小学奥数基础汇总.docx
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小学奥数基础汇总
第一章数的认识
1、数的意义
一、整数的分类和意义
正整数
自然数
整数0
负整数
1、整数:
像-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,……这样的数统称为整数。
整数的个数是无限的,没有最小的整数,也没有最大的整数。
2、正整数和负整数:
像1,2,3,……这样的数叫做正整数,像-1,-2,-3,……这样的数叫做负整数。
0既不是正整数,也不是负整数。
正整数都大于0,负整数都小于0。
3、0:
数物体的时候,如果一个物体也没有,就用“0”表示。
0可以表示正负数的分界;0可以表示起点(如零刻度);计数时0起占位作用。
最小的一位数是1而不是0。
4、自然数:
我们在数物体的时候,用来表示物体个数的0,1,2,3,……叫做自然数。
0是最小的自然数。
自然数的个数是无限的。
没有最大的自然数。
二、小数的意义和性质
1、小数的意义:
把一个整体(或单位“1”)平均分成10份、100份、1000份、……这样的1份或几份是十分之一、百分之一、千分之一、……或十分之几、百分之几、千分之几、……也可以用小数来表示。
2、小数的分类
有限小数:
如3.2,2.37,1.78954等。
按数位分纯循环小数:
如1.373737……,2..3.2等。
无限循环小数
无限小数混循环小数:
如6.93737……,2.40.3.2等。
无限不循环小数:
如6.367921……,1.58632……,π等。
纯小数:
如0.2,0.45,0.376,……等。
按整数部分分
带小数(混小数):
如3.47,1.003,4.5,……等。
(1)有限小数:
小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数。
(2)无限小数:
小数部分的数位是无限的小数,叫做无限小数。
(3)纯小数:
整数部分是零的小数叫做纯小数。
纯小数小于1。
(4)带小数:
整数部分不是零的小数叫做带小数。
带小数大于1或等于1。
(5)循环小数:
一个小数,从小数部分的某一位起,一个数字或者几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫做循环小数。
循环小数都是无限小数。
(6)循环节:
一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字,叫做这个循环小数的循环节。
(7)纯循环小数:
循环节从小数部分第一位开始的小数,叫做纯循环小数。
(8)混循环小数:
循环节不是从小数部分第一位开始的小数,叫做混循环小数。
3、小数的基本性质
小数的末尾添上“0”或者去掉“0”,小数的大小不变。
这叫做小数的基本性质。
4、小数点位置的移动引起小数大小变化的规律:
小数点向右移动一位,原来的数扩大10倍,小数点向右移动两位,原来的数扩大100倍,小数点向右移动三位,原来的数扩大1000倍,……。
小数点向左移动一位,缩小到原数的十分之一,小数点向左移动两位,缩小到原数的百分之一,小数点向左移动三位,缩小到原数的千分之一,……。
三、分数的意义和性质
1、分数的意义:
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数,叫做分数。
在分数里,表示把单位“1”平均分成多少份的数,叫做分数的分母;表示取了多少份的数,叫做分数的分子;其中一份的数,叫做分数单位。
2、分数的分类:
真分数:
分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
如
……。
真分数小于1。
假分数:
分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。
如
……。
假分数大于或等于1。
带分数:
假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。
如3
5
……。
它是大于1的假分数的另一种表现形式。
3、分数与除法的关系
在分数里,分子相当于除法算式中的被除数,分母相当于除数,分数线相当于除号,分数值相当于商。
被除数÷除数=
因为零不能作除数,所以分数的分母也不能为零。
4、分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数,分数的大小不变。
四、百分数的意义
1、百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。
也叫做百分率或百分比。
百分数通常用“﹪”表示。
百分数的分数单位是1﹪。
2、百分数和分数的关系:
分数既可以表示一个数,也可以表示两个数的比,而百分数只表示一个数占另一个的百分比,不能用来表示具体数。
因此,百分数是一种特殊的分数,绝不能有单位名称。
分数可以有单位名称。
五、正负数的认识
1、大于0的数叫正数。
2、小于0的数叫负数。
3、正负数是表示两种具有相反意义的量,比如生活中的收入与支出,0上温度和0下温度等。
2、数的读、写和改写
一、数位的顺序
