理论力学之静力学习题答案北航.docx
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理论力学之静力学习题答案北航
静力学(MADEBY水水)
1-3试画出图示各结构中构件AB的受力图
1-4试画出两结构中构件ABCD的受力图
FAx
FAy
FD
FBy
FA
FBx
FB
FA
FAx
FAy
FDx
FDy
W
TE
FCx
FCy
W
FAx
FAy
FBx
FBy
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FBy
TE
N’
FB
FD
FA
N
FA
FB
FD
1-5试画出图a和b所示刚体系整体合格构件的受力图
1-5a
1-5b
1-8在四连杆机构的ABCD的铰链B和C上分别作用有力F1和F2,机构在图示位置平衡。
试求二力F1和F2之间的关系。
解:
杆AB,BC,CD为二力杆,受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。
解法1(解析法)
假设各杆受压,分别选取销钉B和C为研究对象,受力如图所示:
由共点力系平衡方程,对B点有:
对C点有:
解以上二个方程可得:
解法2(几何法)
分别选取销钉B和C为研究对象,根据汇交力系平衡条件,作用在B和C点上的力构成封闭的力多边形,如图所示。
对B点由几何关系可知:
对C点由几何关系可知:
解以上两式可得:
2-3在图示结构中,二曲杆重不计,曲杆AB上作用有主动力偶M。
试求A和C点处的约束力。
解:
BC为二力杆(受力如图所示),故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC两点连线的方向。
曲杆AB受到主动力偶M的作用,A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB保持平衡。
AB受力如图所示,由力偶系作用下刚体的平衡方程有(设力偶逆时针为正):
其中:
。
对BC杆有:
。
A,C两点约束力的方向如图所示。
2-4四连杆机构在图示位置平衡,已知OA=60cm,BC=40cm,作用在BC上力偶的力偶矩M2=1N·m。
试求作用在OA上力偶的力偶矩大小M1和AB所受的力。
各杆重量不计。
解:
机构中AB杆为二力杆,点A,B出的约束力方向即可确定。
由力偶系作用下刚体的平衡条件,点O,C处的约束力方向也可确定,各杆的受力如图所示。
对BC杆有:
对AB杆有:
对OA杆有:
求解以上三式可得:
,,方向如图所示。
x
y
FR
MA
FR
d
x
FR
MA
FR
d
y
2-6等边三角形板ABC,边长为a,今沿其边作用大小均为F的力,方向如图a,b所示。
试分别求其最简简化结果。
解:
2-6a
坐标如图所示,各力可表示为:
,,
先将力系向A点简化得(红色的):
,
方向如左图所示。
由于,可进一步简化为一个不过A点的力(绿色的),主矢不变,其作用线距A点的距离,位置如左图所示。
2-6b
同理如右图所示,可将该力系简化为一个不过A点的力(绿色的),主矢为:
其作用线距A点的距离,位置如右图所示。
简化中心的选取不同,是否影响最后的简化结果?
2-13图示梁AB一端砌入墙内,在自由端装有滑轮,用以匀速吊起重物D。
设重物重为P,AB长为l,斜绳与铅垂方向成角。
试求固定端的约束力。
法1
解:
P
B
FBx
FBy
P
MA
FBx
FBy
FAx
FAy
MA
P
FAx
FAy
P
整个结构处于平衡状态。
选择滑轮为研究对象,受力如图,列平衡方程(坐标一般以水平向右为x轴正向,竖直向上为y轴正向,力偶以逆时针为正):
选梁AB为研究对象,受力如图,列平衡方程:
求解以上五个方程,可得五个未知量分别为:
(与图示方向相反)
(与图示方向相同)
(逆时针方向)
法2
解:
设滑轮半径为R。
选择梁和滑轮为研究对象,受力如图,列平衡方程:
求解以上三个方程,可得分别为:
(与图示方向相反)
(与图示方向相同)
(逆时针方向)
2-18均质杆AB重G,长l,放在宽度为a的光滑槽内,杆的B端作用着铅垂向下的力F,如图所示。
试求杆平衡时对水平面的倾角。
解:
A
NA
ND
D
选AB杆为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:
求解以上两个方程即可求得两个未知量,其中:
未知量不一定是力。
2-27如图所示,已知杆AB长为l,重为P,A端用一球铰固定于地面上,B端用绳索CB拉住正好靠在光滑的墙上。
图中平面AOB与Oyz夹角为,绳与轴Ox的平行线夹角为,已知。
试求绳子
的拉力及墙的约束力。
解:
选杆AB为研究对象,受力如下图所示。
列平衡方程:
由和可求出。
平衡方程可用来校核。
思考题:
对该刚体独立的平衡方程数目是几个?
