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162动量定理的应用
16.2动量和动量定理
一、动量
1、动量:
运动物体的质量和速度的乘积叫做动量.是矢量,方向与速度
方向相同;动量的合成与分解,按平行四边形法则、三角形法则.是状态量;通常说物体的动量是指运动物体某一时刻的动量,计算物体此时的动量应取这一时刻的瞬时速度。
是相对量;物体的动量亦与参照物的选取有关,常情况下,指相对地面的动量。
单位是kg·m/s;
2、动量和动能的区别和联系
①动量的大小与速度大小成正比,动能的大小与速度的大小平方成正比。
即动量相同而质量不同的物体,其动能不同;动能相同而质量不同的物体其动量不同。
②动量是矢量,而动能是标量。
因此,物体的动量变化时,其动能不一定变化;而物体的动能变化时,其动量一定变化。
③因动量是矢量,故引起动量变化的原因也是矢量,即物体受到外力的冲量;动能是标量,引起动能变化的原因亦是标量,即外力对物体做功。
④动量和动能都与物体的质量和速度有关,两者从不同的角度描述了运动物体的特性,且二者大小间存在关系式:
P2=2mEk
3、动量的变化及其计算方法
动量的变化是指物体末态的动量减去初态的动量,是矢量,对应于某一过程(或某一段时间),是一个非常重要的物理量,其计算方法:
(1)ΔP=Pt一P0,主要计算P0、Pt在一条直线上的情况。
(2)利用动量定理ΔP=F·t,通常用来解决P0、Pt;不在一条直线上或F为恒力的情况。
二、冲量
1、冲量:
力和力的作用时间的乘积叫做该力的冲量.是矢量,如果在力的作用时间内,力的方向不变,则力的方向就是冲量的方向;冲量的合成与分解,按平行四边形法则与三角形法则.冲量不仅由力的决定,还由力的作用时间决定。
而力和时间都跟参照物的选择无关,所以力的冲量也与参照物的选择无关。
单位是N·s;
2、冲量的计算方法
(1)I=F·t.采用定义式直接计算、主要解决恒力的冲量计算问题。
(2)利用动量定理Ft=ΔP.主要解决变力的冲量计算问题,但要注意上式中F为合外力(或某一方向上的合外力)。
三、动量定理
1、动量定理:
物体受到合外力的冲量等于物体动量的变化.Ft=mv/一mv或Ft=p/-p;该定理由牛顿第二定律推导出来:
(质点m在短时间Δt内受合力为F合,合力的冲量是F合Δt;质点的初、未动量是mv0、mvt,动量的变化量是ΔP=Δ(mv)=mvt-mv0.根据动量定理得:
F合=Δ(mv)/Δt)
2.单位:
牛·秒与千克米/秒统一:
l千克米/秒=1千克米/秒2·秒=牛·秒;
3.理解:
(1)上式中F为研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力。
(2)动量定理中的冲量和动量都是矢量。
定理的表达式为一矢量式,等号的两边不但大小相同,而且方向相同,在高中阶段,动量定理的应用只限于一维的情况。
这时可规定一个正方向,注意力和速度的正负,这样就把大量运算转化为代数运算。
(3)动量定理的研究对象一般是单个质
点。
求变力的冲量时,可借助动量定理求,不可直接用冲量定义式.
(4)动量定理中mv2-mv1是研究对象的动量增量,是过程末态动量与初态动量的差值(矢量减法).式中“-”号是运算符号,与正方向的选取无关.
(5)动量定理中的等号(=),表明合外力的冲量与研究对象的动量增量的数值相等,方向一致,单位相同,但绝不能认为合外力的冲量就是动量的增量.
合外力的冲量是引起研究对象的运动状态改变的外来因素,而动量的增量则是研究对象受外力冲量后所导致的必然结果.
(6)牛顿定律跟动量定理的关系
根据F=ma得
F=ma=m
=
即F=
.
这是牛顿第二定律的另一种表达形式:
合外力F等于物体动量的变化率
.
