数学新教材人教A版必修第一册453 函数模型的应用 作业.docx
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数学新教材人教A版必修第一册453函数模型的应用作业
4.5.3 函数模型的应用
必备知识基础练
知识点一
指数函数、对数函数模型
1.某单位职工工资经过六年翻了三番,则每年比上一年平均增长的百分率是( )
(下列数据仅供参考:
=1.41,
=1.73,
=1.44,
=1.38)
A.38%B.41%
C.44%D.73%
2.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t=-144lg
中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数.则当N=40时,t=________.(已知lg5≈0.699,lg3≈0.477)
知识点二
已知函数模型的应用问题
3.小明的父亲饭后出去散步,从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后,用20分钟返回家里,下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( )
4.某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少
,则使产品达到市场要求的最少过滤次数为(参考数据:
lg2≈0.301,lg3≈0.477)( )
A.10B.9
C.8D.7
知识点三
建立拟合函数模型解决实际问题
5.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
时间
1
2
3
4
利润(千元)
2
3.98
8.01
15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型,应是下列函数中的( )
A.y=log2xB.y=2x
C.y=x2D.y=2x
6.某汽车制造商在2019年初公告:
公司计划2019年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示:
年份
2016
2017
2018
产量
8(万)
18(万)
30(万)
如果我们分别将2016、2017、2018、2019定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型:
二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系?
关键能力综合练
一、选择题
1.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=mlog2(x+1),设这种动物第一年有200只,到第7年它们发展到( )
A.300只B.400只
C.500只D.600只
2.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则x,y的函数关系是( )
A.y=(0.9576)
B.y=(0.9576)100x
C.y=
xD.y=1-(0.0424)
3.某人2013年1月1日到银行存入a元,年利率为x,若按复利计算,则到2018年1月1日可取款( )
A.a(1+x)5元B.a(1+x)4元
C.[a+(1+x)5]元D.a(1+x5)元
4.某个体企业的一个车间去年有8名工人,每人年薪为1万元,从今年起,计划每人的年薪比上一年增加20%;另外,每年新招3名工人,每名新工人第一年的年薪为8千元,第二年起与老工人的年薪相同.若以今年为第一年,那么,将第n年企业付给工人的工资总额y(单位:
万元)表示成n的函数,其表达式为( )
A.y=(3n+5)×1.2n+2.4
B.y=8×1.2n+2.4n
C.y=(3n+8)×1.2n+2.4
D.y=(3n+5)×1.2n-1+2.4
5.(易错题)某城市出租车起步价为10元,最远可租乘3km(含3km),以后每1km增加1.6元(不足1km按1km计费),则出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为( )
6.衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进去的新丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为:
V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为
a.若一个新丸体积变为
a,则需经过的天数为( )
A.125B.100
C.75D.50
二、填空题
7.某化工厂2018年的年产量是2010年年产量的n倍,则该化工厂这几年的年平均增长率是________.
8.现测得(x,y)的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型,甲:
y=x2+1,乙:
y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用________作为函数模型.
9.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的专家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为v=5log2
(m/s),其中q表示燕子的耗氧量,则燕子静止时的耗氧量为________.当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时,其速度是________.
三、解答题
10.(探究题)一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少需保留原面积的
,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的
.
(1)求每年砍伐面积的百分比;
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
(3)今后最多还能砍伐多少年?
学科素养升级练
1.(多选题)对于定义域为D的函数f(x),若存在区间[m,n]⊆D,同时满足下列条件:
①f(x)在[m,n]上是单调的;②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n],则称[m,n]为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是( )
A.f(x)=x3B.f(x)=3-
C.f(x)=ex-1D.f(x)=lnx+2
2.某公司为了实现1000万元的利润目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:
销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且资金数额y(单位:
万元)随销售利润x(单位:
万元)的增加而增加,但奖金数额不超过5万元,同时资金数额不超过利润的25%,其中下列模型中能符合公司要求的是________.(参考数据:
1.003600≈6,lg7≈0.845)
①y=0.025x;②y=1.003x;③y=1+log7x;
④y=
x2.
3.(学科素养—数据分析)某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现:
该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(百元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)=1+
(k为正常数).日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的部分数据如下表所示:
x(天)
10
20
25
30
Q(x)(件)
110
120
125
120
已知第10天的日销售收入为121百元.
(1)求k的值;
(2)给出以下四种函数模型:
①Q(x)=ax+b,②Q(x)=a|x-25|+b,③Q(x)=a·bx,④Q(x)=a·logbx.请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的关系,并求出该函数的解析式;
(3)求该服装的日销售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N+)(百元)的最小值.
4.5.3 函数模型的应用
必备知识基础练
1.解析:
设年平均增长率为p,由题意得(1+p)6=23,1+p=
=1.41,∴p=0.41.故选B.
答案:
B
2.解析:
当N=40时,t=-144lg
=-144lg
=-144(lg5-2lg3)≈36.72.
答案:
36.72
3.解析:
20至30分钟时距离没有变化.故选D.
答案:
D
4.解析:
设经过n次过滤,产品达到市场要求,则
×
n≤
,即
n≤
,由nlg
≤-lg20,即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥
≈7.4,所以选C.
答案:
C
5.解析:
把x=1,2,3,4代入,只有y=2x的值最接近表格中的对应值.
答案:
B
6.解析:
建立年销量y与年份x的函数,可知函数必过点(1,8),(2,18),(3,30).
