直线和圆弧的生成算法.docx

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直线和圆弧的生成算法

第3章直线和圆弧的生成算法

3.1 直线图形的生成算法

    数学上的直线是没有宽度、由无数个点构成的集合，显然，光栅显示器只能近地似显示直线。

当我们对直线进行光栅化时，需要在显示器有限个像素中，确定最佳逼近该直线的一组像素，并且按扫描线顺序，对这些像素进行写操作，这个过程称为用显示器绘制直线或直线的扫描转换。

   由于在一个图形中，可能包含成千上万条直线，所以要求绘制算法应尽可能地快。

本节我们介绍一个像素宽直线绘制的三个常用算法：

数值微分法（DDA）、中点画线法和Bresenham算法。

3.1.1逐点比较法

3.1.2数值微分（DDA）法

设过端点P0（x0 ,y0）、P1（x1 ,y1）的直线段为L（P0 ,P1），则直线段L的斜率 

L的起点P0的横坐标x0向L的终点P1的横坐标x1步进，取步长=1（个像素），用L的直线方程y=kx+b计算相应的y坐标，并取像素点（x,round（y））作为当前点的坐标。

因为：

    yi+1 = kxi+1+b

        = k1xi+b+k∆x

        = yi+k∆x

 所以，当∆x=1; yi+1 = yi+k。

也就是说，当x每递增1，y递增k（即直线斜率）。

根据这个原理，我们可以写出DDA（DigitalDifferentialAnalyzer）画线算法程序。

 DDA画线算法程序：

voidDDALine（intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor）

{intx；

 floatdx,dy,y,k；

 dx=x1-x0；dy=y1-y0；

 k=dy/dx,；y=y0；

 for（x=x0；x

 {drawpixel（x,int（y+0.5）,color）;

     y=y+k;

 }

}

注意：

我们这里用整型变量color表示像素的颜色和灰度。

 举例：

用DDA方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段。

x

int（y+0.5）

y+0.5

0

0

0

1

0

0.4+0.5

2

1

0.8+0.5

3

1

1.2+0.5

4

2

1.6+0.5

图3.1.1直线段的扫描转换

    注意：

上述分析的算法仅适用于|k| ≤1的情形。

在这种情况下，x每增加1,y最多增加1。

当 |k| > 1时，必须把x，y地位互换，y每增加1，x相应增加1/k。

在这个算法中，y与k必须用浮点数表示，而且每一步都要对y进行四舍五入后取整，这使得它不利于硬件实现。

动画演示：

数值微分画线算法（DDA）

 3.1.3中点画线法

    假定直线斜率k在0~1之间，当前像素点为（xp,yp），则下一个像素点有两种可选择点P1（xp+1,yp）或P2（xp+1,yp+1）。

若P1与P2的中点（xp+1,yp+0.5）称为M，Q为理想直线与x=xp+1垂线的交点。

当M在Q的下方时，则取P2应为下一个像素点；当M在Q的上方时，则取P1为下一个像素点。

这就是中点画线法的基本原理。

  图3.1.2中点画线法每步迭代涉及的像素和中点示意图

     下面讨论中点画线法的实现。

过点（x0,y0）、（x1, y1）的直线段L的方程式为F（x, y）=ax+by+c=0，其中，a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0，欲判断中点M在Q点的上方还是下方，只要把M代入F（x，y），并判断它的符号即可。

为此，我们构造判别式：

d=F（M）=F（xp+1, yp+0.5）=a（xp+1）+b（yp+0.5）+c

    当d<0时，M在L（Q点）下方，取P2为下一个像素；

    当d>0时，M在L（Q点）上方，取P1为下一个像素；

    当d=0时，选P1或P2均可，约定取P1为下一个像素；

注意到d是xp, yp的线性函数，可采用增量计算，提高运算效率。

   若当前像素处于d≥0情况，则取正右方像素P1（xp+1,yp）,要判下一个像素位置，应计算 d1=F（xp+2, yp+0.5）=a（xp+2）+b（yp+0.5）=d+a，增量为a。

   若d<0时，则取右上方像素P2（xp+1, yp+1）。

要判断再下一像素，则要计算d2= F（xp+2, yp+1.5）=a（xp+2）+b（yp+1.5）+c=d+a+b ，增量为a＋b。

画线从（x0, y0）开始，d的初值 d0=F（x0+1, y0+0.5）=F（x0, y0）+a+0.5b，因 F（x0, y0）=0，所以d0=a+0.5b。

   由于我们使用的只是d的符号，而且d的增量都是整数，只是初始值包含小数。

因此，我们可以用2d代替d来摆脱小数，写出仅包含整数运算的算法程序。

 中点画线算法程序：

voidMidpointLine（intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor）

{inta,b,d1,d2,d,x,y；

 a=y0-y1；b=x1-x0；d=2*a+b；

 d1=2*a；d2=2*（a+b）；

 x=x0；y=y0；

 drawpixel（x,y,color）;

 while（x

 {if（d<0）  {x++；y++；d+=d2;}

   else     {x++；d+=d1;}

   drawpixel（x,y,color）;

