完整版概率思想在医学经济学与生物学中的应用毕业设计.docx

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玉林师范学院本科生毕业论文

概率思想在医学,经济学与生物学中的应用

TheApplicationofProbability TheoryinMedicine,EconomicsandBiology

学院

数学与信息科学学院

专业

数学与应用数学

学生班级

2011级1班

姓名

黄耀玲

学号

指导教师单位

数学与信息科学学院

指导教师

易亚利

指导教师职称

副教授

概率思想在医学,经济学与生物学中的应用

数学与应用数学2011级1班黄耀玲

指导老师易亚利

摘要

概率论是数学的一个很重要分支,概率思想已经深入到各行各业中,在医学、生物学、物理学、工程技术、军事、农业技术、金融管理等各个领域中被较广泛的应用.它的理论和解题方式与数学分析和代数有较大的不同.

本文介绍了概率思想的某些知识在其他学科中的应用,主要围绕随机事件的运算、数学期望、中心极限定理、小概率事件等相关知识,探讨概率思想在高等数学、医学、经济学、生物学这几个学科中的广泛应用.运用概率思想构建数学模型或方程式,简化证明过程,寻求最优解决方案,从而达到节省人力、物力和财力的效果;另外概率思想在药物和经济风险的检验中有着重要的作用,是药物生产和经济决策的重要依据.结合概率在这些学科中的一些应用实例,说明了概率在其他学科中有重要的应用价值,进一步揭示了概率思想与其他相关学科的密切关系.

关键词:

概率,高等数学,医学经济学,生物学

TheApplicationofProbability TheoryinMedicine,EconomicsandBiology

MathematicsandAppliedMathematics2011-1HuangYaoling

SupervisorYiYali

Abstract

Probabilitytheoryisanimportantbranchofmathematics,probabilitythoughtdeeplyintoallwalksoflife,inphysics,biology,medicine,engineering,military,agriculture,technology,financialmanagement,andotherfields.Itstheory,theproblemsolvingmethodisdifferentfrommathematicalanalysisandalgebra.

Probabilitywereintroducedinthispapersomeknowledgeinotherdisciplines,theapplicationofthemainoperation,mathematicalexpectation,markedbyrandomeventsinwhichthecentrallimittheorem,thesmallprobabilityevent,discussestheprobabilitythoughtinseveraldisciplines.Applyingtheideaofprobabilitytobuildmathematicalmodelsorequations,simplifytheproofprocess;Toseektheoptimalsolutionandachievethepurposeofsavemanpower,materialandfinancialresources;Moreoverprobabilitythoughtindrugsandimportantroleineconomicriskinspection,isanimportantbasisfordrugproductionandeconomicdecisions.Combinedwithprobabilityandsomeapplicationexamplesinthesedisciplines,illustratestheprobabilityvalueinotherdisciplines,furtherrevealstheprobabilitythoughtcloserelationshipwithotherrelateddisciplines.

Keywords:

Probability,mathematics,medicine,economics,biology

目录

引言1

1概率思想在高等数学中的应用2

2概率思想在医学中的应用3

2.1数学期望在医学中的应用3

2.2伯努利试验在医学中的应用4

3概率思想在经济学中的应用6

3.1中心极限定理在经济学中的应用6

3.2数学期望与方差在经济学中的应用7

3.3矩估计在经济学中的应用9

4概率思想在生物学中的应用10

4.1事件的独立性在生物学中的应用10

4.2条件概率公式在生物学中的应用11

小结12

致谢13

参考文献13

引言

概率论的发展有较长的一段历史,可以说是既老又新的一门学科.说它古老,因为概率的出现来源于存在了几千年的赌博游戏,由此概率早期文明被认为已经开始萌芽.说它年轻,这是因为概率思想在十八世纪这一历史时期的发展是极其缓慢的,因此,现代的数学家和哲学家很容易忽视这段时期.而对于翻开概率论这一历史篇章，则被认为是帕斯卡和费马在1654年期间进行的七封通信.因此,概率论又可以说是“新”的．“年龄”方面它比整个数学大家族中的其它多数成员要小得多,通常认为概率论只经历了短短的三百多年的时间.虽然概率论在十八世纪这一时期的发展不是很迅速,但由于社会学,天文学等学科的研究需求,使得概率的应用变得更为广泛,它的理论发展迅速,其思想和方法开始慢慢受到其它学科的重视和借鉴.现今,跨学科之间的整合和概率论的快速发展使得概率论成为一门被广泛应用的学科.英人倘若没有对概率的某种估计,我们就寸步难行,无所作为.”在一定的社会条件下,概率论是通过人类的社会实践和生产活动一步步发展起来的,它被广泛地应用到国民生产和生活的各个方面,概率思想逐步渗透到其他学科的研究工作之中,不管是自然科学还是社会科学,各个学科中有概率论的身影.概率论已经成为我们生产和生活中不可或缺的一部分,在社会的发展发挥着重大的作用.

