华师大版八年级下册193正方形与对称综合题专训有答案.docx
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华师大版八年级下册193正方形与对称综合题专训有答案
华师大版八年级下册19.3正方形与对称综合题专训
一、关于对角线对称
试题1、如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上.下列结论:
①CE=CF;②∠AEB=75°;③BE+DF=EF;④S正方形ABCD=2+
.其中正确的个数为( C )
A.1B.2C.3D.4
试题2、如图,在正方形ABCD中∠DAE=25°,AE交对角线BD于E点,那么∠BEC等于( C )
A.45°B.60°C.70°D.75°
试题3、如图,已知正方形ABCD的边长为2,E是BC边上的动点,BF⊥AE交CD于点F,垂足为G,连结CG.则CG的最小值为
﹣1 .
试题4、如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边AB、BC上,∠ADE=∠CDF.
(1)求证:
AE=CF;
(2)连结DB交CF于点O,延长OB至点G,使OG=OD,连结EG、FG,判断四边形DEGF是否是菱形,并说明理由.
试题5、如图1,图2,正方形ABCD的边长为1,P是对角线BD上一动点,连接AP、CP,过P作PN⊥AP交射线CD与点N.
(1)求证:
AP=CP.
(2)①若点N在边CD上,如图1,判断△APN的形状,并说明理由;
②若点N在边CD的延长线上,如图2,①中的结论还成立吗?
(不需要证明).
(3)若N为边CD的中点,求BP的长.
解:
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠ADB=∠CDB=45°,
在△ADP和△CDP中,
,
∴△ADP≌△CDP(SAS),
∴AP=CP;
(2)①△APN是等腰直角三角形.
理由如下:
在正方形ABCD中,∠ADC=90°,
∵PN⊥AP,
∴∠APN=90°,
∴∠DAP+∠DNP=180°,
∵∠PNC+∠DNP=180°,
∴∠PNC=∠DAP,
∵△ADP≌△CDP,
∴∠DCP=∠DAP,
∴∠PNC=∠DCP,
∴PN=PC,
又∵AP=PC,
∵AP=PN,
∴△APN是等腰直角三角形;
②①中得结论仍然成立.
理由如下:
同理可得AP=CP,∠DAP=∠DCP,
∵AP⊥PN,AD⊥DN,
∴∠DAP=∠N,
∴∠N=∠DCP,
∴PN=PC,
又∵AP=PC,
∵AP=PN,
∴△APN是等腰直角三角形;
(3)过P作EF∥BC分别交AB、CD于E、F,
可得四边形EBCF是矩形,EF⊥AB,EF⊥CD,
∴BE=CF,
∵PN=PC,PF⊥CD,
∴CF=NF=
CN,
∵N是CD的中点,
∴CN=
CD=
,
∴BE=CF=
CN=
×
=
,
在正方形ABCD中,∠ABD=45°,
∴△BEP是等腰直角三角形,
∴PE=BE=
,
∴BP=
=
=
.
试题6、如图,点P是正方形ABCD(在小学,同学们学习过:
正方形四边相等,四个角都是直角)对角线AC上一动点,点E在射线BC上,且PB=PE,连结PD,O为AC中点.
(1)如图①,当点P在线段AO上时,猜想PE与PD的数量关系和位置关系,并说明理由;
(2)如图②,当点P在线段OC上时,
(1)中的猜想还成立吗?
请说明理由.
解:
(1)当点P在线段AO上时;
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAP=∠DAP=45°,
在△ABP和△ADP中,
,
∴△ABP≌△ADP(SAS),
∴BP=DP,
∵PB=PE,
∴PE=PD,
过点P作PM⊥CD于点M,作PN⊥BC于点N,
∵PB=PE,PN⊥BE,
∴BN=NE,
∵BN=DM,
∴DM=NE,
在Rt△PNE与Rt△PMD中,
,
∴Rt△PNE≌Rt△PMD(HL),
∴∠DPM=∠EPN,
∵∠MPN=90°,
∴∠DPE=90°,
∴PE⊥PD,
故PE与PD的数量关系和位置关系分别为:
PE=PD,PE⊥PD;
(2)∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线,
∴BA=DA,∠BAP=∠DAP=45°,
∵PA=PA,
∴△BAP≌△DAP(SAS),
∴PB=PD,
又∵PB=PE,
∴PE=PD.
①当点E与点C重合时,点P恰好在AC中点处,此时,PE⊥PD.
②当点E在BC的延长线上时,如图所示.
∵△ADP≌△ABP,
∴∠ABP=∠ADP,
∴∠CDP=∠CBP,
∵BP=PE,
∴∠CBP=∠PEC,
∴∠PEC=∠PDC,
∵∠1=∠2,
∴∠DPE=∠DCE=90°,
∴PE⊥PD.
综上所述:
PE⊥PD.