1、计数单位:
个、十、百、……以及十分之一、百分之一、……都是计数单位。
2、数位:
各个计数单位所占的位置,叫做数位。
数位是按一定的顺序排列的。
3、整数和小数的数位顺序表
二、数的读法和写法
1、整数的读法和写法
(1)整数的读法:
从高位起,一级一级地读。
读亿级、万级时,先按照个级的读法去读,再在后面读一个“亿”字或“万”字。
读个级时,千位上是几就读几千,百位上是几就读几百,十位上是几就读几十,个位上是几就读几。
中间有一个0或连续有几个0,只读一个0,每级末尾的0都不读。
(2)、整数的写法:
从高位到低位,一级一级地往下写,那个数位上有几个计数单位,就在那个数位上写几,那个数位上一个计数单位都没有,就在哪一位上写0。
2、小数的读法和写法
(1)读法:
读小数时,整数部分按照整数的读法来读,小数点读作“点”,小数部分依次读出每个数位上的数字。
(2)写法:
整数部分按照整数的写法来写,小数部分依次写出每个数位上的数字。
3、分数的读法和写法
(1)读法:
读分数时,先读分母,再读“分之”,最后读分子。
读带分数时,先读整数部分,再读“又”字,最后读分数部分。
(2)写法:
写分数时,先写分数线,再写分母,最后写分子。
写带分数时,先写整数部分,再写分数部分,整数部分要对准分数线。
4、百分数的读法和写法
读百分数时,先读“百分之”,再度百分号前面的数。
写百分数时,百分数通常不写成分数形式,而是在原来的分子后面添上百分号“﹪”。
5、正数和负数的读写方法
(1)、正数的读写:
在数字(0除外)前面没有“+”或“-”的数和前面有“+”的数读作“正几”。
写正数时,前面写“+”或省略不写。
(2)、负数的读写:
在数字(0除外)前面没有“-”的数读作“负几”。
写负数时,前面写“-”。
三、数的改写
1、把一个数改写成用“万”或“亿”作单位的数,只要在“万位”或“亿位”的右下角打上小数点,把小数末尾的0去掉,同时添上“万”字或“亿”字。
中间用“=”连接。
四、近似数
1、省略尾数求近似数:
把一个数省略“万位”或“亿位”后面的尾数取近似数时,只要在“万位”或“亿位”的右下角打上小数点,用“四舍五入法”保留整数,同时添上“万”字或“亿”字。
中间用“≈”连接。
2、求小数的近似数:
根据要求,要把小数保留到哪一位,就把这一位后面的尾数按照“四舍五入”法省略,中间用“≈”连接。
保留整数,表示精确到个位;保留一位小数,表示精确到十分位;保留两位小数,表示精确到百分位;保留三位小数,表示精确到千分位;……
五、分数、小数和百分数之间的互化
判断一个分数能不能化成有限小数的方法:
要看这个分数是不是最简分数,如果是最简分数,就要看其分母中含有哪些质因数,如果分母中只含有质因数2和5,这个分数就能化成有限小数,如果分母中含有2和5以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。
3、数的大小比较
一、比较整数的大小:
比较正整数的大小,位数多的那个数就大;如果位数相同,就看最高位,最高位数字大的那个数就大。
最高位的数字也相同,就看下一位,哪一位上的数字大,那个数就大。
二、比较小数的大小:
比较小数的大小,先看他们的整数部分,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,十分位的数大的那个数就大;十分位也相同的,百分位的数大的那个数就大;……
三、比较分数的大小:
分母相同的分数,分子大的分数就大。
分子相同的分数,分母大的分数反而小;分子、分母都不相同的,先通分,再比较大小。
四、比较百分数的大小:
比较百分数的大小,只要比较百分号前面的数,哪个大,哪个百分数就大。
五、整数、小数、分数、百分数之间的比较:
先把分数、百分数化成小数,再和整数、小数一起进行比较。
排序时,要用原来的数进行排列。
六、比较正数、负数的大小:
1、正数>0>负数
2、两个负数比较大小,数值大的反而小。
4、数的整除
一、整除和除尽的意义
1、整除:
整数ɑ除以整数b(b≠0),除得的商正好是整数而没有余数,我们就说ɑ能被b整除,或者说b能整除ɑ。
2、除尽:
两个数相除,所得的商是整数或有限小数,而没有余数,就是除尽。
3、整除一定是除尽,除尽不一定是整除。
4、数的整除,一般不包括“0”。
二、因数和倍数
1、因数和倍数的意义:
如果数ɑ能被数b整除,ɑ就叫做b的倍数,b就叫做ɑ的因数(也叫做约数)。
因数和倍数是相互依存的。
2、因数和倍数的特点
(1)、一个数的因数(约数)的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
(2)、一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。
没有最大的倍数
(3)、一个数既是它的因数,又是他的倍数。
三、能被2、5、3整除的数的特征
1、能被2整除的数的特征:
个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。
能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数。
2、能被5整除的数的特征:
个位上是0或者5的数都能被5整除。