①构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
将点坐标代入,
可得
解得a=1,b=7,c=0,
则f(x)=x2+7x,
故f(4)=44,与计划误差为1.
②构造指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),
将点坐标代入,可得
解得a=
,b=
,c=-42,
则g(x)=
·
x-42,
故g(4)=
·
4-42=44.4,与计划误差为1.4.
由①②可得,f(x)=x2+7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系.
关键能力综合练
1.解析:
由已知第一年有200只,得m=200.将m=200,x=7代入y=mlog2(x+1),得y=600.
答案:
D
2.解析:
设镭一年放射掉其质量的t%,则有95.76%=1·(1-t%)100,1-t%=(0.9576)
,∴y=(1-t%)x=(0.9576)
.
答案:
A
3.解析:
2013年1月1日到银行存入a元,到2014年1月1日本息共a(1+x)元,作为本金转入下一个周期,到2015年1月1日本息共a(1+x)(1+x)=a(1+x)2元,因此,到2018年1月1日可取款a(1+x)5元,故选A.
答案:
A
4.解析:
第一年企业付给工人的工资总额为1×1.2×8+0.8×3=9.6+2.4=12(万元),而对于4个选项而言,当n=1时,C,D相对应的函数值均不为12,故可排除C,D.再考虑第二年企业付给工人的工资总额,第二年有11个老工人,3个新工人,工资总额为(11×1.22+2.4)万元,故选A.
答案:
A
5.解析:
出租车起步价为10元(最远3km的行程),即在(0,3]内对应y值为10,以后每1km增加1.6元,故选C.
答案:
C
6.解析:
依题意,
a=a·e-50k,∴e-k=
.设经过t1天后,一个新丸体积变为
a,则
a=a·e
,∴
=(e-k)
=
,∴
t1=
,即t1=75.
答案:
C
7.解析:
设2010年年产量是a,则2018年年产量是na,设年平均增长率为x,则na=a(1+x)8,解得x=
-1.
答案:
-1
8.解析:
将x=3分别代入y=x2+1及y=3x-1中,得y=32+1=10,y=3×3-1=8.由于10更接近10.2,所以选用甲模型.
答案:
甲
9.解析:
由题意,燕子静止时v=0,即5log2
=0,解得q=10;当q=80时,v=5log2
=15(m/s).
答案:
10 15m/s
10.解析:
(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0 则a(1-x)10= a,即(1-x)10= , 解得x=1- . (2)设经过m年剩余面积为原来的 ,则 a(1-x)m= a,即 = , = , 解得m=5, 故到今年为止,已砍伐了5年. (3)设从今年开始,以后砍了n年. 则n年后剩余面积为 a(1-x)n. 令 a(1-x)n≥ a,即(1-x)n≥ , ≥ , ≤ ,解得n≤15. 故今后最多还能砍伐15年. 学科素养升级练 1.解析: 由题意,函数在“和谐区间”上单调递增,且满足f(x)=x至少有两个解,对于A选项,函数f(x)=x3在定义域R上单调递增,且x3=x有解-1,0,1,满足条件,故正确;对于B选项,函数f(x)=3- 在(0,+∞)上单调递增,且3- =x有解1,2,满足条件,故正确;对于C选项,函数f(x)=ex-1在定义域上单调递增,但ex-1=x只有一个解0,不满足条件,故错误;对于D选项,函数f(x)=lnx+2在(0,+∞)上单调递增,显然函数f(x)=lnx+2与函数y=x在(0,+∞)上有两个交点,即lnx+2=x有两个解,满足条件,故正确.故选ABD. 答案: ABD 2.解析: 由题意知,符合公司要求的模型只需满足: 当x∈[10,1000]时, (ⅰ)函数为增函数; (ⅱ)函数的最大值不超过5; (ⅲ)y≤x·25%= x, ①中,函数y=0.025x,易知满足(ⅰ),但当x>200时,y>5不满足公司要求; ②中,函数y=1.003x,易知满足(ⅰ),但当x>600时,y>5不满足公司要求; ③中,函数y=1+log7x,易知满足(ⅰ),且当x=1000时,y取最大值1+log71000=1+ <5,且1+log7x≤ x恒成立,故满足公司要求; ④中,函数y= x2,易知满足(ⅰ),但当x=400时,y>5不满足公司要求. 答案: ③ 3.解析: (1)依题意知第10天的日销售收入为 P(10)·Q(10)= ×110=121,解得k=1. (2)由表中的数据知,当时间变化时,日销售量有增有减并不单调,故只能选②Q(x)=a|x-25|+b. 从表中任意取两组值代入可求得Q(x)=125-|x-25|(1≤x≤30,x∈N+),经检验,其他数据也符合该解析式,故该函数的解析式为Q(x)=125-|x-25|(1≤x≤30,x∈N+). (3)由 (2)知 Q(x)=125-|x-25|= ∴f(x)=P(x)·Q(x)= 当1≤x<25时,y=x+ 在[1,10]上是减函数,在[10,25)上是增函数,所以当x=10时,f(x)取得最小值,且f(x)min=121; 当25≤x≤30时,y= -x为减函数,所以当x=30时,f(x)取得最小值,且f(x)min=124. 综上所述,当x=10时,f(x)取得最小值,且f(x)min=121. 从而,该服装的日销售收入的最小值为121百元.
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