高中数学选修12课时作业1211 回归分析的基本思想及其初步应用.docx
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高中数学选修12课时作业1211回归分析的基本思想及其初步应用
§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
一、选择题
1.某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位:
万盒)的数据如下表所示:
x(月份)
1
2
3
4
5
y(万盒)
5
5
6
6
8
若x,y线性相关,线性回归方程为
=0.7x+
,估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为( )
A.8.0万盒B.8.1万盒
C.8.9万盒D.8.6万盒
考点 线性回归方程
题点 样本点中心的性质
[答案] B
[解析] 回归直线一定过样本点的中心.由已知数据可得
=3,
=6,代入线性回归方程,可得
=
-0.7
=3.9,即线性回归方程为
=0.7x+3.9.把x=6代入,可近似得
=8.1,故选B.
2.如图所示,由这两个散点图可以判断( )
A.变量x与y正相关,u与v正相关
B.变量x与y正相关,u与v负相关
C.变量x与y负相关,u与v正相关
D.变量x与y负相关,u与v负相关
考点 线性回归分析
题点 回归直线的概念
[答案] C
[解析] 图
(1)中的数据随着x的增大y减小,因此变量x与变量y负相关;
图
(2)中的数据随着u的增大v增大,因此u与v正相关.
3.已知变量x与y负相关,且由观测数据求得样本平均数
=3,
=3.5,则由该观测数据求得的线性回归方程可能是( )
A.
=-2x+9.5B.
=2x-2.4
C.
=-0.3x-4.4D.
=0.4x+2.3
考点 线性回归方程
题点 求线性回归方程
[答案] A
[解析] 因为变量x与y负相关,所以排除B,D,将样本平均数
=3,
=3.5代入选项验证可知,选项A符合题意.
4.对具有线性相关关系的变量x,y,有一组观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,8),其线性回归方程是
=
x+
,若x1+x2+x3+…+x8=3,y1+y2+y3+…+y8=6,则实数
的值是( )
A.
B.
C.
D.
考点 线性回归方程
题点 样本点中心的性质
[答案] D
[解析] 由x1+x2+x3+…+x8=3,y1+y2+y3+…+y8=6可知样本点的中心为
,将该点坐标代入回归方程
=
x+
,得
=
.
5.若对某地区人均工资x(万元)与该地区人均消费y(万元)进行调查统计得y与x具有线性相关关系,且线性回归方程为
=0.7x+2.1,若该地区人均消费水平为10.5,则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )
A.75%B.87.5%
C.70%D.10.5%
考点 线性回归方程
题点 线性回归方程的应用
[答案] B
[解析] y=10.5时,由
=0.7x+2.1得x=
=12,
故得
×100%=87.5%.
6.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两变量的线性相关试验用回归分析的方法分别求得相关系数r如下表:
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
则这四位同学的试验结果能体现出A,B两变量有更强的线性相关性的是( )
A.甲B.乙
C.丙D.丁
考点 线性相关系数
题点 线性相关系数的概念及计算
[答案] D
[解析] 由相关系数的意义可知,相关系数的绝对值越接近于1,相关性越强,结合题意可知丁的线性相关性更强,故选D.
7.某化工厂为预测某产品的回收率y,而要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系,现取了8对观测值,计算得
i=52,
i=228,
=478,
iyi=1849,则y与x的线性回归方程是( )
A.
=11.47+2.62x
B.
=-11.47+2.62x
C.
=2.62+11.47x
D.
=11.47-2.62x
考点 线性回归方程
题点 求线性回归方程
[答案] A
[解析] 由题中数据得
=6.5,
=28.5,
∴
=
=
=
≈2.62,
=
-
≈28.5-2.62×6.5=11.47,
∴y与x的线性回归方程是
=2.62x+11.47,故选A.
二、填空题
8.若一个样本的总偏差平方和为80,残差平方和为60,则相关指数R2为________.
考点 残差分析与相关指数
题点 残差及相关指数的运算
[答案] 0.25
[解析] R2=1-
=0.25.
9.已知样本数据点(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)在某一条直线上,则相关系数r的值为________.
考点 线性相关系数
题点 线性相关系数的概念及计算
[答案] ±1
[解析] 由题意知r=±1.
10.关于随机误差产生的原因分析正确的有________.(填序号)
①用线性回归模型来近似真实模型所引起的误差;
②忽略某些因素的影响所产生的误差;
③对样本数据观测时产生的误差;
④计算错误所产生的误差.