3、能被3整除的数的特征:
一个数各个数位上的数字的和能被3整除,这个数就能被3整除。
4、同时能被2、5、3整除的数的特征:
一个数的个位是0,各位上的数字的和能被3整除,这个数就能同时被2、5、3整除。
四、质数、合数、分解质因数1、判断一个数是质数还是合数的方法:
一个数只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数(也叫素数)。
一个数除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数。
1不是质数也不是合数。
2、分解质因数:
(1)质因数:
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数。
(2)分解质因数:
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
(3)分解质因数的方法:
把一个合数分解质因数,用能整除这个合数的质数(通常从最小的开始)连续去除,一直除到最后的商是质数为止,然后把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。
五、最大公因数、最小公倍数:
1、最大公因数:
(1)、几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数。
(2)、求几个数的最大公因数的方法:
方法一:
求几个数的最大公因数,用这几个数的公因数(通常从最小的质数开始)连续去除,一直除到这几个数只有公因数1为止,然后把所有的除数连乘起来。
方法二:
先把每个数分解质因数,然后把公有的质因数连乘起来。
(3)、互质数:
公因数只有1的两个数叫做互质数。
(4)、成互质关系的两个数,有下列几种情况:
①、1和任何自然数互质。
②、相邻的两个自然数互质。
③、两个不同的质数互质。
④、当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。
⑤、两个合数的公约数只有1时,这两个合数互质,如果几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质。
⑥、如果较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公因数。
如果两个数是互质数,它们的最大公因数就是1。
2、最小公倍数:
(1)、几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数
的最小公倍数。
(2)、求几个数的最小公倍数的方法:
①、如果两个数是互质数,那么它们的最小公倍数就是它们的乘积。
②、如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
③、求几个数的最小公倍数的方法:
方法一:
求几个数的最小公倍数,用这几个数公有的质因数(通常从最小的开始)连续去除,一直除到每两个数都是互质数为止,然后把所有的除数和最后的商连乘起来。
方法二:
先把每个数分解质因数,然后把公有的质因数和各自独有的质因数连乘起来。
(3)、几个数的公因数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。
第二章数的运算
一、四则运算的意义
1、加法的意义:
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
在加法里,相加的数叫做加数,加得的数叫做和。
加数是部分数,和是总数。
2、减法的意义:
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫做减法。
在减法里,已知的和叫做被减数,已知的加数叫做减数,未知的加数叫做差。
被减数是总数,减数和差分别是部分数。
加法和减法互为逆运算。
3、乘法的意义:
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
在乘法里,相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。
相同加数的和叫做积。
在乘法里,0和任何数相乘都得0。
1和任何数相乘都的任何数。
一个数乘分数,就是求这个数的几分之几是多少。
4、减法的意义:
已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做除法。
在除法里,已知的积叫做被除数,已知的一个因数叫做除数,所求的因数叫做商。
在除法里,0不能做除数。
这是因为0和任何数相乘都得0,所以任何一个数除以0,均得不到一个确定的商。
乘法和除法互为逆运算。
二、四则运算的法则
1、整数四则运算的法则
(1)、整数加法计算法则:
相同数位对齐,从最低位加起,哪一位上的数相加满十,就向前一位进一。
(2)、整数减法计算法则:
相同数位对齐,从最低位减起,哪一位上的数不够减,就从它的前一位退一作十,和本位上的数合并在一起,再减。
(3)、整数乘法计算法则:
先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数,用因数哪一位上的数去乘,乘得的数的末尾就对齐哪一位,然后把各次乘得的数加起来。
