直线的方向向量与平面的法向量.docx

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直线的方向向量与平面的法向量

I直线的方向向量与平面的法向量

【问题导思】

1.如图3-2-1，直线I//m,在直线I上取两点A、B,

在直线m上取两点C、D，向

量AB与CD有怎样的关系?

【提示】Ab//Cd.

2.如图直线I丄平面a,直线I//m,在直线m上取向量

n，则向量n与平面a有怎样

的关系?

【提示】n丄a

直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量,

一条直线的方向向量有无数

个.

直线I丄a取直线I的方向向量a,则向量a叫做平面

空间中平行关系的向量表示

线线平行

设两条不重合的直线1,m的方向向量分别为a=（ai,bi,ci）,b=（a2,b2,C2）,

贝UI//m?

a//b?

（ai,bi,ci）=k（a2,b2,c2）

线面平行

设I的方向向量为a—（ai,bi,ci）,a的法向量为u=（a2,b2,⑵，则1//a?

au

=0?

aia2+bib2+cic2—0

面面平行

设a,B的法向量分别为u—（ai,bi,ci）,v—（a2,b2,⑵，则a//价u//v?

Xai,

bl,ci）—k（a2,b2,c2）

求平面的法向量

图3-2-2

►例I已知ABCD是直角梯形，/ABC=90°SA丄平面ABCD,SA=AB=BC=1,

AD=1，试建立适当的坐标系.

（1）求平面ABCD与平面SAB的一个法向量.

（2）求平面SCD的一个法向量.

s；

J

A

【自主解答】以点A为原点,

AD、AB、AS所在的直线分别为X轴、y轴、z轴，建

（1）•/SA丄平面ABCD,•AS=（0,0,1）是平面ABCD的一个法向量.

•/AD丄AB,AD丄SA,.・.AD丄平面SAB,

•••Ad=（1,0,0）是平面SAB的一个法向量.

（2）在平面SCD中，DC=（21,0）,SC=（1,1,—1）.

设平面SCD的法向量是n=（X,y,z）,贝Un丄Dc,n丄Sc.

nDC=0厘+y=0

所以得方程组2

nSC=0,x+y—z=0.

令y=—1得x=2,z=1,.・.n=（2,—1,1）.

Il规律方法I

1.若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量.

2.一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下:

（i）设出平面的法向量为n=（x,y,z）.

（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量

a=（ai,bi,Ci）,b=（a2,b2,

na=0,

nb=0.

y,z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法

示的空间直角坐标系中，求:

/Il

⑴平面BDDiBi的一个法向量.

⑵平面BDEF的一个法向量.

【解】设正方体ABCD—AiBiCiDi的棱长为2，则D（0,0,0）,B（2,2,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,

E（1,0,2）

（i）连AC,因为AC丄平面BDDiBi，所以aC=（—2,2,0）为平面BDDiBi的一个法向量.

（2）DB=（2,2,0）,De=（i,0,2）.

设平面BDEF的一个法向量为n=（x,y,z）.

•••n=（2,—2,1）即为平面BDEF的一个法向量.

►例丨长方体ABCD—AiBiCiDi中，E、F分别是面对角线BiDi,AiB上的点，且DiE

=2EBi，BF=2FAi.求证：

EF//ACi.

•••FE=3aCi.

又FE与ACi不共线,

•••直线EF//ACi.

II规律方法I

利用向量法证明线线平行的方法与步骤:

图3-2-4

证：

四边形AECiF是平行四边形.

【证明】以点D为坐标原点,

分别以DA,DC,dBi为正交基底建立空间直角坐标系,

不妨设正方体的棱长为1,则A（1,0,0）,E（0,0,-）,Ci（0,1,1）,F（1,1,-）,

—>1—>1—>1—>1—>—>—>

•••AE=（-1,0,2）,FC1=（-1,0,刁,EC1=（0,1,2）,af=（0,1,刁，；AE=FC1,EC1=Af,

•••AE//fci,e2i//Af,

又•••F?

AE,F?

ECi,・.AE//FCi,ECi/AF,

•••四边形AECiF是平行四边形.

图3-2-5

►例如图3-2-5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，求证：

AB1//平

面DBC1.

【自主解答】以A为坐标原点建立空间直角坐标系.