4.应用动量定理的思路:
(1)明确研究对象和受力的时间(明确质量m和时间t);
(2)分析对象受力和对象初、末速度(明确冲量I合,和初、未动量P0,Pt);
(3)规定正方向,目的是将矢量运算转化为代数运算;
(4)根据动量定理列方程
(5)解方程。
四、动量定理应用的注意事项
1.动量定理的研究对象是单个物体或可看作单个物体的系统,当研究对象为物体系时,物体系的总动量的增量等于相应时间内物体系所受外力的合力的冲量,所谓物体系总动量的增量是指系统内各个的体动量变化量的矢量和。
而物体系所受的合外力的冲量是把系统内各个物体所受的一切外力的冲量的矢量和。
2.动量定理公式中的F是研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力。
它可以是恒力,也可以是变力。
当合外力为变力时F则是合外力对作用时间的平均值。
3.动量定理公式中的Δ(mv)是研究对象的动量的增量,是过程终态的动量减去过程始态的动量(要考虑方向),切不能颠倒始、终态的顺序。
4.动量定理公式中的等号表明合外力的冲量与研究对象的动量增量的数值相等,方向一致,单位相同。
但考生不能认为合外力的冲量就是动量的增量,合外力的冲量是导致研究对象运动改变的外因,而动量的增量却是研究对象受外部冲量作用后的必然结果。
5.用动量定理解题,只能选取地球或相对地球做匀速直线运动的物体做参照物。
忽视冲量和动量的方向性,造成I与P正负取值的混乱,或忽视动量的相对性,选取相对地球做变速运动的物体做参照物,是解题错误的常见情况。
考点一动量的概念
【例1】如图6-1-1一个质量是0.2kg的钢球,以2m/s的速度射到坚硬的大理石板上,立即反弹,速度大小仍为2m/s,求出钢球动量变化的大小和方向?
【解析】取水平向右的方向为正方向,碰撞前钢球的速度v=2m/s,
碰撞前钢球的动量为p=mv=0.2×2kg·m/s=0.4kg·m/s.
碰撞后钢球的速度为v′=-2m/s,
碰撞后钢球的动量为p′
=mv′=-0.2×2kg·m/s=-0.4kg·m/s.
碰撞前后钢球动量的变化为:
Δp=pˊ-p=-0.4kg·m/s-0.4kg·m/s=-0.8kg·m/s
且动量变化的方向向左.
【规律总结】动量是一个矢量,动量的方向和速度方向相同,所以只要物体的速度大小或方向发生变化,动量就一定发生变化.例如做匀速直线运动的物体其动量是恒量,而做匀速圆周运动的物体,由于速度方向不断在改变,即使其动量大小不变,但因其方向不断改变,所以其动量是一变量.
考点二冲量的概念
【例2】恒力F作用在质量为m的物体上,如图6-1-2所示,由于地面对物体的摩擦力较大,没有被拉动,则经时间t,下列说法正确的是()
A.拉力F对物体的冲量大小为零
B.拉力F对物体的冲量大小为Ft
C.拉力F对物体的冲量大小是Ftcosθ
D.合力对物体的冲量大小为零
【解析】按照冲量的定义,物体受到恒力F作用,其冲量为Ft,物体因为静止,合外力为0,所以合力冲量为0.
【易错提示】力对物体有冲量作用必须具备力和该力作用下的时间两个条件.只要有力并且作用一段时间,那么该力对物体就有冲量作用,所以冲量是过程量.需要注意的是冲量和功不同.恒力在一段时间内可能不作功,但一定有冲量.特别是力作用在静止的物体上也有冲量.
考点三动量定理
【例3】一粒钢珠从静止状态开始自由下落,然后陷人泥潭中.若把在空中下落的过程称为过程Ⅰ,进人泥潭直到停止的过程称为过程Ⅱ,则()
A、过程I中钢珠的动量的改变量等于重力的冲量
B、过程Ⅱ中阻力的冲量的大小等于过程I中重力的冲量的大小
C、I、Ⅱ两个过程中合外力的总冲量等于零
D、过程Ⅱ中钢珠的动量的改变量等于零
考点四简解多过程问题
【例4】一个质量为m=2kg的物体,在F1=8N的水平推力作用下,从静止开始沿水平面
运动了t1=5s,然后推力减小为F2=5N,方向不变,物体又运动了t2=4s后撤去外力,物体再经过t3=6s停下来.试求物体在水平面上所受的摩擦力.