西方的很多发达国家在早期已将概率知识列入到中学的必修内容当中,说明他们早已认识到概率知识对人们的生产和生活方面具有重要的作用.但是,长期以来概率知识在我国并没有被引起足够的重视,这形成了我国数学教学方面知识缺失严重的现状.然而近年来概率知识应用的广泛性与实用性使我们充分认识到了其在我们的生产和生活中产生了重要的作用,所以我国也将概率知识纳入到新教材中学数学的必修内容中,并且得到了人们普遍的认可.

在应用概率方法来解决问题时,对所要解决的问题建立随机模型是非常重要的一步.为了使所建立的随机模型中的一些数字特征（如事件的概率、数学期望、方差等）恰好能等于问题中所要被计算的量,并且建立的这些数字特征是能够通过试验的,利用相应的概率知识将它们的值求出来,于是就可以得到所求量的值.许多文献都有关于概率知识在其他学科方面应用的介绍,它们有效地把概率思想应用在实际问题的解决当中,给人们解决现实问题提供了极大的便利.哪些概率知识被其他学科所应用呢？

它们在具体问题解决时充当怎样的角色呢？

本文将参照概率和相关学科的相关知识进行说明.

1概率思想在高等数学中的应用

定义1.1[1]设有个事件,对任意的,如果以下等式成立

则称此个事件相互独立.

高等数学是需要运用逻辑思维和抽象能力的学科,因此要求学生应该具有丰富的想象能力和逻辑思维能力.在应用数学证明方法来证明高等数学中给定的问题时,可能会觉得这样的证明过程比较复杂,容易出现错误,而且最终所得结果不一定符合题目要求.但是,如果使用概率的思维,你可以使用举例论证的简化方法证明高等数学中的证明问题,这样不仅节省了学生的做题时间,也更容易被学生理解.

例1.1已知:

存在、、,且,现要我们求证:

.

证明在这个证明题中,已知的大小都是在的范围内,这正好与概率分布思想是相符合的,即,所以说,我们可以认为、、是三件事发生的概率取值.现我们假设、、三件事是相互独立的,则各事件发生的概率就分别为:

那么我们就非常容易得到了下面的等量式:

.

而根据概率思想可知:

也就是、两件事同时发生的概率.那么,同理可知:

因,则可知:

那么

.

在上述的证明中,如果运用数学证明方法来证明就会很复杂,而利用概率思想的举例论证法就简化了高等数学证明问题的步骤,只用几个步骤就可以完成,而且也便于我们理解.

运用概率思想构建相关的数学模型或方程式,也可以应用到高等数学的广义积分、等式、不等式的证明中,这样就可以大大简化证明过程,便于我们理解.

2概率思想在医学中的应用

2.1数学期望在医学中的应用

定义2.1.1[1]设离散随机变量的分布列为

如果

则称

为随机变量的数学期望,也称为该分布的数学期望,简称期望或均值.如果级数不收敛,则称的数学期望不存在.

定义2.1.2设连续型随机变量的密度函数为,若积分绝对收敛,则的数学期望为:

．

数学期望是反映随机变量总体取值平均水平的一个重要的数字特征.医疗系统的检验人员需要对某种疾病进行普查经常要在大量人群中进行.若用以往的逐个检验方法就需要每人检验一次.若用分组检验法,因为对需要接受检验的人群是一个随机变量,所以要求出它的平均值（即平均检验次数）.

例2.1对某地区的患肝炎群众进行普查,该地区的群众当中患有肝炎的概率大约为0.004,现要对该地区5000人进行检查,试问用分组检验方法所需的次数少还是用逐人检验所需的次数少？

解设将该地区的5000人分成每组个人,则分成了组,并且每个人所需要检验的次数设为随机变量,则的概率分布为:

每人平均所需检验的次数为:

.