设正三棱柱的底面边长为a（a>0），侧棱长为b（b>0）,

则A（0,0,0）,B曾a,2,0）,Bi（乎a,|,b）,Ci（0,a,b）,D（0,|,0）,•-ABi=（爭，2,b）,BD=（—¥a,0,0）,

~a

DC1=（0,2,b）.

由于ABin=ab—ab=0，因此ABi丄n•

又ABi?

平面DBCi,.・.ABi/平面DBCi.

方法I

利用空间向量证明线面平行一般有三种方法:

即可用平面内的一

方法一：

证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,组基底表示.

方法二：

证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,

转化为线线平行，利用线面平行

证明方向向量与平面的法向量垂

E,F,Ei分别是棱AAi,BBi,AiBi

判定定理得证.

方法三：

先求直线的方向向量，然后求平面的法向量,直.

在长方体ABCD—AiBiCiDi中，AAi=2AB=2BC,

的中点.

求证：

CE//平面CiEiF.

【证明】以D为原点，以DA,

DC,DDi所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直

角坐标系，如图.

II,

设BC=1,则C（0,1,0）,E（1,0,1）,

1

Ci（0,i,2）,F（i,i,i）,Ei（i,2,2）-

设平面CiEiF的法向量为n=（x,

y,z）,

TCiEi=（1，—

2,0）,FCi=（—i,0,i）,

nCiEi=0,

nFCi=0,

1即x=2y,

取n=（i,2,i）.

x=z,

•••Ce=（i,-i,i）,nCl=i—2+i=0,

•••CE丄n,且CE?

平面CiEiF.

•••CE//平面CEF.

向量法证明空间平行关系

图3-2-6

►MWI（12分）如图3—2-6，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF//

AB,EF丄FB,AB=2EF,/BFC=90°BF=FC,H为BC的中点.

求证：

FH//平面EDB.

【思路点拨】先通过推理证明FH丄平面ABCD，建立空间直角坐标系，再设证明Hf、

•••EF丄BC.

又EF丄FB,

•••FH丄BC.

以H为坐标原点，HB为x轴正方向，Hf为z轴正方向.

建立如图所示的空间直角坐标系.

设BH=1,则B（1,0,0）,D（-1,-2,0）,E（0,—1,1）,F（0,0,1）.6分

•••Hf=（0,0,1）,Be=（—1,-1,1）,bd=（—2,-2,0）,设Hf=入BE+^BD=入（—1,—1,1）+K—2,—2,0）=（—入一2卩，—入一2卩，分

•-（0,0,1）=（——2jj,——2[1,/）,

-入-2尸0Q1

一.，解得1

尸—2,

•-HF=BE—2bD10分•••向量Hf,BE,Bd共面.

又HF不在平面EDB内,•••HF//平面EDB.12分

【思维启迪】1•建立空间直角坐标系，通常需要找出三线两两垂直或至少找到线面垂直的条件.

2.证明时，要注意空间线面关系与向量关系的联系与区别，注意所运用定理的条件要找全.

1.利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：

⑴建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;

⑵进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系（距离和夹角等）;

⑶根据运算结果的几何意义来解释相关问题.

2.证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明.

1.

若A（—1,0,1）,B（1,4,7）在直线I上，则直线I的一个方向向量为（

（1,2,3）

B.（1,3,2）

【答案】

2.下列各组向量中不平行的是（）

a=（1,2,—2）,b=（—2,—4,4）

c=（1,0,0）,d=（—3,0,0）

4.根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系:

⑵•/v=（—3,—9,0）=—3（1,3,0）=—3仏a//3

（3）a、U不共线,•I不与a平行，也不在a内.

又■/au=—7工0,.・.I与a不垂直.

故I与a斜交.

一、选择题

1.（2013

吉林高二检测）li的方向向量为V1=（1,2,3）,12的方向向量V2=（入4,6），若li

//12，则=（

C.3

【解析】

••T1//|2,.・.V1//V2,则1=2,.・.匕2.

【答案】

2.（2013青岛高二检测）若AB=x5d+pCE,则直线AB与平面CDE的位置关系是（）

A.相交

B.平行

C.在平面内

D.平行或在平面内

【解析】•/AB=XDD+pCE,aAb、Cd、CE共面，则ab与平面cde的位置关系是

平行或在平面内.