【解析】:
规定推力的方向为正方向,在物体运动的整个过程中,物体的初动量P1=0,末动量P2=O.据动量定理有:
即:
,解得
【规律总结】由例4可知,合理选取研究过程,能简化解题步骤,提高解题速度.本题也可以用牛顿运动定律求解.同学们可比较这两种求解方法的简繁情况.
考点五求恒力和变力冲量的方法
恒力F的冲量求法:
直接根据I=Ft求
变力的冲量求法:
由动量定理或F-t图线与横轴所夹的面积来求。
【例5】质量为m的小球由高为H倾角为θ光滑斜面顶端,无初速滑到底端过程中,重力、弹力、合力的冲量各是多大?
解:
力的作用时间都是
力的大小依次是mg、mgcosθ和mg.sinθ,所以它们的冲量依次是:
特别要注意:
该过程中弹力虽然不做功,但对物体有冲量。
【例6】
一个物体同时受到两个力F1、F2的作用,F1、F2与时间t的关系如图1所示,如果该物体从静止开始运动,经过t=10s,F1、F2以及合力F的冲量各是多少?
解:
经过t=10s后,F1的冲量I1=10×10/2=50N.S
F2的冲量I2=-50N.S,
合力F的冲量为0.
【例7】一质量为100g的小球从0.80m高处自由下落到一厚软垫上.若从小球接触软垫到小球陷至最低点经历了0.2s,则软垫对小球的冲量为________.(取g=10m/s2,不计空气阻力).
解:
小球从高处自由下落到软垫陷至最低点经历了两个过程,从高处自由下落到接触软垫前一瞬间,是自由下落过程,接触软垫前一瞬间速度由:
求得
.
接触软垫时受到软垫向上作用力N和重力G(=mg)作用,规定向下为正,由动量定理:
(mg-N)t=0-m
故:
在重物与地面撞击问题中,是否考虑重力,取决于相互作用力与重力大小的比较,此题中N=0.3N,mg=0.1N,显然在同一数量级上,不可忽略.
若二者不在同一数量级,相差极大,则可考虑忽略不计(实际上从同一高度下落,往往要看撞击时间是否极短,越短冲击力越大).
F-t图上的“面积”表示冲量:
冲力和平均力的冲量相等的理解。
如图:
【例8】如果物体所受空气阻力与速度成正比,。
当以速度v1竖直上抛后,又以速度v2返回出发点。
这个过程共用了多少时间?
解:
如图所示,作出上升阶段和下降阶段的v-t图线,图中蓝色线所示。
上升和下降阶段加速度都是减少的。
图线下方的“面积”表示位移的大小,即s1=s2=h。
由于阻力与速度大小成正比,在图中作出f-t图线(图中红色线所示),则图线下方的面积一定相等,而此“面积”表示上升阶段和下降阶段阻力的冲量大小,故有If1=-If2。
取向下为正方向,对全过程由动量定理可得:
mgt=m(v1+v2),解得t=(v1+v2)/g
点评:
该题是利用物理图象解题的范例,运用物理图象解题形象直观,使解题过程大大简化。
【例9】跳伞运动员从2000m高处跳下,开始下落过程未打开降落伞,假设初速度为零,所受空气阻力与下落速度大小成正比,最大降落速度为vm=50m/s。
运动员降落到离地面s=200m高处才打开降落伞,在1s内速度均匀减小到v1=5.0m/s,然后匀速下落到地面,试求运动员在空中运动的时间。
解:
整个过程中,先是变加速运动,接着匀减速,最后匀速运动,作出v—t图线如图
(1)所示。
由于第一段内作非匀变速直线运动,用常规方法很难求得这1800m位移内的运动时间。
考虑动量定理,将第一段的v—t图按比例转化成f—t图,如图
(2)所示,则可以巧妙地求得这段时间。
设变加速下落时间为t1,利用动量定理得:
s1=1800m
又匀速运动时mg=kvm,得
代入第一式得:
∴
第二段1s内:
所以第三段时间:
空中的总时间:
考点六求解曲线运动问题
【例10】如图2所示,以Vo=10m/s的初速度、与水平方向成300角抛出一个质量m=2kg的小球.忽略空气阻力的作用,g取10m/s2.求抛出后第2s末小球速度的大小.