易见,当时,即平均每个人所需要的检验次数小于1.即分组检验方法所需次数比逐个进行检查所需次数少.以上结果表明,利用适当分组的方式确实能够减少检验次数.

2.2伯努利试验在医学中的应用

定义2.2[1]如果的任一结果、的任一结果……的任一结果都是相互独立的事件,则称试验相互独立;如果这个独立试验仍然相同,则称其为重独立重复试验;如果在重独立重复试验中,每次试验的可能结果有两个:

或,则称这样的试验为重伯努利试验,即

.

伯努利（Bernoulli）测试是非常重要的概率模型,这是“在同样条件下进行重复试验”的数学模型.从历史上看,伯努利概率模型是概率模型理论最早研究的模型之一,在理论上具有重要意义,并且在工业产品质量的检查、群体遗传学等方面具有广泛的实际应用.下面就以其在医学中的应用为例做介绍.

例2.2一些自然愈合的疾病概率是0.25,为了测试新药的有效性,医生给10个患者服用,他预先设定了一个决策规划,若10个患者中至少有3人被治愈了,则新的药物被认为是有效的,提高了治愈率,反之,则被认为是无效的.

求

（1）虽然新药有效,痊愈率提高到0．35,但通过试验却被否定的概率;

（2）新药被判断为完全无效,但通过试验却被判断为有效的概率.

解对于

（1）,治愈率被提高到0.35,但是试验却被否定了,说明被医治好的人在3人以内,我们将10例患者服用药物看作10次伯努利试验,每次试验中痊愈了的概率是0.35,不痊愈的概率为,而任何人的恢复是彼此不受影响的（在传染病的情况下,也是隔离的）,这就使该问题与伯努利概率模型联系起来了,“否定新药”这一事件等价于时,也就是“10人最多只有2个被治好”这一事件.所以

（否定新药）

.

对

（2）来说,新药被判断为完全无效,试验却被判断为有效,指痊愈率即自然痊愈率,（则不痊愈率）,即知痊愈人数至少有3人.

（判断新药有效）

.

由于生命安全问题与药物的效用紧密相关.如果新药有效而被否定,会造成经济损失,但不会危及生命安全,如果新的药物是无效的却被肯定了,则它就会危及到生命安全,因此,医生在规划决策,限期

（1）的概率后,再通过一些方法使

（2）的发生概率尽可能小.

3概率思想在经济学中的应用

3.1中心极限定理在经济学中的应用

定义3.1（棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理）

设在重伯努利的试验中,在每次试验中事件出现的概率为,记次试验中事件出现的次数为,且记

.

则对任意实数,有

.

今天,保险问题在中国是一个热门话题,由于人口老龄化和社会转型方面的影响,中国的保险业正在蓬勃发展,但也还需不断规范.保险公司的服务范围比较广,在各企业、各单位和个人中都可提供各种各样的保险保障服务.人们在接受这些保险服务时,不免会预算某一业务对自身的利益的大小,甚至会怀疑保险公司的大量赔偿是否亏本.下面用中心极限定理说明它在这一方面中的应用.

例3.1已知有2500人在某一人寿保险公司购买保险,这些人当中在一年内死亡的概率为0.001,保险公司每年每人收取保险费12元,保险公司承诺可以给2000元作为死亡的家属的赔偿金额,求:

（1）保险公司在一年中获利不少于10000元的概率;

（2）保险公司亏本的概率.

解设在一年中参加保险并且死亡的人数为人,这些人的死亡率为,我们试图将这2500人在一年当中是否死亡看成是2500重伯努利试验,则有,

保险公司的每年收入是,付出是元,则根据中心极限定理可得到:

.

保险公司亏本的概率为:

.

经过上述计算可以知道一个保险公司亏本的概率接近于0,这使得保险公司倾向于开展业务.

3.2数学期望与方差在经济学中的应用

定义3.2.1设离散随机变量的分布为

如果

则称

为随机变量的数学期望,也称为该分布的数学期望,简记为期望或均值.如果级数不收敛,则称的数学期望不存在.

