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f分布t分布与卡方分布
§1.4常用的分布及其分位数
1.卡平方分布
卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分
布,它们与正态分布一起,是试验统计中常用的分布。
2当X1、X2、⋯、Xn相互独立且都服从N(0,1)时,Z=Xi2i2分布,记作Z~2(n),它的1z
2e
的分布称为自由度等于n的
n12xn
20,
分布密度
p(z)=n2
22
z0
其他,
式中的
n
1
2
0ue
udu,称为
Gamma函数,且1=1,
2分布是非对称分布,具有可加性,即当Y与Z
1=π。
Y~2(n),Z~2(m),则Y+Z~2(n+m)。
2相互独立,且
证明:
先令X1、X2、⋯、Xn、Xn+1、Xn+2、⋯、Xn+m相互
独立且都服从N(0,1),再根据2分布的定义以及上述随机变量的相互独立性,令
Y=X12+X22+⋯+Xn2,Z=X2n1+Xn22+⋯+Xn2m,
Y+Z=X
+
2
X+
2
2
X++
2
X+
2
X+
2
X+
即可得到Y+Z~2(n+m)。
2.t分布若X与Y相互独立,且
X~N(0,1),Y~2(n),则Z=XY的分布称为自由
度等于n的t分布,记作Z~t(n),它的分布密度
z2
(n2)z2n1
P(z)=2n12。
n(2n)n
请注意:
t分布的分布密度也是偶函数,且当n>30时,t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。
这时,t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
3.F分布若X与Y相互独立,且X~2(n),Y~2(m),则Z=XY的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于
nm
m的F分布,记作Z~F(n,m),它的分布密度nm
nmn1
n2m21
2z2
?
nmnm
22(mnz)2
0,
p(z)=
z0
其他。
F(m,n)。
证:
X~t(n),X的分布密度p(x)=
nπ
Y=X2的分布函数FY(y)=P{Y n1 2 n 2 2 x2 n1 2。 请注意: F分布也是非对称分布,它的分布密度与自由度1的次序有关,当Z~F(n,m)时,Z 当y0时,FY(y)=0,pY(y)=0; 当y>0时,FY(y)=P{-y yy =yyp(x)dx=20yp(x)dx, n 11 y2, 1n (ny)2 n21n 2 Y=X1的分布密度pY(y)=2 1n 22 与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密 2 度相同,因此Y=X~F(1,n)。 为应用方便起见,以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。 但是,解应用问题时,通常是查分位数表。 有关分位数的概念如下: 4.常用分布的分位数 P{X>λ2}=1-F(λ2)=0.5α的数λ2。 因为1-F(λ)=α,F(λ)=1-α,所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x1-α; F(λ1)=0.5α,1-F(λ2)=0.5α,所以双侧α分位数λ1就是0.5α分位数x0.5α,双侧α分位数λ2就是1-0.5α分位数x1-0.5α。 2)标准正态分布的α分位数记作uα,0.5α分位数记作 u0.5α,1-0.5α分位数记作u1-0.5α。 当X~N(0,1)时,P{X P{X P{X 根据标准正态分布密度曲线的对称性,当α=0.5时,uα=0;当α<0.5时,uα<0。 uα=-u1-α。 如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数,则先查出u1-α,然后得到uα=-u1-α。 论述如下: 当 X~N(0,1)时,P{X , P{X P{X>u1-α}=1-F0,1(u1-α)=α,故根据标准正态分布密度曲线的对称性,uα=-u1-α 例如, u0.10=- u0.90=-1.282, u0.05= -u0.95= -1.645, u0.01= -u0.99= -2.326, u0.025= -u0.975 =-1.960, u0.005= -u0.995 =-2.576。 又因为 P{|X| 1-0.5α}=1-α,所以标准正态分布的双 侧α分位数分别是u1-0.5α和-u1-0.5α标准正态分布常用的上侧α分位数有: α=0.10,u0.90=1.282;α=0.05,u0.95=1.645;α=0.01,u0.99=2.326; α=0.025,u0.975=1.960;α=0.005,u0.995=2.576。 3)卡平方分布的α分位数记作2α(n)。 2α(n)>0,当X~2(n)时,P{X<2α(n)}=α 例如,20.005(4)=0.21,20.025(4)=0.48, 20.05(4)=0.71,20.95(4)=9.49, 20.975(4)=11.1,20.995(4)=14.9。 例如,t0.95(4)=2.132,t0.975(4)=2.776, t0.995(4)=4.604,t0.005(4)=-4.604, t0.025(4)=-2.776,t0.05(4)=-2.132。 另外,当n>30时,在比较简略的表中查不到tα(n),可 用uα作为tα(n)的近似值。 5)F分布的α分位数记作Fα(n,m)。 Fα(n,m)>0,当X~F(n,m)时,P{X 另外,当α较小时,在表中查不出Fα(n,m),须先查 F1- α(m,n),再求Fα(n,m)= F1 1 。 (m,n) 论述如下: 当X~F(m,n)时,P{X 1111 P{>}=1-α,P{<}=α, XF1(m,n)XF1(m,n) 11 又根据F分布的定义,~F(n,m),P{ XX 1 因此Fα(n,m)=。 F1(m,n) 例如,F0.95(3,4)=6.59,F0.975(3,4)=9.98, F0.99(3,4)=16.7,F0.95(4,3)=9.12, F0.975(4,3)=15.1,F0.99(4,3)=28.7, F0.01(3,4)= 1 28.7,F0.025(3,4)= 1 15.1 ,F0.05 (3,4)= 1 9.12 【课内练习】 1.求分位数①0.05(8),②0.95(12)。 2.求分位数①t0.05(8),②t0.95(12)。 3.求分位数①F0.05(7,5),②F0.95(10,12)。 4.由u0.975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。 5.由t0.95(4)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。 6.若X~(4),P{X<0.711}=0.05,P{X<9.49}=0.95,试写出有关的分位数。 7.若X~F(5,3),P{X<9.01}=0.95,Y~F(3,5),{Y<5.41}= 0.95,试写出有关的分位数。 8.设X、X、⋯、X相互独立且都服从N(0,0.09)分布,试求P{>1.44}。 习题答案: 1.①2.73,②21.0。 2.①-1.860,②1.782。 3.①,②3.37。 4.1.960为上侧0.025分位数,-1.960与1.960为双侧0.05分位数。 5.2.132为上侧0.05分位数,-2.132与2.132为双侧0.1分位数。 6.0.711为上侧0.95分位数,9.49为上侧0.05分位数,0.711与19.49为双侧0.1分位数。 7.9.01为上侧0.05分位数,5.41为上侧0.05分位数,与 8.0.1。 5.41为双侧0.1分位数,与9.01为双侧0.1分位数。
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- 分布