【答案】D

3.已知平面a内有一个点A（2,-1,2）,a的一个法向量为n=（3,1,2），则下列点P中,

在平面a内的是（

则nAp=（3,1,2）（-1,4,-2）=0,

•••n丄AP，则点P（1,3,2）在平面a内.

4.

【答案】B

已知A（1,1,0）,B（1,0,1）,C（0,1,1）,则平面ABC的一个法向量的单位向量是（）

（1,1,1）

込込心

（3，3，3）

C.

111

（3,3,3）

D.（尊

【解析】

设平面ABC的法向量为n=（X,y,z）,Ab=（0,—1,1）,BC=（—1,1,0）,ACC

—C

…X=y=z,

ABn=—y+z=0

=（—i,0,i），则BCn=-x+y=0

—C

AC•=—x+z=0

又•••单位向量的模为1，故只有

B正确.

【答案】B

5.如图3—2—7,在平行六面体

ABCD—AiBiCiDi中，点M,P,Q分别为棱AB,CD,

BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则（）

1AiM//Dip；

2AiM//BiQ;

3AiM//平面DCCiDi；

4AiM//平面DipQBi.

以上正确说法的个数为（）

C.3

—C—C—C—Ci—C—C—C—C—Ci—C—C—C

【解析】AiM=AiA+AM=AiA+^AB,DiP=DiD+DP=AiA+^AB,二AiM/DiP,

所以AiM//DiP,由线面平行的判定定理可知，AiM//面DCCiDi,AiM//面DiPQBi.①③④正确.

【答案】C

二、填空题

i

6.（2013泰安高二检测）已知直线I的方向向量为（2,m,i），平面a的法向量为（1,?

2）,且I//a,贝Um=

•••（2,m,1）（1,2,2）=2+如+2=0,•m=—8.

【答案】—8

7.已知A（4,1,3）,B（2,3,1）,C（3,7,—5）,点P（x,—1,3）在平面ABC内，则x=

【解析】Ab=（—2,2,—2）,Ac=（—1,6,—8）,AP=（x—4,—2,0）,由题意知A、B、

—2入一80.

【答案】11

③若n是平面a的一个法向量，a与平面a共面，则na=0;

④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直.

【解析】②③④一定正确，①中两平面有可能重合.

【答案】②③④

三、解答题

9.已知0、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点（如图3—2—8所示），并且0E=kOA,OF=kOB,OH=kOD,Ac=Ad+mAB,EG=eh+mEF.

求证：

（1）A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面;

⑵AC//Eg；

（3）0G=kOC.

E、F、G、

【解】⑴由AC=Ad+mABEG=EH+mEF,知A、B、C、D四点共面,

H四点共面.

（2）•/EG=EH+mEF=OH—Ofe+m（OF—OE）

=k（OD—OA）+km（oB—OA）=kAD+kmAB

=k（AD+mAB）=kAC,

•••AC//EG

⑶由⑵知OG=EG—EO=kAC—kAO

=k（AC—AO）=kOC.

•••OG=kOC

10.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E,F分别是BB1,DC的中点，求证：

aE是平面

A1D1F的法向量.

t,

fi

【证明】设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系，贝yA（1,0,0）,E（1,1,

11f1

2）,D1（0,0,1）,F（0,2,0），A1（1,0,1）,AE=（0,1,2）,

~>1—>

D1F=（0,2，—1），A1D1=（—1,0,0）.

1，-1）

•••AEdTf=（0,1,2）（•,

_—>—>

又AEA1D1=0,

•AE丄dTf,Ae丄A忌1.

又AiDiQDiF=Di,

•••AE丄平面AiDiF,

•••AE是平面AiDiF的法向量.

11.如图3-2-9,在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，/ABC=才

OA丄底面ABCD,OA=2,M为OA的中点，N为BC的中点，证明：

直线MN//平面OCD.

【证明】作AP丄cd于点P.如题图分别以AB、AP、AO所在直线为X轴、y轴、

建立空间直角坐标系.

则nOP=0,nOD=0.

得n=（0,4,V2）.

•-MN•=（1-乎，乎,-1）（0,4^2）=0,

•••MN//平面OCD.