最全二次函数与韦达定理中考二轮资料.docx
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最全二次函数与韦达定理中考二轮资料
二次函数与韦达定理
(一)
思考:
1.已知一元二次方程
(1)求根公式x=
(2)若方程有实根,则;若方程有两个不相等的实根,则
(3)韦达定理:
x1+x2=x1x2=
(4)求值(用含a、b、c的式子表示)
2.如果抛物线y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点,则AB的长为 .
【例1】已知二次函数y=x2﹣(2m﹣3)x+(m2+1),其图象与x轴有两个不同交点.
(1)求m的取值范围;
(2)试说明抛物线与x轴的交点都在轴的负半轴上.
【变式训练1】已知关于的方程有两个不相等的实数根。
(1)试说明;
(2)若抛物线与x轴交于A、B两点,点A、点B到原点的距离分别为OA、OB,且OA+OB=2OA·OB-3,求k的值
【变式训练2】已知抛物线y=x2+mx﹣m2(m>0)与x轴交于A、B两点.
(1)求证:
抛物线的对称轴在y轴的左侧;
(2)若﹣=(点O是坐标原点),求抛物线的解析式;
【例2】已知函数y=x2﹣mx+m﹣2.
(1)求证:
无论m取什么值,它的图象与x轴总有两个交点;
(2)当m取何值时,这两个交点间的距离最小?
并求出最小距离.
【变式训练3】如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点C,顶点为D,抛物线的对称轴DF与BC相交于点E,与x轴相交于点F.设过E的直线与抛物线相交于点M(x1,y1),N(x2,y2),试判断当|x1﹣x2|的值最小时,直线MN与x轴的位置关系,并说明理由;
【变式训练4】已知:
函数y=ax2﹣(3a+1)x+2a+1(a为常数).
(1)若该函数图象与坐标轴只有两个交点,求a的值;
(2)若该函数图象是开口向上的抛物线,与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0)两点,与y轴相交于点C,且x2﹣x1=2.求抛物线的解析式;
【变式训练5】若实数m、n满足m+n=mn且n≠0时,就称点P(m,)为“完美点”,直线l:
y=﹣x+b的图象经过“完美点”(﹣,t),且直线l与二次函数y=x2﹣kx+k2+3k有交点C,D(C,D可以重合),设C,D两点的横坐标分别为x1,x2,求x12+x22的最大值.
【变式训练6】我们不妨约定:
若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称,则把该函数称之为“H函数”,其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”.若关于x的“H函数”y=ax2+2bx+3c(a,b,c是常数)同时满足下列两个条件:
①a+b+c=0,②(2c+b﹣a)(2c+b+3a)<0,求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围.
【变式训练7】已知:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,0),一条直线y=ax+b,它们的系数之间满足如下关系:
a>b>c.
(1)求证:
抛物线与直线一定有两个不同的交点;
(2)设抛物线与直线的两个交点为A、B,过A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1、B1.令,试问:
是否存在实数k,使线段A1B1的长为.如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
【例3】若关于的二次函数(是常数与轴交于两个不同的点,与轴交于点,其图像顶点为点,点为坐标原点.
(1)当时,求与的值;
(2)已知a=2,b=-4,若为等边三角形,求c的值。
(3)已知a=2,b=-4若△ABM为等腰直角三角形,求c的值
【变式训练8】若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形,则称该抛物线为“等边抛物线”
(1)若对任意m,n,点M(m,n)和点N(﹣m+4,n)恒在“等边抛物线”C1:
y=ax2+bx上,求抛物线C1的解析式;
(2)若抛物线C2:
y=ax2+bx+c为“等边抛物线“,求b2﹣4ac的值;
二次函数与韦达定理
(二)
【例1】已知抛物线y=x2﹣2mx+m2+2与直线y=-3x+1有两个不同的交点A(x1,y1)和B(x2,y2).
(1)求m的取值范围;
(2)试说明x1<0,x2<0;(3)若AB=,求m的值.
【例2】如图,直线y=x+1与y轴交于点A,与双曲线在第一象限交于B、C两点,B、C两点的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2的值是 .