定义3.2.2若随机变量的数学期望存在,则称偏差平方的数学期望为随机变量（或相应分布）的方差,记为

称方差的平方根为随机变量（或相应分布）的标准差,记为,或.

在做经济管理决策之前,往往在不确定因素的情况下,所做的决定都存在一定的风险,唯有运用正确的、科学的决策,才能达到最大的安全性和最低的成本的总体目标,才能尽可能节省成本.利用概率的知识可以作出合理的决策,以实现这一目标.下面以数学期望、方差等数学特征作为其在经济管理决策中的应用的一个例子来论述说明.

例3.2某人手中有一笔资金,想进行一笔投资,可将资金投入三个项目:

房产、地产和商业,其投资收益与市场状态存在密切联系,如果将未来市场划分为好、中、差这三个等级,则其发生的概率分别为,,由市场调研的情况可知在不同的市场等级状态下各项投资的年收益（万元）,见表1:

好

中

差

房产

11

3

-3

地产

6

4

-1

商业

10

2

-2

表一各种投资年收益分布表

请问:

该投资者如何投资好?

解我们先考察数学期望:

.

由数学期望可知,最大的收益的项目是房产投资,因此可以选择房产,但投资者也应该要考虑到它们投资的风险,我们可以根据它们的方差进行考虑,其方差计算如下:

.

从方差数值可以看出,方差数值越大,收益的波动就大,这样的投资风险是比较大的,因此,从方差上看,房产风险投资比地产风险投资的风险要大得多,综合收益与风险进行权衡,较好选择仍然是投资地产,虽然平均收入少0.1万元,但投资风险较房产小于其一半以上.

3.3矩估计在经济学中的应用

定义3.3对正态总体,是二维参数,设有样本,则的最大似然估计为:

的最大似然估计为:

.

现今,随着经济建设的快速发展,火灾、车祸等各种意外事故情况的发生呈明显上升趋势,而保险业作为意外损失赔偿的行业,购买保险成为单位和个人分担经济损失的一种有效方法.使用统计知识可以对各种意外事故发生的可能性与事故发生后造成的经济损失进行估计.下面以参数估计为例来进一步说明它在这一方面的应用.

例3.3已知某仓库在储藏货物过程中,仓库货物因意外火灾,导致货物失火，从而造成巨大的经济损失,已知损失的金额数目服从正态分布,现在随机抽取8次货物损失资料,仓库货物损失金额如下表.

货物损失金额（元）

1000

2000

3000

5000

次数

2

1

4

1

表2仓库货物损失金额表

解利用矩估计法或最大似然估计法可知:

的矩估计量分别为:

.

从而根据表2中的数据可计算出:

.

因此得出仓库货物损失的金额的平均估计值是2625元,标准差的估计值是1049.55元.

4概率思想在生物学中的应用

4.1事件的独立性在生物学中的应用

定义4.1乘法定理:

两个独立事件同时发生或相继发生所出现的概率等于它们各自概率的乘积,即:

当、独立时，

.

在概率论中,事件间的关系有很多,与遗传知识之间有关的,包括互斥事件、独立事件、对立事件等.互斥事件它指的是事件和事件不能同时出现.例如,一对杂合子等位基因（）的自交种子之比为1:

2:

1,对于每一个显性个体,非,则,和不能同时为一个个体,它们就属于互斥事件.对立事件指所有不属于事件的事件,亦称为的逆事件.例如,杂合子（）自交后代中表现显性的个体为事件,的对立事件是隐性个体,对立事件可以看作是互斥事件的特例.独立事件指事件的出现,该事件的发生并没有影响事件的发生.例如,两对等位基因杂合子（）在形成配子时,趋向一极与趋向的同一极无关,所以和趋向同一极可以看作为两个独立事件.

加法定理就是互斥事件出现的概率等于它们各自发生的概率之和.例如,每胎生育一个,不是男孩就是女孩,是互斥事件,那么生一个男孩或女孩的概率为.再如两个杂合子（）相互交配,后代纯合子的概率是多少?

已知两个杂合子的后代的组合方式有,,,并且它们的发生都属于互斥事件,即的后代不是就是或,所以后代纯合子（和）发生概率应是.

乘法定理就是两个独立事件同时发生或相继发生所出现的概率等于它们各自发生的概率的乘积.例如一位母亲的第一个孩子是女孩,不影响她的第二个孩子也是女孩.所以,这位母亲生育的第一个和第二个孩子都是女孩的概率是.

