第6节 圆锥曲线的综合问题.docx
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第6节圆锥曲线的综合问题
【选题明细表】
知识点、方法
题号
圆锥曲线间的综合问题
2、4、7、10
直线与圆锥曲线的综合问题
1、6、9、12、13
圆与圆锥曲线的综合问题
8、11、14、15、16、17
圆锥曲线与其他知识的综合
3、5
基础过关
一、选择题
1.(2014泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( B )
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:
直线与双曲线相切时,只有一个公共点,但直线与双曲线相交时,也可能有一个公共点,例如:
与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线只有一个交点.故选B.
2.已知双曲线
-
=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( A )
(A)
(B)4
(C)3(D)5
解析:
抛物线y2=12x的焦点是(3,0),
∴c=3,b2=c2-a2=5.
∴双曲线的渐近线方程为y=±
x,
焦点(3,0)到y=±
x的距离d=
.
故选A.
3.椭圆
+
=1(a>b>0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,D是它短轴上的一个端点,若3
=
+2
则该椭圆的离心率为( D )
(A)
(B)
(C)
(D)
解析:
设D(0,b),则
=(-c,-b),
=(-a,-b),
=(c,-b),
由3
=
+2
得-3c=-a+2c,
即a=5c,
∴e=
=
.
4.(2015海口调研)抛物线y2=-12x的准线与双曲线
-
=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于( A )
(A)3
(B)2
(C)2(D)
解析:
y2=-12x的准线方程为x=3,
双曲线
-
=1的渐近线为y=±
x.
设抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A、B,
由
求得A(3,
),同理B(3,-
),
所以|AB|=2
而O到直线AB的距离d=3,
故所求三角形的面积S=
|AB|×d=
×2
×3=3
.
5.(2014河南省中原名校模拟)设双曲线
-
=1(a>0,b>0),离心率e=
右焦点F(c,0),方程ax2-bx-c=0的两个实数根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)与圆x2+y2=8的位置关系( C )
(A)在圆内(B)在圆上
(C)在圆外(D)不确定
解析:
由e=
得a=b,故c=
a,
所以方程ax2-bx-c=0化为ax2-ax-
a=0,
即x2-x-
=0,
故x1+x2=1,x1·x2=-
.
+
=(x1+x2)2-2x1x2=12-2×(-
)=1+2
显然(1+2
)2=9+4
>8,
所以点P(x1,x2)在圆外.
6.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为
则
的值为( A )
(A)
(B)
(C)
(D)
解析:
设A(x1,y1),B(x2,y2),
中点为M(x0,y0),
将y=1-x代入ax2+by2=1,
得(a+b)x2-2bx+b-1=0,
故x1+x2=
x0=
∴y1+y2=2-
=
y0=
∴kOM=
=
=
.
二、填空题
7.设椭圆C1的离心率为
焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为 .
解析:
对于椭圆C1,a=13,c=5,曲线C2为双曲线,c=5,a=4,b=3,则标准方程为
-
=1.
答案:
-
=1
8.(2014哈师大附中模拟)双曲线C:
-
=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),以原点为圆心,c为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A,若此圆在A点处切线的斜率为
则双曲线C的离心率为 .
解析:
如图,由题知∠ABO=30°,
所以∠AOB=60°,OA=c,
设A(x0,y0),
则x0=-c·cos60°=-
y0=csin60°=
c,
由双曲线定义知
2a=
-
=(
-1)c,
∴e=
=
+1.
答案:
+1
9.(2014太原五中模拟)直线l过椭圆
+y2=1的左焦点F,且与椭圆相交于P、Q两点,M为PQ的中点,O为原点.若△FMO是以OF为底边的等腰三角形,则直线l的方程为 .
解析:
法一 由椭圆方程得a=
b=c=1,则F(-1,0).
在△FMO中,|MF|=|MO|,
所以M在线段OF的中垂线上,
即xM=-
设直线l的斜率为k,则其方程为y=k(x+1),
由
得x2+2k2(x+1)2-2=0,
即(2k2+1)x2+4k2x+2(k2-1)=0,
∴xP+xQ=
而M为PQ的中点,
故xM=
(xP+xQ)=
=-
∴k2=
解得k=±
.
故直线l的方程为y=±
(x+1),
即x±
y+1=0.
法二 设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),
由题意知kPQ=-kOM,
由P、Q在椭圆上知
两式相减整理得kPQ=
=-
=-
而kOM=
故
=
即
=2
所以kPQ=±
直线PQ的方程为y=±
(x+1),
即x±
y+1=0.
答案:
x±
y+1=0
10.(2014高考山东卷)已知双曲线
-
=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为 .
解析:
抛物线x2=2py的准线方程为y=-
与双曲线的方程联立得x2=a2(1+
),
根据已知得a2(1+
)=c2,①
由|FA|=c,得
+a2=c2,②
由①②可得a2=b2,即a=b,所以所求双曲线的渐近线方程是y=±x.