二、关于边对称
试题1、如图正方形ABCD中,E为AD边上的中点,过A作AF⊥BE,交CD边于F,M是AD边上一点,且有BM=DM+CD.
(1)求证:
点F是CD边的中点;
(2)求证:
∠MBC=2∠ABE.
(1)证明:
∵正方形ABCD,
∴AD=DC=AB=BC,∠C=∠D=∠BAD=90°,AB∥CD,
∵AF⊥BE,
∴∠AOE=90°,
∴∠EAF+∠AEB=90°,∠EAF+∠BAF=90°,
∴∠AEB=∠BAF,
∵AB∥CD,
∴∠BAF=∠AFD,
∴∠AEB=∠AFD,
∵∠BAD=∠D,AB=AD,
∴△BAE≌△ADF,
∴AE=DF,
∵E为AD边上的中点,
∴点F是CD边的中点;
(2)证明:
延长AD到G.使MG=MB.连接FG,FB,
∵BM=DM+CD,
∴DG=DC=BC,
∵∠GDF=∠C=90°,DF=CF,
∴△FDG≌△FCB(SAS),
∴∠DFG=∠CFB,
∴B,F,G共线,
∵E为AD边上的中点,点F是CD边的中点,AD=CD
∴AE=CF,
∵AB=BC,∠C=∠BAD=90°,AE=CF,
∴△ABE≌△CBF,
∴∠ABE=∠CBF,
∵AG∥BC,
∴∠AGB=∠CBF=∠ABE,
∴∠MBC=∠AMB=2∠AGB=2∠GBC=2∠ABE,
∴∠MBC=2∠ABE.
三、关于过顶点的直线对称
试题1、在正方形ABCD中,点E为BC边的中点,点B′与点B关于AE对称,B′B与AE交于点F,连接AB′,DB′,FC.下列结论:
①AB′=AD;②△FCB′为等腰直角三角形;③∠ADB′=75°;④∠CB′D=135°.其中正确的是(B )
A.①②B.①②④C.③④D.①②③④
试题2、如图,在边长为1的正方形ABCD中,E为AD边上一点,连接BE,将△ABE沿BE对折,A点恰好落在对角线BD上的点F处.延长AF,与CD边交于点G,延长FE,与BA的延长线交于点H,则下列说法:
①△BFH为等腰直角三角形;②△ADF≌△FHA;③∠DFG=60°;④DE=
;⑤S△AEF=S△DFG.其中正确的说法有( D )
A.1个B.2个C.3个D.4个
试题3、)在小学,我们已经初步了解到,正方形的每个角都是90°,每条边都相等.如图,在正方形ABCD外侧作直线AQ,且∠QAD=30°,点D关于直线AQ的对称点为E,连接DE、BE,DE交AQ于点G,BE交AQ于点F.
(1)求∠ABE的度数;
(2)若AB=6,求FG的长.
解:
(1)连接AE,如图1所示:
∵点D关于直线AQ的对称点为E,
∴AE=AD,AQ垂直平分DE,
∴∠EAQ=∠QAD=30°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,AB=AD,
∴AE=AB,
∴∠BAE=30°+30°+90°=150°,
∴∠ABE=
(180°﹣150°)=15°;
(2)由
(1)得:
AE=AD,∠EAD=60°,
∴△AED是等边三角形,ED=6,
∵AQ垂直平分DE,
∴EG=3,∠FGE=90°,
∵∠EAD=30°,∠AEB=15°,
∴∠EFG=∠FEG=45°,
∴EG=FG=3.
试题4、如图1,点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点,连接CN、DM.
(1)判断CN、DM的数量关系与位置关系,并说明理由;
(2)如图2,设CN、DM的交点为H,连接BH,求证:
BH=BC;
(3)将△ADM沿DM翻折得到△A′DM,延长MA′交DC的延长线于点E,如图3,求cos∠DEM.
证明:
(1)CN=DM,CN⊥DM,
∵点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点,
∴AM=DN
在△AMD和△DNC中,
,
∴△AMD≌△DNC(SAS),
∴CN=DM.∠CND=∠AMD,
∴∠CND+∠NDM=∠AMD+∠NDM=90°,
∴CN⊥DM,
∴CN=DM,CN⊥DM;
(2)如图,
延长DM、CB交于点P.
∵AD∥BC,
∴∠MPC=∠MDA,∠A=∠MBP,
在△AMD和△BMP中
∴△AMD≌△BMP(AAS),
∴BP=AD=BC.
∵∠CHP=90°,
∴BH=BC,
(3)如图,
∵AB∥DC,
∴∠EDM=∠AMD=∠DME,
∴EM=ED.
设AD=A′D=4k,则A′M=AM=2k,
∴DE=ME=EA′+2k.
在Rt△DA′E中,A′D2+A′E2=DE2,
∴(4k)2+A′E2=(EA′+2k)2,
解得A′E=3k,
∴在直角△A′DE中,cos∠DEM=
.