解:
小球在运动过程中只受到重力的作用,在水平方向做匀速运动,在竖直方向做匀变速运动,竖直方向应用动量定理得:
Fyt=mVy-mVy0
所以mgt=mVy-(-mV0.sin300)
解得Vy=gt-V0.sin300=15m/s.
而Vx=V0.cos300=
第2s未小球的速度大小为:
注意:
动量定理不仅适用于物体做直线运动的问题,而且也适用物体做曲线运动的问题,在求解曲线运动问题中,一般以动量定理的分量形式建立方程,即:
Fxt=mVx-mVx0
Fyt=mVy-mVy0
【例11】从高为H的平台上,同时水平抛出两个物体A和B,已知它们的质量mB=2mA,抛出时的速度vA=2vB,不计空气阻力,它们下落过程中动量变化量的大小分别为ΔpA和ΔpB,则
A.ΔpA=ΔpBB.ΔpA=2ΔpB
C.ΔpB=4ΔpAD.ΔpB=2ΔpA
解:
由t=
知tA=tB,由动量定理知Δp=mgt,故ΔpB=2ΔpA.答案:
D
【例12】质量为m的小球用长为R的细绳的一端系住,在水平光滑的平面内绕细绳的另一端做匀速圆周运动,速率为v,向心力F=m
.求半周期内向心力的冲量。
解:
在半个周期的冲量不等于m
·
因为向心力是个变力(方向时刻在变).
在半个周期的始、末线速度方向相反,动量的变化量是2mv,根据动量定理可知,向心力在半个周期的冲量大小也是2mv,方向与半个周期的开始时刻线速度的方向相反.
考点七求解流体问题
【例13】某种气体分子束由质量m=5.4X10-26kg,速度V=460m/s的分子组成,各分子都向同一方向运动,垂直地打在某平面上后又以原速率反向弹回,如分子束中每立方米的体积内有n0=1.5X1020个分子,求被分子束撞击的平面所受到的压强.
解:
设在△t时间内射到某平面S的上的气体的质量为ΔM,则:
取ΔM为研究对象,受到的合外力等于平面作用到气体上的压力F
以V方向规定为正方向,由动量定理得:
-FΔt=ΔMV-(-ΔMV)
解得平均冲力为:
平面受到的压强P为:
注意:
处理有关流体(如水、空气、高压燃气等)撞击物体表面产生冲力(或压强)的问题,可以说非动量定理莫属.
解决这类问题的关键是选好研究对象,一般情况下选在极短时间△t内射到物体表面上的流体为研究对象
【例14】自动称米机已被许多粮店广泛使用。
买者认为:
因为米落到容器中时有向下的冲力而不划算。
卖者认为:
当预定米的质量数满足时,自动装置即刻切断米流,此刻尚有一些米仍在空中,这些米是多给买者的,因而双方争执起来,究竟对哪方更划算呢?
解:
设米粒的流量为d(kg/s),它是恒定的。
自动装置能即刻在出口处切断米流,米流在出口处速度很小可视为零。
若切断米流后,盛米容器中静止的那部分米的质量为m1kg,空中还在下落的米的质量为m2kg。
极短时间Δt内落在静止的米堆上的一部分米的质量Δm=dΔt。
设Δm落在米堆上之前的速度为V,经过Δt后静止,其受力如图13所示。
取向上为正方向,由动量定理得:
(F-Δmg)Δt=0-(-ΔmV)
即F=dV+gdΔt
设米从自动装置出口处落到静止部分米表面所用的时间为t,则V=gt
由空中部分米的质量m2=dt,可得dV=dgt=m2g
即F=m2g+Δmg.
根据牛顿第三定律得F/=F,
称米机读数为M=m1+m2+Δm
可见,称米机读数已包含了静止在袋中部分的质量m1,也包含了尚在空中的下落的米流的质量m2,还包含了刚落至米堆的一小部分的质量Δm,
即自动称米机是准确的。
不存在谁划不划算的问题。
【例15】高压采煤水枪出水口的截面积为S,水的射速为v,射到煤层上后,水速度为零.若水的密度为ρ,求水对煤层的冲力.
解:
从水枪中射出的水是连续的,这样对解题极为不便,为使连续的水像物体一样,我们可以取一小段时间的水进行研究.