【变式训练1】如图,直线y=x+1与y轴交于点A,与双曲线在第一象限交于B、C两点,B、C两点的纵坐标分别为y1,y2,则y1+y2的值是 .
【例3】如图,直线y=x+b与y轴交于点A,与x轴交于点D,与双曲线在第一象限交于B、C两点,且AB•BD=4,则k= .
【变式训练2】如图,直线y=一x+b与y轴交于点A,与双曲线y=在第一象限交于B、C两点,且AB•AC=12,则k值为 .
【例4】如图,抛物线y=x2+2x﹣3与x轴的交点为A(﹣3,0)、B(1,0),与y轴的交点为C,直线l:
y=kx+2与抛物线交于M、N两点.连接OM、ON,若∠MON=90°,求k的值.
【变式训练3】如图,已知抛物线C:
与直线交于P、Q两点,在抛物线C上存在一个定点,使∠PDQ=90°,求点的坐标.
【变式训练4】已知抛物线y=(x﹣1)2,过点(3,1),D为抛物线的顶点.直线l:
y=kx+4﹣k经过定点A.如图,直线l与抛物线交于P,Q两点.
①求证:
∠PDQ=90°;
②求△PDQ面积的最小值.
【例5】如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=﹣x+的图象与x轴交于A(﹣1,0),与y轴交于点C.以直线x=2为对称轴的抛物线C1:
y=﹣x2+x+经过A、C两点,并与x轴正半轴交于点B.设点D(0,),若F是抛物线C1:
y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴上使得△ADF的周长取得最小值的点,过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1(x1,y1),M2(x2,y2)两点,试探究+是否为定值?
请说明理由.
【变式训练5】直线交抛物线于E、F两点,问在y轴的负半轴上是否存在一点P,使△PEF的内心在y轴上?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。
【拓展提升】如图,在平面直角坐标系xOy中,以直线x=对称轴的抛物线:
y=x2﹣5x+5,与直线l:
y=kx+m(k>0)交于A(1,1),B两点,与y轴交于C(0,5),直线l与y轴交于点D.若在x轴上有且仅有一点P,使∠APB=90°,求k的值.
二次函数与韦达定理
(一)
【例1】解:
(1)∵二次函数y=x2﹣(2m﹣3)x+(m2+1),其图象与x轴有两个不同交点,
∴△=[﹣(2m﹣3)]2﹣4×1×(m2+1),得m;
(2)设抛物线与x轴的交点坐标为;(x1,0),(x2,0),
∵y=0时,x2﹣(2m﹣3)x+(m2+1)=0,∴,
∴x1,x2同号,又∵x1+x2=2m﹣3,,∴x1+x2<0,∴x1,x2都为负数,
故抛物线与x轴的交点都在x轴的负半轴上.
【变式训练1】解:
(1)∵方程有两个不相等的实数根
∴b2﹣4ac=﹣12k+5>0,∴k<;
(2)由x2﹣(2k﹣3)x+k2+1=0可知x1+x2=2k﹣3,,
∵>0,∴x1和x2同号,∵k<,∴2k﹣3<,
∴x1+x2=2k﹣3<0,∴x1<0,x2<0;
(3)设A(x1,0),B(x2,0),
∴OA+OB=﹣x1+(﹣x2)=﹣(x1+x2)=3﹣2k,OA•OB=﹣x1•(﹣x2)=,∴3﹣2k=2(k2+1)﹣3,解得k=1或k=﹣2,又∵k<,∴k=﹣2.
【变式训练2】
(1)证明:
∵m>0,
∴x=﹣=﹣<0,∴抛物线的对称轴在y轴的左侧;
(2)解:
设抛物线与x轴交点为A(x1,0),B(x2,0),
则x1+x2=﹣m<0,x1•x2=﹣m2<0,∴x1与x2异号,
又∵=>0,∴OA>OB,
由
(1)知:
抛物线的对称轴在y轴的左侧,
∴x1<0,x2>0,∴OA=|x1|=﹣x1,OB=x2,
代入得:
=,=,从而,
解得m=2,经检验m=2是原方程的根,
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3;
【例2】解:
(1)令y=0,得:
x2﹣mx+m﹣2=0,
则△=m2﹣4(m﹣2)=m2﹣4m+8=(m﹣2)2+4,∵(m﹣2)2≥0,
∴(m﹣2)2+4>0,无论m取什么值,它的图象与x轴总有两个交点;
(2)设二次函数图象与x轴交点的横坐标为x1,x2;
根据
(1)可知,x1+x2=m,x1x2=m﹣2,
∴|x1﹣x2|==,
要使抛物线的图象与x轴的两个交点的距离最小,即|当m=2时,|x1﹣x2|最小,此时最小值为2.
