新课标精品卷最新北师大版高中数学必修三《统计》章末复习及考点解析.docx
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新课标精品卷最新北师大版高中数学必修三《统计》章末复习及考点解析
2017-2018学年(新课标)北师大版高中数学必修三
1.抽样方法
(1)用随机数表法抽样时,对个体所编号码位数要相等,当问题所给位数不等时,以位数较多的为准,在位数较少的数前面添“0”,凑齐位数.
(2)用系统抽样法时,如果总体容量N能被样本容量n整除,抽样间隔为k=;如果总体容量N不能被样本容量n整除,先用简单随机抽样剔除多余个体,抽样间隔为k=.
(3)应用三种抽样方法时需要搞清楚它们的使用原则.
①当总体容量较小,样本容量也较小时,可采用抽签法.
②当总体容量较大,样本容量较小时,可用随机数表法.
③当总体容量较大,样本容量也较大时,可用系统抽样法.
④当总体由差异明显的几部分组成时,常用分层抽样.
2.用样本估计总体
(1)用样本频率分布估计总体频率分布时,通常要对给定一组数据进行列表、作图处理,作频率分布表与频率分布直方图时要注意其方法步骤.
(2)茎叶图刻画数据有两个优点:
一是所有信息都可以从图中得到,二是便于记录和表示,但数据较多时不方便.
(3)平均数反映了样本数据的平均水平,而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程度.
3.变量间的相关关系
除了函数关系这种确定性的关系外,还大量存在因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系——相关关系,对于一元线性相关关系,通过建立线性回归方程就可以根据其部分观测值,获得对这两个变量之间的整体关系的了解,主要是作出散点图、写出线性回归方程.
[例1] 某工厂有1003名工人,从中抽取10人参加体检,试采用简单随机抽样和系统抽样进行具体实施.
[解]
(1)简单随机抽样:
①将每一个人编一个号由0001至1003.
②制作大小相同的号签,并写上号码.
③放入一个大容器内,均匀搅拌.
④依次抽取10个号签.
具有这十个编号的人组成一个样本.
(2)系统抽样:
①将每个人编一个号由0001至1003.
②利用随机数表抽取3个号,将这3个人剔除.
③重新编号0001至1000.
④分段=100,所以0001至0100为第一段.
⑤在第一段内由简单随机抽样方法抽得一个号l.
⑥按编号将l,100+l,…,900+l,共10个号选出,这10个号所对应的人组成样本.
[借题发挥]
1.当总体容量N能被样本容量n整除时,分段间隔k=,利用系统抽样的方法抽样.
2.当总体总量不能被样本容量整除时,可先从总体中随机剔除n个个体.
3.要注意三种抽样方法的使用条件.
1.将参加夏令营的600名学生编号为:
001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为( )
A.26,16,8 B.25,17,8
C.25,16,9D.24,17,9
解析:
由题意知间隔为=12,故抽到的号码为12k+3(k=0,1,…,49),列出不等式可解得:
第Ⅰ营区抽25人,第Ⅱ营区抽17人,第Ⅲ营区抽8人.
答案:
B
[例2] 有一容量为200的样本,数据的分组以及各组的频数如下:
[-20,-15),7;[-15,-10),11;[-10,-5),15;[-5,0),40;[0,5),49;[5,10),41;[10,15),20;[15,20],17.
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图;
(3)求样本数据不足0的频率.
[解]
(1)频率分布表如下:
分组
频数
频率
[-20,-15)
7
0.035
[-15,-10)
11
0.055
[-10,-5)
15
0.075
[-5,0)
40
0.2
[0,5)
49
0.245
[5,10)
41
0.205
[10,15)
20
0.1
[15,20]
17
0.085
合计
200
1.00
(2)如图是频率分布直方图和频率分布折线图:
(3)样本数据不足0的频率为:
0.035+0.055+0.075+0.2=0.365.
[借题发挥]
1.频率分布直方图的绘制方法与步骤
(1)先制作频率分布表,然后作直角坐标系,横轴表示总体,纵轴表示.
(2)把横轴分成若干段,每一段对应一个组.以每个组距为底,以各频率除以组距的商为高,分别画成矩形.这样得到的直方图就是频率分布直方图.
2.频率分布折线图反映的是数据的变化趋势,可用来对数据进行估计和预测.
2.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:
厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知a=________.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________.
解析:
∵0.005×10+0.035×10+a×10+0.020×10+0.010×10=1,∴a=0.030.
设身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组的学生各有x,y,z人,
则=0.030×10,解得x=30.同理,y=20,z=10.