答案:
y=±x
三、解答题
11.如图,等边三角形OAB的边长为8
且其三个顶点均在抛物线E:
x2=2py(p>0)上.
(1)求抛物线E的方程;
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.
(1)解:
依题意,|OB|=8
∠BOy=30°.
设B(x,y),则x=|OB|sin30°=4
y=|OB|cos30°=12.
因为点B(4
12)在x2=2py上,
所以(4
)2=2p×12,解得p=2.
故抛物线E的方程为x2=4y.
(2)证明:
由
(1)知y=
x2,y′=
x.
设P(x0,y0),则x0≠0,y0=
且l的方程为
y-y0=
x0(x-x0),即y=
x0x-
.
由
得
所以Q为
.
设M(0,y1),令
·
=0对满足y0=
(x0≠0)的x0,y0恒成立.
由于
=(x0,y0-y1),
=
由
·
=0,
得
-y0-y0y1+y1+
=0,
即(
+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)
由于(*)式对满足y0=
(x0≠0)的y0恒成立,
所以
解得y1=1.
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).
12.(2014长葛三模)已知圆C1的圆心的坐标原点O,且恰好与直线l1:
x-2y+3
=0相切,点A为圆上一动点,AM⊥x轴于点M,且动点N满足
=
+(1-
)
设动点N的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)直线l与直线l1垂直且与曲线C交于B、D两点,求△OBD面积的最大值.
解:
(1)设动点N(x,y),A(x0,y0),
因为AM⊥x轴于M,
所以M(x0,0),
设圆C1的方程为x2+y2=r2,
由题意得r=
=3,
所以圆C1的方程为x2+y2=9.
由题意,
=
+(1-
)
所以(x,y)=
(x0,y0)+(1-
)(x0,0),
所以
即
将A(x,
y)代入x2+y2=9,
得动点N的轨迹方程为
+
=1.
(2)由题意可设直线l:
2x+y+m=0,
设直线l与椭圆
+
=1交于B(x1,y1),D(x2,y2),
联立方程
得13x2+12mx+3m2-9=0,
Δ=144m2-13×4(3m2-9)>0,
解得m2<39.
又∵点O到直线l的距离d=
BD=
·|x1-x2|=
·
∴S△OBD=
·
·
·
=
=
≤
(当且仅当m2=39-m2,即m2=
时取到最大值).
∴△OBD面积的最大值为
.
能力提升
13.(2014高考辽宁卷)已知点A(-2,3)在抛物线C:
y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( D )
(A)
(B)
(C)
(D)
解析:
∵A(-2,3)在抛物线y2=2px的准线上,
∴-
=-2,
∴p=4,
∴y2=8x,
设直线AB的方程为x=k(y-3)-2,①
将①与y2=8x联立,
即
得y2-8ky+24k+16=0,②
则Δ=(-8k)2-4(24k+16)=0,
即2k2-3k-2=0,
解得k=2或k=-
(舍去),
将k=2代入①②解得
即B(8,8),
又F(2,0),
∴kBF=
=
.
故选D.
14.过双曲线
-
=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若T为线段FP的中点,则该双曲线的渐近线方程为 .
解析:
如图所示,设双曲线的另一个焦点为F′,连接OT、PF′.
∵FT为圆的切线,
∴FT⊥OT,且|OT|=a,
又∵T、O分别为FP、FF′的中点,
∴OT∥PF′且|OT|=
|PF′|,
∴|PF′|=2a,
且PF′⊥PF.
又|PF|-|PF′|=2a,
∴|PF|=4a.
在Rt△PFF′中,|PF|2+|PF′|2=|FF′|2,
即16a2+4a2=4c2,∴
=5.
∴
=
-1=4,∴
=2,
即渐近线方程为y=±2x,
即2x±y=0.
答案:
2x±y=0
15.(2014保定二模)设椭圆E:
+
=1(a>b>0)的离心率为e=
且过点(-1,-
).
(1)求椭圆E的方程;
(2)设椭圆E的左顶点是A,若直线l:
x-my-t=0与椭圆E相交于不同的两点M、N(M、N与A均不重合),若以MN为直径的圆过点A,试判定直线l是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标.
解:
(1)由e2=
=
=
可得a2=2b2,
则椭圆E的方程为
+
=1(a>b>0),
代入点(-1,-
)可得b2=2,a2=4,
故椭圆E的方程为
+
=1.
(2)由x-my-t=0得x=my+t,把它代入E的方程得
(m2+2)y2+2mty+t2-4=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
y1+y2=-
y1y2=
x1+x2=m(y1+y2)+2t=
x1x2=(my1+t)(my2+t)
=m2y1y2+tm(y1+y2)+t2
=
.
因为以MN为直径的圆过点A,
所以AM⊥AN,
所
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