(4)、整数除法计算法则:
先从被除数的最高位除起,除数是几位数,就看被除数的前几位;如果不够除,就多看一位,除到被除数的哪一位,商就写在哪一位的上面。
如果哪一位上不够商1,要补“0”占位。
每次除得的余数必须比除数小。
(5)有余数除法的检验方法:
商×除数+余数=被除数
2、小数四则运算的法则
(1)小数加减法的计算法则:
计算小数加减法,要把小数点对齐,也就是相同数位对齐,然后按照整数加减法的法则进行计算。
得数的小数点要和横线上各数的小数点对齐。
(2)小数乘法计算法则:
先按照整数乘法的计算法则算出积,再看因数中一共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点,位数不够时,就用“0”补足。
(3)小数除法计算法则:
①、除数是整数的小数除法计算法则:
先按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添“0”,再继续除。
②、除数是小数的除法计算法则:
先移动除数的小数点,使它变成整数,除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移动几位(位数不够的补“0”),然后按照除数是整数的除法法则进行计算。
3、分数四则运算的法则
(1)、同分母分数加减法计算方法:
同分母分数相加减,只把分子相加减,分母不变。
(2)、异分母分数加减法计算方法:
异分母分数相加减,先通分,然后按照同分母分数加减法的法则进行计算。
根据分数的基本性质,把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母分数,叫做通分。
通分方法:
先求出原来几个分数分母的最小公倍数作为公分母,然后根据分数的基本性质把每个分数化成用公分母作分母的分数。
(3)、带分数加减法的计算方法:
整数部分和分数部分分别相加减,再把所得的数合并起来。
(4)、分数乘法的计算法则:
分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变;分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母;能约分的要约分。
整数可以看成分母是1的分数。
(5)、分数除法的计算法则:
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
乘积是1的两个数互为倒数。
求一个数的倒数的方法:
求一个数的倒数,只要把这个数的分子、分母调换位置就可以了。
(6)、四则运算顺序:
加法、减法、乘法和除法统称四则运算。
加减法是第一级运算,乘除法是第二级运算。
在没有括号的算式里,如果只有加、减法或者只有乘、除法,都要按从左往右的顺序进行计算;有乘、除法又有加、减法,要先算乘、除法,再算加减法;算式里有括号,要先算括号里面的。
三、文字题的列式要点:
用语言文字表达,由数学术语和数字编成的数学题目,叫做文字题。
解文字题正确列式的关键是理解数学术语。
常用的数学术语是“的”字结构。
主要有一下几种类型:
1、“甲”与“乙”的和;列式:
甲+乙=和
2、“甲”与“乙”的差;列式:
大数-小数=差
3、“甲”与“乙”的积;列式:
甲×乙=积
4、“甲”除“乙”的商;列式:
乙÷甲=商
5、“甲”除以“乙”的商;列式:
甲÷乙=商
6、“和”乘“差”;列式:
(和)×(差)=积
7、“积”减去“商”;列式:
积-商=差
8、甲是乙的x倍;(意思是甲相当于x个乙。
把甲平均分成x份,每份等于乙。
求甲列式:
乙×x=甲;求乙列式:
甲÷x=乙)。
9、甲比乙的x倍多n;求甲列式:
乙×x+n=甲,求乙列式:
(甲—n)÷x=乙
10、甲比乙的x倍少n;求甲列式:
乙×x-n=甲,求乙列式:
(甲+n)÷x=乙
二、运算定律和简便运算
(一)、运算定律和性质
交换律
结合律
分配率
运算性质
加法
两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。
用字母表示:
a+b=b+a
三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再和第一个数相加,它们的和不变。
用字母表示:
(a+b)+c=a+(b+c)
减法
从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去这几个数的和,差不变。
用字母表示:
a-b-c=a-(b+c)
乘法
两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。
用字母表示:
a×b=b×a
三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘第三个数;或者先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变。
用字母表示:
(a×b)×c=a×(b×c)
两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘,再把两个积相加。
