计量经济学ch3双变量回归的估计精.docx
- 文档编号:5101800
- 上传时间:2022-12-13
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:147.83KB
计量经济学ch3双变量回归的估计精.docx
《计量经济学ch3双变量回归的估计精.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《计量经济学ch3双变量回归的估计精.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
计量经济学ch3双变量回归的估计精
Ch3双变量回归的估计
回归分析目的:
运用SRL
ii
iuXYˆˆˆ21++=ββ(3.1逼近PRL
iiiiiuXuXYEY++=+=21(ββ(3.2
途径:
∑iu不连续,所以使用2
∑iu最小,称为最小二乘法(OLS
。
3.1.OLS
残差平方和最小:
2
2
212121
1
ˆˆˆˆˆˆmin(((,N
N
iiiiiiuYYYXfββββ===−=−−=∑∑∑(3.3
一阶条件:
(为什么只考虑一阶条件?
0ˆ/ˆˆ((ˆ/ˆ(122112=∂−−∂=∂∂∑∑ββββiiiXYu0ˆ/ˆˆ((ˆ/ˆ(22212
2=∂−−∂=∂∂∑∑ββββiiiXYu有
0ˆ2ˆˆ(2ˆ/ˆˆ((ˆ/ˆ(211
22112=−=−−−=∂−−∂=∂∂∑∑∑∑iiiiiiuXYXYuββββββˆ2ˆˆ(2ˆ/ˆˆ((ˆ/ˆ(2122212
2−=−−−=∂−−∂=∂∂∑0=∑∑∑iiiiiiiiXuXXYXYuββββββ由此得到
1
2
ˆˆˆ(i
i
YXu
ββ−−==∑0i
∑0i
(3.41
2
ˆˆˆ(i
i
i
i
YXXu
Xββ−−==∑∑(3.5记iiiiyYxX=−=−,,有
2
2
((ˆ(i
i
i
i
2
i
i
XYxy
Xβ−−=−x
=(3.6
2
1ˆˆββ−=(3.7OLS样本回归直线
iiiiiuYuXYˆˆˆˆˆ21+=++=ββ
性质:
样本回归直线具有性质
(1.SRL通过样本均值点(12
ˆˆββ=+
图3.1样本回归直线
(2.的均值等于样本均值,即i
Yˆ12
ˆˆiYββ=+=(3.9(3残差的均值为0,即
∑==0/ˆ(ˆnuu
i离差形式
2iiiyxuβ=+(3.10
ii
iuxyˆˆ2+=β(3.11iixy2ˆˆβ=(3.12
(4.残差与预测或估计的Y不相关,即
0ˆˆ=∑
iiyu
。
(
2ˆˆˆˆ0iiiiyuxuβ==∑∑(5.与不相关,即iu
ˆiX0ˆ=∑
iiXu
它等价于。
0ˆ=∑
iixu
3.2.OLS的基本假定
1.线性回归模型,即模型对参数而言是线性的。
为什么如此假定?
这一假定强调的是对参数,而不是变量。
如Y=β1+β2X+uY=β1+β2X1+β3X2+u为线性模型(对参数而言。
但Y=β1+β2X1+β1β2X2+u对参数而言就是非直线模型。
2.在重复抽样中X是固定的,或X是非随机的。
该假定的目的是什么?
3.干扰项的均值为0,即
0(=iiXuE。
如何保证该假定成立?
4.同方差或扰动的方差相同。
即
2
var(iiuXiσ
=∀.
图3.2.扰动(以及Yi的同方差
图3.3.扰动(以及Yi的异方差该假定的本质含义是什么?
5.扰动之间无(自相关。
即
cov(,,0,
,ijijuuXXijij=∀≠
为什么?
6.扰动与X不相关,或它们之间的协方差为0。
即:
cov(,0ijuX=与假定2有什么关系?
7.观测次数或样本的长度大于待估参数的个数。
为什么如此要求?
8.X值要有变异性,即对于一个给定的样本,X的值不能全部相同,也就是说,X的方差必须是一个有限的正数。
为什么如此要求?