故从[140,150]中抽取的学生人数为×18=3.
答案:
0.030 3
3.某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标).所得数据均在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的100根中,有________根棉花纤维的长度小于20mm.
解析:
(0.04×5+0.01×5+0.01×5)×100=30.
答案:
30
[例3] 甲:
2,1,0,2,3,1,0,4,2,0;
乙:
1,2,0,3,1,1,2,1,0,1.
分别计算这两个样本的平均数与方差,从计算结果看,应选哪一名工人参加技术表演?
[解] 甲==1.5;
乙=(1+2+0+3+1+1+2+1+0+1)=1.2;
s=[(2-1.5)2+(1-1.5)2+(0-1.5)2+(2-1.5)2+(3-1.5)2+(1-1.5)2+(0-1.5)2+(4-1.5)2+(2-1.5)2+(0-1.5)2]
=(0.52×5+1.52×4+2.52)=1.65;
s=[(1-1.2)2+(2-1.2)2+(0-1.2)2+(3-1.2)2+(1-1.2)2+(1-1.2)2+(2-1.2)2+(1-1.2)2+(0-1.2)2+(1-1.2)2]=0.76,
∵甲>乙,s>s.
∴应选乙工人参加比赛.
[借题发挥] 在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要研究数据偏离平均数的离散程度(即方差或标准差).标准差越大,说明数据的离散性越大;标准差越小,说明数据的离散性越小或数据越集中、稳定.
4.一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A.57.2,3.6B.57.2,56.4
C.62.8,63.6D.62.8,3.6
解析:
当一组数据中的每个数同时加上一个数后,平均数相应的增加,但方差不变,可知新数据的平均数为62.8,方差为3.6.
答案:
D
5.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间他们参加5项预赛,成绩记录如下:
甲:
78 76 74 90 82
乙:
90 70 75 85 80
(1)用茎叶图表示这两组数据;
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?
说明理由.
解:
(1)用茎叶图表示如下:
甲乙
468
7
05
2
8
05
0
9
0
(2)甲=80,乙=80,
而s=×[(78-80)2+(76-80)2+(74-80)2+(90-80)2+(82-80)2]=32,
s=×[(90-80)2+(70-80)2+(75-80)2+(85-80)2+(80-80)2]=50.
∵甲=乙,s
∴从统计学的角度考虑,选甲参加更合适.
[例4] 某个体服装店经营某种服装在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间有如下一组数据:
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
已知:
=280,=45309,iyi=3487.
(1)求,;
(2)求纯利y与每天销售件数x之间的线性回归方程;
(3)估计每天销售10件这种服装时纯利润为多少元?
[解]
(1)由已知得=(3+4+5+6+7+8+9)=6,
=(66+69+73+81+89+90+91)≈79.86.
(2)设线性回归方程为y=bx+a,则
b==≈4.75,
a=-b=79.86-4.75×6≈51.36.
∴所求线性回归方程为y=4.75x+51.36.
(3)当x=10时,y=98.86,估计每天销售这种服装10件可获纯利98.86元.
[借题发挥] 要对y与x进行线性相关检验,只要画出散点图,看各数据是否集中在某一条直线附近即可,采用数形结合思想,若线性相关,则根据公式求出回归方程.
6.炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.如果已测得炉料熔化完毕时,钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据如下表所示:
x(0.01%)
104
180
190
177
147
134
150
191
204
121
y(min)
100
200
210
185
155
135
170
205
235
125
(1)作出散点图,你能从中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗?
(2)求回归方程;
(3)预测当钢水含碳量为160时,应冶炼多少分钟.
解:
(1)用x表示含碳量,y表示冶炼时间,可作散点图如下图所示.
从上图中可以看出,各点散布在一条直线附近,即它们线性相关.
(2)列出下表,并用科学计算器进行计算:
i
1
2
3
4
5
xi
104
180
190
177
147
yi
100
200
210
185
155
xiyi
10400
36000
39900
32745
22785
i
6
7
8
9
10
xi
134
150
191
204
121
yi
135
170
205
235
125
xiyi
18090
25500
39155
47940
15125
=159.8,=172;
x=265448,xiyi=287640
设所求回归方程为y=bx+a.
b=≈1.267,
a=-b≈-30.47.
即所求的回归方程为y=1.267x-30.47.
(3)当x=160时,
y=1.267×160-30.47≈172(min),
即大约冶炼172min.
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为40的样本,考虑用系统抽样,则分段的间隔k为(
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