 }/*while*/

}/*midPointLine*/

 举例：

用中点画线方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段。

a=y0-y1=-2;b=x1-x0=5;d0=2*a+b=1;d1=2*a=-4;d2=2*（a+b）=6,

x

y

d

0

0

1

1

0

-3

2

1

3

3

1

-1

4

2

5

5

2

15

图3.1.3中点画线法

问题1：

若上述算法往下取二步（i=2），则算法和像素的取法将变成怎样？

问题2：

与DDA法相比，中点法的优点是什么？

动画演示：

中点画线算法

3.1.4Bresenham算法

   Bresenham算法是计算机图形学领域使用最广泛的直线扫描转换算法。

仍然假定直线斜率在0~1之间，该方法类似于中点法，由一个误差项符号决定下一个像素点。

   算法原理如下：

过各行各列像素中心构造一组虚拟网格线。

按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点，然后确定该列像素中与此交点最近的像素。

该算法的巧妙之处在于采用增量计算，使得对于每一列，只要检查一个误差项的符号，就可以确定该列的所求像素。

   如图2.1.4所示，设直线方程为yi+1=yi+k（xi+1-xi）+k。

假设列坐标像素已经确定为xi，其行坐标为yi。

那么下一个像素的列坐标为xi＋1，而行坐标要么为yi，要么递增1为yi＋1。

是否增1取决于误差项d的值。

误差项d的初值d0＝0，x坐标每增加1，d的值相应递增直线的斜率值k，即d＝d＋k。

一旦 d≥1，就把它减去1，这样保证d在0、1之间。

当d≥0.5时，直线与垂线x=xi＋1交点最接近于当前像素（xi，yi）的右上方像素（xi＋1，yi＋1）；而当d<0.5时，更接近于右方像素（xi＋1，yi）。

为方便计算，令e＝d－0.5，e的初值为－0.5，增量为k。

当e≥0时，取当前像素（xi，yi）的右上方像素（xi＋1，yi＋1）；而当e<0时，取（xi，yi）右方像素（xi＋1，yi）。

图3.1.4Bresenham算法所用误差项的几何含义

○Bresenham画线算法程序：

voidBresenhamline（intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor）

{intx,y,dx,dy；

 floatk,e;

 dx=x1-x0；dy=y1-y0；k=dy/dx；

 e=-0.5；x=x0,；y=y0；

 for（i=0；i

 {drawpixel（x,y,color）;

   x=x+1；e=e+k;

   if（e0）

   {y++；e=e-1;}

 }

}

 举例：

用Bresenham方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段。

x

y

e

0

0

-0.5

1

0

-0.1

2

1

-0.7

3

1

-0.3

4

2

-0.9

5

2

-0.5

图3.1.5Bresenham算法

    上述Bresenham算法在计算直线斜率与误差项时用到小数与除法。

可以改用整数以避免除法。

由于算法中只用到误差项的符号，因此可作如下替换：

2*e*dx。

 改进的Bresenham画线算法程序：

voidInterBresenhamline（intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor）

{dx=x1-x0,；dy=y1-y0,；e=-dx;

 x=x0；y=y0;

 for（i=0;i

 {drawpixel（x,y,color）;

  x++；e=e+2*dy;

  if（e0）{y++;e=e-2*dx;}

  }

}

动画演示：

Bresenham画线算法：

3.2 圆弧的扫描转换算法

  这一节我们来讨论圆弧的扫描转换算法。

3.2.1圆的特征

    圆被定义为到给定中心位置（xc,yc）距离为r的点集。

圆心位于原点的圆有四条对称轴x=0,y=0,x=y和x=-y。

若已知圆弧上一点（x,y）,可以得到其关于四条对称轴的其它7个点，这种性质称为圆的八对称性。

因此，只要扫描转换八分之一圆弧，就可以求出整个圆弧的像素集。

 显示圆弧上的八个对称点的算法：

voidCirclePoints（intx,inty,intcolor）

{drawpixel（x,y,color）;drawpixel（y,x,color）;

 drawpixel（-x,y,color）;drawpixel（y,-x,color）;

 drawpixel（x,-y,color）;drawpixel（-y,x,color）;

 drawpixel（-x,-y,color）;drawpixel（-y,-x,color）;

}

3.2.2中点画圆法

   如果我们构造函数 F（x,y）=x2+y2-R2，则对于圆上的点有F（x,y）=0，对于圆外的点有F（x,y）>0，对于圆内的点F（x,y）<0。

与中点画线法一样，构造判别式：

d=F（M）=F（xp+1,yp-0.5）=（xp+1）2+（yp-0.5）2-R2

若 d<0，则应取P1为下一像素，而且再下一像素的判别式为：

d=F（xp+2,yp-0.5）=（xp+2）2+（yp-0.5）2-R2=d+2xp+3

若d≥0，则应取P2为下一像素，而且下一像素的判别式为：

d=F（xp+2,yp-1.5）=（xp+2）2+（yp-1.5）2-R2=d+2（xp-yp）+5

我们这里讨论的第一个像素是（0,R），判别式d的初始值为：

d0=F（1,R-0.5）=1.25-R

图3.2.1当前像素与下一像素的候选者

 中点画圆算法：

MidPointCircle（intrintcolor）

{intx,y;

 floatd;

 x=0;y=r;d=1.25-r;

 circlepoints（x,y,color）;

 while（x<=y）

{if（d<0）  d+=2*x+3;

  else  {d+=2*（x-y）+5;y--;}

  x++;

  circlepoints（x,y,color）;

 }

}

    为了进一步提高算法的效率，可以将上面的算法中的浮点数改写成整数，将乘法运算改成加法运算，即仅用整数实现中点画圆法。

动画演示：

中点画圆算法