考点 回归分析
题点 回归分析的概念和意义
[答案] ①②③
[解析] 理解线性回归模型y=bx+a+e中随机误差e的含义是解决此问题的关键,随机误差可能由于观测工具及技术产生,也可能因忽略某些因素而产生,也可以是回归模型产生,但不是计算错误.故随机误差产生的原因分析正确的是①②③.
三、解答题
11.已知x,y之间的一组数据如下表:
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
(1)分别计算:
,
,x1y1+x2y2+x3y3+x4y4,x
+x
+x
+x
;
(2)已知变量x与y线性相关,求出回归方程.
考点 线性回归方程
题点 求线性回归方程
解
(1)
=
=1.5,
=
=4,
x1y1+x2y2+x3y3+x4y4=0×1+1×3+2×5+3×7=34,
x
+x
+x
+x
=02+12+22+32=14.
(2)
=
=2,
=
-
=4-2×1.5=1,
故
=2x+1.
12.某服装批发市场1-5月份的服装销售量x与利润y的统计数据如下表:
月份
1
2
3
4
5
销售量x(万件)
3
6
4
7
8
利润y(万元)
19
34
26
41
46
(1)从这五个月的利润中任选2个,分别记为m,n,求事件“m,n均不小于30”的概率;
(2)已知销售量x与利润y大致满足线性相关关系,请根据前4个月的数据,求出y关于x的线性回归方程
=
x+
;
(3)若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元,则认为得到的利润的估计数据是理想的.请用表格中第5个月的数据检验由
(2)中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想?
参考公式:
=
,
=
-
.
考点 线性回归分析
题点 回归直线的应用
解
(1)所有的基本事件为(19,34),(19,26),(19,41),(19,46),(34,26),(34,41),(34,46),(26,41),(26,46),(41,46),共10个.
记“m,n均不小于30”为事件A,则事件A包含的基本事件为(34,41),(34,46),(41,46),共3个.
所以P(A)=
.
(2)由前4个月的数据可得,
=5,
=30,
iyi=652,
=110.
所以
=
=
=5.2,
=30-5.2×5=4,
所以线性回归方程为
=5.2x+4,
(3)由题意得,当x=8时,
=45.6,|45.6-46|=0.4<2;
所以利用
(2)中的回归方程所得的第5个月的利润估计数据是理想的.
13.在一段时间内,某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为:
x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
求出y对x的线性回归方程,并说明拟合效果的程度.
考点 残差分析与相关指数
题点 残差及相关指数的应用
解
=
(14+16+18+20+22)=18,
=
(12+10+7+5+3)=7.4.
=142+162+182+202+222=1660,
iyi=14×12+16×10+18×7+20×5+22×3=620,
可得回归系数
=
=
=-1.15,
所以
=7.4+1.15×18=28.1,
所以线性回归方程为
=-1.15x+28.1.
列出残差表:
yi-
i
0
0.3
-0.4
-0.1
0.2
yi-
4.6
2.6
-0.4
-2.4
-4.4
则
(yi-
i)2=0.3,
(yi-
)2=53.2.
R2=1-
≈0.994.
所以回归模型的拟合效果很好.
四、探究与拓展
14.某公司的广告费支出x(万元)与销售额y(万元)之间有下表所示的对应数据,由资料显示y对x呈线性相关关系,根据下表提供的数据得到回归方程
=
x+
中的
=6.5,
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
预测销售额为115万元时,约需________万元广告费.
考点 线性回归分析
题点 回归直线的应用
[答案] 15
[解析] 因为
=
×(2+4+5+6+8)=5,
=
×(30+40+60+50+70)=50,
所以50=6.5×5+
,则
=17.5,
所以当y=115时,6.5x=115-17.5,得x=15,
即约需广告费为15万元.
15.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次试验,得到的数据如下:
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;
(2)求出y关于x的线性回归方程
=
x+
,并在坐标系中画出回归直线;
(3)试预测加工10个零件需要多少时间?
考点 线性回归方程
题点 求线性回归方程
解
(1)散点图如图.
(2)由表中数据得
iyi=52.5,
=3.5,
=3.5,
=54,
所以
=
=
=0.7,
所以
=
-
=3.5-0.7×3.5=1.05.
所以
=0.7x+1.05.
回归直线如图中所示.
(3)将x=10代入线性回归方程,得
=0.7×10+1.05=8.05,
所以预测加工10个零件需要8.05小时.
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