例4.1已知黄色（）相对于对绿色（）为显型,（圆粒）相对于（皱粒）为显型,基因型（独立遗传）的黄色圆粒与基因型为绿色圆粒豌豆进行杂交,求出现绿皱与黄圆的概率.

解记“出现黄色豌豆”为事件,“出现绿色豌豆”为事件“出现圆粒豌豆”为事件,“出现皱粒豌豆”为事件,按基因分离规律,逐对算出各种表现型出现的概率:

;.

;.

由已知独立遗传知各事件相互独立,所以出现黄圆的概率

出现绿皱的概率

.

4.2条件概率公式在生物学中的应用

定义4.2设与是样本空间中的两事件,若,则称

为“在发生下发生的条件概率”,简称条件概率

例4.2图l是一种遗传病的系谱（设该病受一对基因控制,表示显性,代表隐性）.

图1一遗传病系谱

问可能基因型是什么？

她是杂合体的机率是多少？

解的双亲的子代基因型及其概率（频率）为:

.

因正常,故她的可能基因型是或.

在正常子代中,为杂合体的概率可根据条件概率公式:

令子代出现正常个体为事件,出现杂合体为事件.有

.

因此,在出现正常个体（）的条件下为杂合体（）的条件概率:

.

还有许多类似运用全概率公式求解案例,例如某些电子工厂的流水线,故障发生的概率都可以充分利用全概率公式来解决,或由故障发生的概率,追究责任的承担应为哪条流水线,运用的是全概率公式的逆向公式--贝叶斯公式.在用全概率公式解决实际问题的过程中,关键是对问题进行合理的划分,考虑所有可能发生的情况,从而解决实际问题.

小结

概率思想的研究极具丰富的内容以及很强的实用性,无论是科学研究还是社会活动都需要进行数据的收集、整理以及精炼的形式表达,在基础上进行定量或定性估计、描述和解释,对未来可能的发展状况进行预测.概率论需要对大量随机数据进行整理并描述评估、预测其发展.如果将微积分、线性代数比作分析数学、或是说解题的工具，那么概率论才真正是把实际问题转换为数学问题的一门学问,因为它解决的并非纯数学问题,并非给定一个命题让你直接去解决,而恰恰是让你去构思命题，进而通过构建模型来解决实际问题.概率论和实际问题有紧密联系,对问题的思考需要更深层次.

本文以概率的应用为研究对象,以实例的方式,探讨了概率在高等数学,医学,经济学及其在生物学四个方面的应用.通过概率思想在以上几种学科中的应用的研究,我们可以看出,概率思想不管在研究领域还是现实生活中都发挥着不可替代的重要作用.其实,我们经常用有关概率论的思想解决身边的一些细小的问题,只要我们细心观察就可以发现并用它来为我们的生活增添色彩.

致谢

感谢大学期间给予我关心、支持和帮助的各位领导,老师和朋友们！

你们的出现丰富了我的阅历并增长了自己的见识,本论文的撰写能够顺利完成.你们功不可没,我从你们的身上收获无数,却无以回报,谨此表达我最诚挚的谢意！

首先,最要感谢的是我的导师易亚利老师,导师平易近人,潜心学术,不慕虚荣,我专业基础差,导师对我不抛弃、不放弃,循循善诱,在学业等各方面都给了我很大的鼓励和帮助.对于我这篇论文的写作,导师花费了大量的心血和时间,从选题,到撰写提纲,到具体的写作,再到初稿、二稿、三稿的反复修改,易老师都倾心指导,使我受益匪浅,终生受益.

此外,还要感谢谭冬燕,陈凯琼,周丽梅,董容恩等同窗好友,她们在我的写作过程中给了我莫大的鼓励和帮助,帮我查阅了大量的文献资料.时光荏苒,转眼间大家又将天各一方,让我们且行且珍惜现在相聚的日子吧.

最后,感谢诸多文献的作者!

他们的研究成果给了我很多启发,并且有的已经成为本论文重要组成部分.

参考文献

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高等教育出版社,2012:

1-362.

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高等教育出版社,2009:

1-382.

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中国标准出版社,1996．

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人民出版社,2002:

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