.由已知得AP＝t，CQ＝3t，PD＝24－t，BQ＝26－3t．

（1）∵PD∥CQ，∴

当PD＝CQ时，即3t＝24－t时，四边形PQCD为平行四边形，解得t＝6．故当t＝6时，四边形PQCD为平行四边形．

（2）如图3—38所示，作DE⊥BC，PF⊥BC，垂足分别为E，F，则CE＝2．当QF＝CE时，即QF+CE＝2CE＝4时，四边形PQCD是等腰梯形．此时有CQ－EF＝4，

即3t—（24一t）＝4，解得t＝7．故当t＝7时，四边形PQCD为等腰梯形．（3）若四边形ABQP为矩形，则AP＝BQ，即t＝26—3t，解得t＝

．故当t＝

时，四边形ABQP为矩形．

22.

（1）证明：

在△ABN和△ADN中，∵

∴△ABN≌△ADN， ∴BN＝DN． 

（2）解：

∵△ABN≌△ADN，∴AD＝AB＝10，DN＝NB， 又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，

∴CD＝2MN＝6， 故△ABC的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝41．

23.证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠1＝∠2，

∵在△AOE和△COF中，

，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，由

（1）得AE＝CF，

由折叠的性质可得：

AE＝A1E，∠A1＝∠A，∠B1＝∠B，

∴A1E＝CF，∠A1＝∠A＝∠C，∠B1＝∠B＝∠D，又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，

∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，∴∠5＝∠6，∵在△A1IE与△CGF中，

，∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI＝FG．