射到煤层上的水,在较短时间速度变为零,煤一定对水(水为研究对象)产生了力的作用,此力为变力,因此可以由动量定理来求出煤对水的平均作用力,即冲力,由牛顿第三定律就知道水对煤的作用力.
由水流算出Δt内水的质量,以Δt时间内的水为研究对象,由动量定理列方程,求煤对水的力,再由牛顿第三定律求水对煤的力.
设在Δt时间内,从水枪射出的水的质量为Δm,
则Δm=ρSvΔt.
以Δm为研究对象,它在Δt时间内动量变化为:
Δp=Δm(0-v)=-ρSv2Δt
设FN为水对煤层的冲力,FN′为煤层对水的反冲力,以FN′的方向为正方向,
对水利用动量定理(忽略水的重力)得:
FN′Δt=Δp=-ρv2SΔt
解得:
FN′=-ρSv2
根据牛顿第三定律知FN=-FN′,所以FN=ρSv2.
说明:
这是一类变质量(或连续流体)问题,对这类问题的处理,一般要选取一段时间的流体为研究对象,然后表示出所选研究对象的质量,分析它的受力及动量的变化,根据动量定理列方程求解.
【例16】国产水刀—超高压数控万能水切割机以其神奇的切割性能在北京国际展览中心举行的第五届国际机床展览会上引起轰动,它能切割40mm厚的钢板、50mm厚的大理石等材料.
水刀就是将普通的水加压,使其从口径为0.2mm的喷嘴中以800m/s~1000m/s的速度射出的水流.我们知道任何材料承受的压强都有一定限度,下表列出了一些材料所能承受的压强限度.
A.橡胶
5×107Pa
B.花岗石
1.2×108Pa~2.6×108Pa
C.铸铁
8.8×108Pa
D.工具钢
6.7×108Pa
设想有一水刀的水流横截面积为S,垂直入射的速度v=800m/s,水流与材料接触后,速度为零,且不附着在材料上,水的密度ρ=1×103kg/m3,则此水刀不能切割上述哪些材料?
解:
以射到材料上的水量Δm为研究对象,以其运动方向为正方向,由动量定理得:
pSΔt=-ρSvΔtv
p=-ρv2=-6.4×108Pa
由表中数据可知:
不能切割C、D.
【例17】如下图所示,光子具有动量,每个光子的动量p=mv=h/λ(式中h为普朗克常量,λ为光子的波长).当光照射到物体表面上时,不论光被物体吸收还是被物体表面反射,光子的动量都会发生改变,因而对物体表面产生一种压力,称为光压.
下图是列别捷夫设计的用来测量光压的仪器.
图中两个圆片中,a是涂黑的,而b是光亮的.当光线照射到a上时,可以认为光子全部被吸收,而当光线照射到b上时,可以认为光子全部被反射.分别用光线照射在a或b上,由于光压的作用,都可以引起悬丝的旋转,旋转的角度可以借助于和悬丝一起旋转的小平面镜M进行观察.
(1)如果用一束强光同时照射a、b两个圆片,光线的入射方向跟圆片表面垂直,悬丝将向哪个方向偏转?
为什么?
(2)已知a、b两个圆片的半径都为r,两圆心间的距离是d.现用频率为
的激光束同时垂直照射a、b两个圆片,单位时间内垂直于光传播方向的单位面积上通过的光子个数为n,光速为c,求由于光压而产生的作用力分别为多大.
解:
(1)a向外b向里转动(从上向下看逆时针转动)
对时间t内照到圆片上的光子用动量定理:
Ft=(ntS)Δmv,
照到a上的每个光子的动量变化是mv,而照到b上的每个光子的动量变化是2mv;
因此光子对b的光压大.
(2)分别对单位时间内照射到a、b上的光子用动量定理,有:
Fa=nπr2h
/c
Fb=nπr22h
/c
答案:
(1)a向外b向里转动(从上向下看逆时针转动)
(2)Fa=nπr2h
/cFb=nπr22h
/c
【例18】科学家设想在未来的航天事业中用太阳帆来加速星际宇宙飞船.按照近代光的粒子说,光由光子组成,飞船在太空中张开太阳帆,使太阳光垂直射到太阳帆上,太阳帆面积为S,太阳帆对光的反射率为100﹪,设太阳帆上每单位面积每秒到达n个光子,每个光子的动量为p,如飞船总质量为m,求飞船加速度的表达式。
如太阳帆面对阳光一面是黑色的,情况又如何?