试题5、四边形ABCD是正方形,∠MAN=45°,它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N,连接MN,作AH⊥MN,垂足为点H
(1)如图1,猜想AH与AB有什么数量关系?
并证明;
(2)如图2,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,且BD=2,CD=3,求AD的长;
小萍同学通过观察图①发现,△ABM和△AHM关于AM对称,△AHN和△ADN关于AN对称,于是她巧妙运用这个发现,将图形如图③进行翻折变换,解答了此题.你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗?
(1)答:
AB=AH,
证明:
延长CB至E使BE=DN,连接AE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠D=90°,
∴∠ABE=180°﹣∠ABC=90°
又∵AB=AD,
∵在△ABE和△ADN中,
,
∴△ABE≌△ADN(SAS),
∴∠1=∠2,AE=AN,
∵∠BAD=90°,∠MAN=45°,
∴∠2+∠3=90°﹣∠MAN=45°,
∴∠1+∠3=45°,
即∠EAM=45°,
∵在△EAM和△NAM中,
,
∴△EAM≌△NAM(SAS),
又∵EM和NM是对应边,
∴AB=AH(全等三角形对应边上的高相等);
(2)作△ABD关于直线AB的对称△ABE,作△ACD关于直线AC的对称△ACF,
∵AD是△ABC的高,
∴∠ADB=∠ADC=90°
∴∠E=∠F=90°,
又∵∠BAC=45°
∴∠EAF=90°
延长EB、FC交于点G,则四边形AEGF是矩形,
又∵AE=AD=AF
∴四边形AEGF是正方形,
由
(1)、
(2)知:
EB=DB=2,FC=DC=3,
设AD=x,则EG=AE=AD=FG=x,
∴BG=x﹣2;CG=x﹣3;BC=2+3=5,
在Rt△BGC中,(x﹣2)2+(x﹣3)2=52
解得x1=6,x2=﹣1,
故AD的长为6.
四、其它对称
试题1、如图为等边三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形,其中D,E两点分别在AB,BC上,且BD=BE.若AC=18,GF=6,则点F到AC的距离为( B )
A.6
﹣6B.6
﹣6C.2
D.3
试题2、如图,正方形ABCD中,点P为CD上一点,线段AP的垂直平分线MN交BD于点N,点M为垂足,交两边于点E、F,连接PN,则下列结论,其中正确的有( D )
①∠DNP=∠DAP;
②PC=
BN;
③
为常数;
④MN=MF+NE.
A.1个B.2个C.3个D.4个
试题3、如图,E、F是正方形ABCD的边AD上有两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于G,连接BE交AG于点H,若正方形的边长为3,则线段DH长度的最小值是
﹣1 .
试题4、如图,E是正方形ABCD的边CD的中点,AE的垂直平分线分别交AE、BC于H、G,若CG=7,则正方形ABCD的面积等于 64 .
试题5、如图,在正方形ABCD中,点P为AD边上一点,PC的垂直平分线交PC于E交CB的延长线于F,连接PF交AB于G,连接CG.
(1)如图1,求证:
GC平分∠PGB;
(2)如图2连接AN,试判断线段PC与AN的数量关系,并给予证明.
(1)证明:
如图1,过点C作CH⊥FP于点H,
∴∠CHP=∠CHG=90°,
∵FE⊥平分PC,
∴FC=FP,
∴∠FPC=∠FCP,
∵正方形ABCD,
∴CD=CB,∠D=∠DCB=∠ABC=90°,AD∥BC,
∴∠DPC=∠FCP,
∴∠FPC=∠DPC,
在△CPH和△CPD中,
,
∴△CPH≌△CPD(AAS),
∴CH=CD,
∵BC=CD,
∴CH=BC,
又∵AB⊥BC,CH⊥CP,
∴GC平分∠PGB;
(2)解:
如图2,连接PN,由
(1)知△CPH≌△CPD,Rt△CGH≌Rt△CGB,
∴∠BCG=∠HCG,∠DCP=∠HCP,
∴∠GCP=
∠DCB=45°,
∵FE⊥平分PC,
∴NC=NP,
∴△NCP是等腰直角三角形,
∴PC=
CN,PN=CN,
连接DN,作NK⊥DN交DC的延长线于点K,
则∠PND+∠CND=∠CNK+∠CND=90°,
∴∠PND=∠CNK,
∵∠NPD=45°+(90°﹣∠PCD)=135°﹣∠PCD,
∠NCK=180°﹣45°﹣∠PCD=135°﹣∠PCD,
∴∠NPD=∠NCK,
在△NPD和△NCK中,
,
∴△NPD≌△NCK(ASA),
∴NK=ND,
∴∠NDK=∠NKD=∠NDA=45°,
在△NAD和△NCD中,
,
∴△NAD≌△NCD(SAS),
∴NC=NA,
∴PC=
AN.
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