2-29图示正方形平板由六根不计重量的杆支撑,连接处皆为铰链。
已知力作用在平面BDEH内,并与对角线BD成角,OA=AD。
试求各支撑杆所受的力。
解:
杆1,2,3,4,5,6均为二力杆,受力方向沿两端点连线方向,假设各杆均受压。
选板ABCD为研究对象,受力如图所示,该力系为空间任意力系。
采用六矩式平衡方程:
(受拉)
(受压)
(受压)
(受拉)
本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程,但求解代数方程组非常麻烦。
类似本题的情况采用六矩式方程比较方便,适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量,避免求解联立方程。
2-31如图所示,欲转动一置于V形槽中的棒料,需作用一力偶,力偶矩。
已知棒料重,直径。
试求棒料与V形槽之间的静摩擦因数。
解:
取棒料为研究对象,受力如图所示。
列平衡方程:
补充方程:
五个方程,五个未知量,可得方程:
解得。
当时有:
即棒料左侧脱离V型槽,与题意不符,故摩擦系数。
2-33均质杆AB长40cm,其中A端靠在粗糙的铅直墙上,并用绳子CD保持平衡,如图所示。
设,平衡时角的最小值为。
试求均质杆与墙之间的静摩擦因数。
解:
当时,取杆AB为研究对象,受力如图所示。
列平衡方程:
附加方程:
四个方程,四个未知量,可求得。
2-35在粗糙的斜面上放着一个均质棱柱体,A,B为支点,如图所示。
若,A和B于斜面间的静摩擦因数分别为和,试求物体平衡时斜面与水平面所形成的最大倾角。
解:
选棱柱体为研究对象,受力如图所示。
假设棱柱边长为a,重为P,列平衡方程
如果棱柱不滑动,则满足补充方程时处于极限平衡状态。
解以上五个方程,可求解五个未知量,其中:
(1)
当物体不翻倒时,则:
(2)
即斜面倾角必须同时满足
(1)式和
(2)式,棱柱才能保持平衡。
3-10AB,AC和DE三杆连接如图所示。
杆DE上有一插销H套在杆AC的导槽内。
试求在水平杆DE的一端有一铅垂力作用时,杆AB所受的力。
设,杆重不计。
FCx
FCy
FBx
FBy
FDx
FDy
FHy
FBx
FBy
FDy
FDx
FAx
FAy
解:
假设杆AB,DE长为2a。
取整体为研究对象,受力如右图所示,列平衡方程:
取杆DE为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:
取杆AB为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:
(与假设方向相反)
(与假设方向相反)
(与假设方向相反)
3-12和四杆连接如图所示。
在水平杆AB上作用有铅垂向下的力。
接触面和各铰链均为光滑的,杆重不计,试求证不论力的位置如何,杆AC总是受到大小等于的压力。
解:
取整体为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:
取杆AB为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:
杆AB为二力杆,假设其受压。
取杆AB和AD构成的组合体为研究对象,受力如图所示,
列平衡方程:
解得,命题得证。
注意:
销钉A和C联接三个物体。
3-14两块相同的长方板由铰链C彼此相连接,且由铰链A及B固定,如图所示,在每一平板内都作用一力偶矩为的力偶。
如,忽略板重,试求铰链支座A及B的约束力。
解:
取整体为研究对象,由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零,
因此有:
即必过A点,同理可得必过B点。
也就是和是大小相等,
方向相反且共线的一对力,如图所示。
取板AC为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:
解得:
(方向如图所示)
3-20如图所示结构由横梁和三根支承杆组成,载荷及尺寸如图所示。
试求A处的约束力及杆1,2,3所受的力。
解:
支撑杆1,2,3为二力杆,假设各杆均受压。
选梁BC为研究对象,受力如图所示。
其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力,大小为2qa,作用在BC杆中点。
列平衡方程:
(受压)
选支撑杆销钉D为研究对象,受力如右图所示。
列平衡方程:
(受压)
(受拉)
选梁AB和BC为研究对象,受力如图所示。
列平衡方程:
(与假设方向相反)
(逆时针)
3-21二层三铰拱由和四部分组成,彼此间用铰链连接,所受载荷如图所示。
试求支座的约束力。
解:
选整体为研究对象,受力如右图所示。
列平衡方程:
(1)
由题可知杆DG为二力杆,选GE为研究对象,作用于其上的力汇交于点G,
受力如图所示,画出力的三角形,由几何关系可得:
。
取CEB为研究对象,受力如图所示。
列平衡方程:
代入公式
(1)可得:
P
FAx
FAy
N1
N2
N1
T
3-24均质杆AB可绕水平轴A转动,并搁在半径为的光滑圆柱上,圆柱放在光滑的水平面上,用不可伸长的绳子AC拉在销钉A上,杆重16N,。
试求绳的拉力和杆AB对销钉A的作用力。
解:
取杆AB为研究对象,设杆重为P,受力如图所示。
列平衡方程:
取圆柱C为研究对象,受力如图所示。
列平衡方程:
注意:
由于绳子也拴在销钉上,因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对销钉的作用力。
3-27均质杆AB和BC完全相同,A和B为铰链连接,C端靠在粗糙的墙上,如图所示。
设静摩擦因数。
试求平衡时角的范围。
解:
取整体为研究对象,设杆长为L,重为P,受力如图所示。
列平衡方程:
(1)
取杆BC为研究对象,受力如图所示。
列平衡方程:
(2)
补充方程:
,
将
(1)式和
(2)式代入有:
,即。
3-30如图所示机构中,已知两轮半径量,各重,杆AC和BC重量不计。
轮与地面间的静摩擦因数,滚动摩擦系数。
今在BC杆中点加一垂直力。
试求:
平衡时的最大值;
当时,两轮在D和E点所受到的滑动摩擦力和滚动摩擦力偶矩。
解:
取整体为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:
由题可知,杆AC为二力杆。
作用在杆BC上的力有主动力,以及B和C处的约束力和,由三力平衡汇交,可确定约束力和的方向如图所示,其中:
,杆AC受压。
取轮A为研究对象,受力如图所示,设的作用线与水平面交于F点,列平衡方程:
取轮B为研究对象,受力如图所示,设的作用线与水平面交于G点,列平衡方程:
解以上六个方程,可得:
,,
,
若结构保持平衡,则必须同时满足:
,,,
即:
,
因此平衡时的最大值,此时:
,
3-35试用简捷的方法计算图中所示桁架1,2,3杆的内力。
解:
由图可见杆桁架结构中杆CF,FG,EH为零力杆。
用剖面SS将该结构分为两部分,取上面部分为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:
(受拉)
(受拉)
(受压)
3-38如图所示桁架中,ABCDEG为正八角形的一半,各杆相交但不连接。
试求杆BC的内力。
解:
假设各杆均受压。
取三角形BCG为研究对象,受力如图所示。
列平衡方程:
(受压)
FG
FEG
FCD
FAB
θ
C
FBC
FCD
FCG
取节点C为研究对象,受力如图所示。
列平衡方程:
其中:
,解以上两个方程可得:
(受压)
3-40试求图中所示桁架中杆1和2的内力。
解:
取整体为研究对象,受力如图所示。
列平衡方程:
A
B
C
3
4
5
FAy
FAx
FB
S
S
F1
F3
F4
F5
F2