9.正确设定了模型,或者说,所用的模型不存在设定误差。
所谓设定问题,在本书中包括:
(1模型应包括哪些变量,
(2模型的函数形式(如线性还是非线性,(3对模型的变量和扰动应有哪些假定等。
以线性和非线性菲氏典线为例,菲氏典线理论所陈述的是,货币工资变化率(或通胀率与失业率彼此消长的关系,即Yi=β1+β2(1/Xi+Ui若将菲氏典线模型设定为
Yi=β1+β2(Xi+Ui
上述假定是对总体所作出的假设,不是对样本回归函数的假定。
SRL和PRL的对应性质:
0/ˆ==∑u
nu
i
与0(=iiXuE
0ˆ=∑i
i
Xu
与0cov(=iiXu
10.解释变量之间没有完全的共线关系。
.
在计量经济模型中,对于模型Y=β1+β2X+β3Z+u
若X和Z的样本,使得X=(δ1/δ2Ζ,即称它们完全共线。
该假定与假定8有什么关系?
3.3.OLS的精度:
标准差
对于样本回归直线
i
iXY21ˆˆˆββ+=其参数估计为
∑=22
ˆi
i
ixyxβ,21ˆˆββ−=其方差定义为
∑∑∑==−=−=222222
22222//((ˆ(ˆ(ˆ(ˆvar(iiiixuxxEEEEσβββββ标准差定义为
==2
2
2/var(ˆ(ixsdσββ(3.12
同理,有
22
1
2
22
1
ˆ(ˆvar(i
i
i
i
x
nX
sdx
nX=⇒=σβσβ
(3.13
总体方差和标准差2σσ是未知的,故需要用样本予以估计:
22222222222
22
ˆˆˆˆ(((ˆˆˆ((2((iiiiiiii
ii
iuyxxuxxuuxuxβββββββββ=−=+−−=−+−=−+−−−−∑
∑
∑
∑
ii
u[]
22222222222
ˆˆˆ((((2(((12(2iiiii
EuxEEuExunnββββσσσ=−+−−−−=
+−−=−∑∑∑∑2
σ
若定义
22
22ˆˆ2ˆ(i
unEσ
σ
σ=
−=(3.14
总体标准差的估计量为,2
ˆˆ2
−=nu
i
σ
(3.15
(1由∑可知,它与2σ正比,与=222
/ˆvar(ixσβ∑2ix反比。
因此,对于给定的,度量X值变化的2σ∑2ix越大,越小,说明ˆvar(2
β2β的估计越精确,因此我们假定X要有变异性。
另一方面,随着样本长度增加,∑变大(相对于小样本而言,从而使估计越精确。
同理分析2ix1β的方差。
(2/(ˆvar(ˆ,ˆcov(222
21∑−=−=ixσβββ(3.16
3.4.OLS估计量的性质:
高斯-马尔可夫定理
高斯--马尔可夫定理:
在给定经典线性回归模型的假定下,OLS估计量,在所有线性无偏估计量中,具有最小方差,即OLS估计量是最优线性无偏估计量(BLUE.
1.估计量关于Yi是线性的。
2222ˆ,(/iiiiiiiiii
xyxykykxxxxβ==≡=i∑∑
线性估计量有什么优点?