用字母表示:
(a+b)×c=a×c+b×c
除法
一个数连续除以几个数,等于这个数除以这几个除数的积。
用字母表示:
a÷b÷c=a÷(b×c)
(二)简便运算
1、能用运算定律和性质进行简算的,要写出运用过程。
2、根据算式具体情况怎样算又对又快就怎样算。
第三章常见的量
一、长度、面积、地积、体积、容积单位之间的进率
1、长度单位:
1千米=1000米1米=10分米=100厘米1分米=10厘米1厘米=10毫米
2、面积单位:
面积单位的规定:
边张1厘米的正方形,面积是1平方厘米
边张1分米的正方形,面积是1平方分米
边张1米的正方形,面积是1平方米
单位进率:
面积
地积
1平方千米=1000000平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1平方厘米=100平方毫米
1平方千米=100公顷
1公顷=10000平方米
10010010000100
平方厘米平方分米平方米公顷平方千米
3、体积(容积)单位:
体积单位的规定:
棱长1厘米的正方体,体积是1立方厘米
棱长1分米的正方体,体积是1立方分米
棱长1米的正方体,体积是1立方米
单位进率:
体积
容积
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1立方厘米=1000立方毫米
1升=1000毫升
1升=1立方分米
1毫升=1立方厘米
二、常用质量单位和它们之间的进率:
1吨=1000千克1千克=1000克
10001000
克千克吨
三、常用时间单位和它们之间的进率:
1世纪=100年
1年=12个月(1、3、5、7、8、10、12是大月,每月有31天;4、6、9、11是小月,每月有30天;2月平年有28天,闰年有29天。
一般公历年份是4的倍数的都是闰年,但公历年份是整百数的,是400的倍数才是闰年))。
1日=24时1时=60分1分=60秒
计时法:
通常有两种,一种是普通计时法,一种是24时计时法。
四、人民币的单位与进率:
1元=10角1角=10分
五、体积与容积之间的区别和联系
它们的概念不同,体积是物体所占空间的大小,跟物体的外形大小有关,跟物体的内部形状无关;容积则是指容器所能容纳物体的体积,跟容器的内部形状有关,跟容器的外形无关。
它们都可以用来空间的大小,都以体积单位为通用的计量单位,在计量液体的体积是时,一般用特定的容积单位“升”或“毫升”。
六、名数的改写方法:
(一看单位,二想进率)
1、把高级单位的名数改写成低级单位的名数:
看高单位的数量是几,就有几个进率,用乘法计算。
2、把低级单位的名数改写成高级单位的名数:
看低级单位的数量可以分成几个进率,用除法计算。
第四章代数初步知识
1、用字母表示数
一、用字母表示数的意义
用字母表示数,既简单明了,又能表达数量关系的一般规律,为研究和解决实际问题带来很大的方便。
二、用字母表示数的规则:
在含有字母的式子里,数字和字母、字母和字母中间的乘号可以记作“·”或者省略不写,在省略乘号的时候,应当把数字写在字母的前面。
2、简易方程
一、等式:
表示两个相等关系的式子。
二、方程:
含有未知数的等式叫做方程。
三、方程与等式的关系:
方程是等式,但等式不一定是方程。
四、方程的解:
使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
五、解方程:
求方程的解的过程,叫做解方程。
六、解方程的依据:
1、加、减、乘、除各部分之间的关系
一个加数=和-另一个加数
被减数=差+减数减数=被减数–差
一个因数=积÷另一个因数
被除数=商×除数除数=被除数÷商
2、等式的性质:
性质一:
等式两边同时加上(或减去)相同的数,所得的结果仍是等式。
性质二:
等式两边同时乘(或除以)相同的数(0除外),所得的结果仍是等式。
3、比和比例
一、比的意义和性质
1、比的意义:
两个数相除又叫做两个数的比。
2、比的写法和读法:
表示数a与数b的比,写作a:
b或
“:
”是比号,读作
“比”。
3、前项、后项、比值:
比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商叫做比值。
比的后项不能为0。
4、比、分数、除法三者的关系:
5、比的基本性质:
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
6、最简整数比:
比的前项和后项是互质数,这个比就是最简整数比。
7、化简比:
根据比的基本性质,把一个比成与它相等的最简整数比,叫做化简比。
8、化简比的方法:
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),使前项和后项只有公因数1。
二、比的应用
1、比例尺:
图上距离与和它相对应的实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。
即:
图上距离︰实际距离=比例尺或
=比例尺
常用的比例尺有数字比例尺和线段比例尺两种。
求比例尺的方法一般是:
(1)写出图上距离和实际距离
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