解:
∴
;
考点八对系统应用动量定理
系统的动量定理就是系统所受合外力的冲量等于系统总动量的变化。
若将系统受到的每一个外力,系统内每一个物体的速度均沿坐标系x轴和y轴分解,
则系统的动量定理的数学表达式如下:
,
对于不需求解系统内部各物体间相互作用力的问题,采用系统的动量定理求解将会使求解简单、过程明确。
【例19】如图3所示,质量为M的汽车带着质量为m的拖车在平直公路上以加速度a匀加速前进,当速度为V0时拖车突然与汽车脱钩,到拖车停下瞬间司机才发现。
若汽车的牵引力一直未变,车与路面的动摩擦因数为μ,那么拖车刚停下时,汽车的瞬时速度是多大?
解:
以汽车和拖车系统为研究对象,全过程系统受的合外力始终为
初状态动量为(M+m)V0,末状态拖车的动量为零,该过程经历时间为t=V0/μg
全过程对系统用动量定理可得:
注意:
这种方法只能用在拖车停下之前。
因为拖车停下后,系统受的合外力中少了拖车受到的摩擦力,因此合外力大小不再是
【例20】如图4所示,矩形盒B的质量为M,放在水平面上,盒内有一质量为m的物体A,A与B、B与地面间的动摩擦因数分别μ1、μ2,开始时二者均静止。
现瞬间使物体A获取一向右且与矩形盒B左、右侧壁垂直的水平速度V0,以后物体A在盒B的左右壁碰撞时,B始终向右运动。
当A与B最后一次碰撞后,B停止运动,A则继续向右滑行距离S后也停止运动,求盒B运动的时间t。
解:
以物体A、盒B组成的系统为研究对象,它们在水平方向所受的外力就是地面盒B的滑动摩擦力,而A与B间的摩擦力、A与B碰撞时的相互作用力均是内力。
设B停止运动时A的速度为V,且假设向右为正方向,由系统的动量定理得:
当B停止运动后,对A应用动能定理得:
由以上二式联立解得:
说明:
对于不需求解系统内部各物体间相互作用力的问题,采用系统的动量定理求解将会使求解简单、过程明确。
下面举例说明这一点。
【例21】如图10所示,质量为m=1kg的小木块放在质量为M=9kg的长木板的左端,二者以V0=1m/s的共同速度沿着光滑水平面向右匀速运动。
m与M之间的动摩擦因数μ=0.1,g=10m/s2.(木板M足够长)。
(1)若对M施加一与速度方向相反的水平恒力F,且F=5N,则F作用多长时间可使M、m的速度最终都变为零?
克服F做多少功?
(2)若第
(1)问中施加的恒力大小变为20N,方向不变,则F作用了一段时间撤消后,M、m的速度最终都变为零。
求F作用的时间是多少?
克服F做多少功?
m在M上滑行的距离L是多少?
解:
(1)当F=5N的力作用在M上时,首先要判断M与m之间有无相对滑动。
若M、m之间无相对滑动,由F=(M+m)a可知,二者共同运动的加速度a=F/(M+m)=0.5m/s2,M与m之间的静摩擦力可使m产生的最大加速度am=μg=1m/s2>a,所以当F=5N的力作用在M上时,M与m无相对滑动。
对于m、M组成的系统,由系统的动量定理得:
-Ft=0-(M+m)V0,得:
根据动能定理得克服F做的功W1=
(2)当F=20N的力作用在M上时,若M、m之间无相对滑动,由F=(M+m)a可知,二者共同运动的加速度a=F/(M+m)=2m/s2,M与m之间的静摩擦力可使m产生的最大加速度am=μg=1m/s2〈a,所以当F=20N的力作用在M上时,M与m有相对滑动。
对于m、M组成的系统,由系统的动量定理得:
-Ft/=0-(M+m)V0,得:
由于M与m之间存在相对滑动,所以对M根据牛顿第二定律得:
,解得
.
撤去F时M的速度:
。
此时M的位移为:
,
根据动能定理得克服F做的功W1=FS=4.7J
对于M、m组成的整体,由功能关系可知:
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- 162 动量 定理 应用