【变式训练3】设直线MN的解析式为y=kx+b,∵E(1,2),∴2=k+b,
∴k=2﹣b,∴直线MN的解析式y=(2﹣b)x+b,
∵点M、N的坐标是的解,整理得:
x2﹣bx+b﹣3=0,
∴x1+x2=b,x1x2=b﹣3;
∵|x1﹣x2|====,
∴当b=2时,|x1﹣x2|最小值=2,∵b=2时,y=(2﹣b)x+b=2,
∴直线MN∥x轴.
【变式训练4】
(1)函数y=ax2﹣(3a+1)x+2a+1(a为常数),
若a=0,则y=﹣x+1,与坐标轴有两个交点(0,1),(1,0);
若a≠0且图象过原点时,2a+1=0,a=﹣,有两个交点(0,0),(1,0);
若a≠0且图象与x轴只有一个交点时,令y=0有:
△=(3a+1)2﹣4a(2a+1)=0,解得a=﹣1,有两个交点(0,﹣1),(1,0).
综上得:
a=0或﹣或﹣1时,函数图象与坐标轴有两个交点.
(2)①∵函数与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0)两点,
∴x1,x2为ax2﹣(3a+1)x+2a+1=0的两个根,
∴x1+x2=,x1x2=,
∵x2﹣x1=2,
∴4=(x2﹣x1)2=(x1+x2)2﹣4x1x2=()2﹣4•,
解得a=﹣(函数开口向上,a>0,舍去),或a=1,
∴y=x2﹣4x+3.
【变式训练5】∵点(﹣,t)是“完美点”,∴由
(2)知t=﹣﹣1=﹣,
则此“完美点”坐标为(﹣,﹣),根据题意,将(﹣,﹣)代入y=﹣x+b,得:
+b=﹣,解得b=﹣4,∴y=﹣x﹣4,
由知x2+(1﹣k)x+k2+3k+4=0,
则x1+x2=k﹣1,x1x2=k2+3k+4,
且△=(1﹣k)2﹣4(k2+3k+4)≥0,
∴﹣3k2﹣14k﹣15≥0,即3k2+14k+15≤0,
解得:
﹣3≤k≤﹣,
∵x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=(k﹣1)2﹣2(k2+3k+4)=﹣k2﹣8k﹣7
=﹣(k+4)2+9,
∴当k>﹣4时,x12+x22的值随k的增大而减小,∵﹣3≤k≤﹣,
∴k=﹣3时,x12+x22取得最大值,最大值为8.
【变式训练6】∵y=ax2+2bx+3c是“H函数”,
∴设H(p,q)和(﹣p,﹣q),代入得到,
解得ap2+3c=0,2bp=q,∵p2>0,∴a,c异号,∴ac<0,∵a+b+c=0,
∴b=﹣a﹣c,∵(2c+b﹣a)(2c+b+3a)<0,
∴(2c﹣a﹣c﹣a)(2c﹣a﹣c+3a)<0,∴(c﹣2a)(c+2a)<0,
∴c2<4a2,∴<4,∴﹣2<<2,
设t=,则﹣2<t<0,
设函数与x轴交于(x1,0),(x2,0),
∴x1,x2是方程ax2+2bx+3c=0的两根,
∴|x1﹣x2|==
===2
=2,
∵﹣2<t<0,
∴2<|x1﹣x2|<2.
【变式训练7】解:
(1)根据题意得:
a+b+c=0
ax+b=ax2+bx+c∵a>b>c∴a+b>0,a>0,c<0,∴ax2+
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