用截面S-S将桁架结构分为两部分,假设各杆件受拉,取右边部分为研究对象,受力如图所示。
列平衡方程:
(受拉)
(受拉)
4-1力铅垂地作用于杆AO上,。
在图示位置上杠杆水平,杆DC与DE垂直。
试求物体M所受的挤压力的大小。
解:
1.选定由杆OA,O1C,DE组成的系统为研究对象,该系统具有理想约束。
作用在系统上的主动力为。
2.该系统的位置可通过杆OA与水平方向的夹角完全确定,有一个自由度。
选参数为广义坐标。
3.在图示位置,不破坏约束的前提下,假定杆OA有一个微小的转角,相应的各点的虚位移如下:
δθ
δrA
δrC
δrB
δrD
δrE
,,
,,
代入可得:
4.由虚位移原理有:
对任意有:
,物体所受的挤压力的方向竖直向下。
4-4如图所示长为l的均质杆AB,其A端连有套筒,又可沿铅垂杆滑动。
忽略摩擦及套筒重量,试求图示两种情况平衡时的角度。
解:
4a
1.选杆AB为研究对象,该系统具有理想约束。
设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。
2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角完全确定,有一个自由度。
选参数为广义坐标。
由几何关系可知:
杆的质心坐标可表示为:
3.在平衡位置,不破坏约束的前提下,假定杆AB逆时针旋转一个微小的角度,则质心C的虚位移:
4.由虚位移原理有:
对任意有:
即杆AB平衡时:
。
解:
4b
1.选杆AB为研究对象,该系统具有理想约束。
设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。
2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角完全确定,有一个自由度。
选参数为广义坐标。
由几何关系可知:
杆的质心坐标可表示为:
3.在平衡位置,不破坏约束的前提下,假定杆AB顺时针旋转一个微小的角度,则质心C的虚位移:
4.由虚位移原理有:
对任意有:
即平衡时角满足:
。
4-5被抬起的简化台式打字机如图所示。
打字机和搁板重P,弹簧原长为,试求系统在角保持平衡时的弹簧刚度系数值。
解:
1.选整个系统为研究对象,此系统包含弹簧。
设弹簧力,且,将弹簧力视为主动力。
此时作用在系统上的主动力有,以及重力。
2.该系统只有一个自由度,选定为广义坐标。
由几何关系可知:
3.在平衡位置,不破坏约束的前提下,假定有一个微小的虚位移,则质心的虚位移为:
弹簧的长度,在微小虚位移下:
4.由虚位移原理有:
其中,代入上式整理可得:
由于,对任意可得平衡时弹簧刚度系数为:
4-6复合梁AD的一端砌入墙内,B点为活动铰链支座,C点为铰链,作用于梁上的力,以及力偶矩为的力偶,如图所示。
试求固定端A处的约束力。
解:
解除A端的约束,代之以,并将其视为主动力,此外系统还受到主动力的作用。
系统有三个自由度,选定A点的位移和梁AC的转角为广义坐标。
1.在不破坏约束的前提下给定一组虚位移,如图所示。
由虚位移原理有:
对任意可得:
2.在不破坏约束的前提下给定一组虚位移,如下图所示。
由虚位移原理有:
(1)
由几何关系可得各点的虚位移如下:
代入
(1)式:
对任意可得:
,方向如图所示。
3.在不破坏约束的前提下给定一组虚位移,如上图所示。
由虚位移原理有:
(2)
有几何关系可得各点的虚位移如下:
代入
(2)式:
对任意可得:
,逆时针方向。
4-7图示结构上的载荷如下:
;力;力,其方向与水平成角;以及力偶,其力偶矩为。
试求支座处的约束力。
解:
将均布载荷简化为作用在CD中点的集中载荷,大小为。
1.求支座B处的约束力
解除B点处的约束,代之以力,并将其视为主动力,系统还受到主动力的作用,如图所示。
在不破坏约束的前提下,杆AC不动,梁CDB只能绕C点转动。
系统有一个自由度,选转角为广义坐标。