2.估计量是无偏的,即。
ˆ((1,2ii
Eiββ==
2222
ˆ(((((1,
(0iiiiiiiiiEEkxuEkukxEkuββββ=+=+===∑∑∑∵
3.在所有线性无偏估计量中具有最小方差(具有最小方差的估计量称为有效估计量。
2,1(ˆ=ii
β对任意的线性无偏估计量:
*2
ˆiiyβω=∑无偏性要求:
1i
ix
ω
ω==∑∑i
k{}{}*22
2
22222222
ˆvar(var((
(((/iiiiiiiiiiiiiiykkkkkkxβωσωσωωσωσ==−+=−++−=−+∑∑∑∑∑∑∑
要使方差最小,则iik
ω=。
无偏性是有限样本性质,一致性是大样本性质。
一致性:
ˆlim(
iipββ=
对无偏估计量而言,方差随样本增大趋于0,则一定是一致的。
所以,OLS估计量是一致估计量。
3.5.判定系数:
拟合优度的一个度量
1.度量拟合程度的一个指标——判定系数。
(22Rr方差分解:
222
22
22222ˆˆˆˆˆˆ2ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆ(iiiiiiiiiiiii
iiyy
uyyuy
uyuyu0i
xuyββ=+=++=
+==+=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∵∵x(3.17总平方和:
∑∑∑−=−==222((i
iiiiYYYyTSS(3.18所度量的是所有观测值(样本点与其均值(或总体均值,因为Y
=的总变异(Yi−,故称为总变异或总平方和,记为TSS。
解释平方和ESS:
∑∑∑∑=−=−==2
22
222ˆˆ(ˆ(ˆi
iiiiix
YYYyESSβ
(3.19
2
ˆ(∑−Yi
表示回归直线上的点与样本均值(等于总体均值的总离
差,因此它度量了回归直线与总体均值的“逼近”程度,故称为解释平方和,即在TSS(总变异中,由回归所解释的变异。
残差平方和RSS:
∑=2ˆiu
RSS(3.20
TSS=ESS+RSS(3.21
图3.3.Yi的总离差分解图
拟合优度的定义即是在总变异中,由回归所产生的变异占的比重
2
2
2
2
2(ˆ1
(
ˆ(∑∑−=−=−−==Y
u
TSSRSSYYTSS
ESS
ri
i
ii(3.22
显然,有。
102≤≤r∑∑∑−+=222221(iiiyryry
(
∑∑∑====22
2
2
222222ˆˆi
ii
ii
iiiyxyxyxyy
TSSESSrβ
注意:
(2
2
2
22ˆˆˆii
ii
i2i
yyyESSrTSSyy
y===∑(*根据这一表述,说明判定系数的本质含义是什么?
图示:
用园表示变异,r2的大小可直观表示为下图.
2.相关系数
X和Y的相关系数,度量这两个变量之间的线性相关程度,这是与拟合优度相关但不相同的一个概念。
定义:
X和Y之间的相关系数,定义为
−−−=
=
2
2
2
22222
(
(
((
((ii
ii
iiiii
i
i
iYY
nXX
nYXYXnyxyxr(3.22
这一相关系数称为样本相关系数。
我们前面所讲的拟合优度的意义是X的变异对Y的变异的解释程度,即r2=ESS/TSS
但相关系数r所度量的是线性相关程度,尽管它们之间的关系为r=±r2相关系数r的性质:
(1)1≤r≤1;
(2)对称性,即X与Y之间的相关系数等于Y与X之间的相关系数,rXY=rYX;(3)相关系数与原点和尺度无关,即rXY=rX*Y*其中X*=aX+c,Y*=bY+d,a>0,b>0,a,b,c,d为常数;(4)X与Y独立,则它们之间的相关系数为0,反之,不相关,即相关系数r=0不意味着它们独立;(5)相关系数r仅是线性相关(或线性相依的一个度量,不能用于度量非线性。
如X与Y之间有非线性关系Y=X2,即X与Y没有线性相关,故相关系数r=0;(6)相关系数不反应因果关系。
3.6例子消费函数与关于总体和样本的例子不同,本例研究总量个人消费支出(PCE,记为Y与GDP(度量总量收入,记为X的关系,数据P10(T3-2,基于消费16
理论,有Yi=β1+β2Xi+ui运用EVIEWS,估计,命令:
LS第一步,输入数据;第二步,根据所设定的模型进行YCX,产生回归结果;第三步,报告和分析回归结果.数据如图340032003000280026002400808182838485868788899091Y5000480046004400420040003800360080818283848586X8788899091Yi=231.8+0.719Xise(β1=94.53se(β2=0.022r2=0.9917
DependentVariable:
YMethod:
LeastSquaresDate:
09/05/04Time:
18:
31Sample:
19801991Includedobservations:
12VariableCXR-squaredCoefficient-231.7951035760.7194334726580.99094334525Std.Error94.52750.02174t-Statistic-2.452133.0780Prob.0.034131.5051e-112880.6314.44179.88159.962358975291094.160451791.50516803291e-11MeandependentvarS.D.dependentvarAkaikeinfocriterionSchwarzcriterionF-statisticProb(F-statisticAdjustedR-squared0.990037679775S.E.ofregressionSumsquaredresidLoglikelihoodDurbin-Watsonstat31.38487781599850.10555522-57.2892472021.28418254948本章要点:
BLUE的假定与估计性质,方差标准差及其估计性质,无偏估计,最优无偏估计,评价数据对模型的拟合优度18
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 计量 经济学 ch3 变量 回归 估计