给定虚位移,由虚位移原理有:
(1)
各点的虚位移如下:
代入
(1)式整理可得:
对任意可得:
,方向如图所示。
2.求固定端A处的约束力
解除A端的约束,代之以,并将其视为主动力,系统还受到主动力的作用。
系统有三个自由度,选定A点的位移和梁AC的转角为广义坐标。
2a.求
在不破坏约束的前提下给定一组虚位移,此时整个结构平移,如上图所示。
由虚位移原理有:
(2)
各点的虚位移如下:
代入
(2)式整理可得:
对任意可得:
,方向如图所示。
2b.求
在不破坏约束的前提下给定一组虚位移,此时梁AC向上平移,梁CDB绕D点转动,如上图所示。
由虚位移原理有:
(3)
各点的虚位移如下:
代入(3)式整理可得:
对任意可得:
,方向如图所示。
2c.求
在不破坏约束的前提下给定一组虚位移,此时梁AC绕A点转动,梁CDB平移,如上图所示。
由虚位移原理有:
(4)
各点的虚位移如下:
代入(4)式整理可得:
对任意可得:
,顺时针方向。
4-8设桁架有水平力及铅垂力作用其上,且,。
试求杆1,2和3所受的力。
解:
假设各杆受拉,杆长均为a。
1.求杆1受力
去掉杆1,代之以力,系统有一个自由度,选AK与水平方向的夹角为广义坐标,如上图所示。
在不破坏约束的条件下给定一组虚位移,此时三角形ADK形状不变,绕A点转动,因此有,且:
滑动支座B处只允许水平方向的位移,而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向,故B点不动。
三角形BEK绕B点旋转,且:
对刚性杆CD和杆CE,由于,因此。
由虚位移原理有:
代入各点的虚位移整理可得:
对任意可得:
(受压)。
2.求杆2受力
去掉杆2,代之以力,系统有一个自由度,选BK与水平方向的夹角为广义坐标,如上图所示。
在不破坏约束的条件下给定一组虚位移,杆AK绕A点转动,因此有,且:
同理可知B点不动,三角形BEK绕B点旋转,且:
杆AD绕A点转动,由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D点位移方向如图所示,且:
同理可知。
由虚位移原理有:
代入各点的虚位移整理可得:
对任意可得:
(受压)。
3.求杆3受力
去掉杆3,代之以力,系统有一个自由度,选AK与水平方向的夹角为广义坐标,如上图所示。
在不破坏约束的条件下给定一组虚位移,三角形ADK绕A点转动,,且:
同理可知B点不动,,且:
由虚位移原理有:
代入各点的虚位移整理可得:
对任意可得:
(受拉)。
4-12杆长2b,重量不计,其一端作用铅垂常力,另一端在水平滑道上运动,中点连接弹簧,如图所示。
弹簧刚度系数为k,当时为原长。
不计滑块的重量和摩擦,试求平衡位置,讨论此平衡位置的稳定性。
解:
θ
F大小和方向不变,常力也是有势力。
取杆和弹簧构成的系统为研究对象。
该系统为保守系统,有一个自由度,选为广义坐标,如图所示。
取为零势能位置,则系统在任意位置的势能为:
由平衡条件可得:
有:
和
即:
和
也就是:
和两个平衡位置。
为判断平衡的稳定性,取势能V的二阶导数:
当时,
,即时是不稳定平衡。
当时,
由上式可知:
1.当且时,即是稳定平衡位置;
2.当且时,即是不稳定平衡位置。
4-15半径为的半圆住在另一半径为的半圆柱上保持平衡,如图所示。
试讨论对无滑动的滚动扰动的稳定性。
解:
取半径为r的半圆柱为研究对象,圆心为C。
半圆柱作纯滚动,有一个自由度,取两个半圆心连线与y轴夹角为广义坐标。
作用在半圆柱上的主动力为重力,系统为保守系统,如图所示,其中。
由于半圆柱作纯滚动,有:
(1)
取坐标原点为零势能位置,则半圆柱在任意位置的势能为:
代入
(1)式有:
由平衡条件可得为平衡位置。
势能V的二阶导数:
由上式可得当,是稳定的。
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