中考数学精讲四川 宜宾练习第17讲 特殊的平行四边.docx
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中考数学精讲四川 宜宾练习第17讲 特殊的平行四边.docx
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中考数学精讲四川宜宾练习第17讲特殊的平行四边
第十七讲 特殊的平行四边形
考标完全解读)
考点
考试内容
考试要求
矩形[来源:
学优高考网]
矩形的定义[来源:
学优高考网gkstk][来源:
学优高考网]
理解[来源:
学优高考网gkstk]
矩形的性质
掌握
矩形的判定
掌握
菱形
菱形的定义
理解
菱形的性质
掌握
菱形的判定
掌握
正方形
正方形的定义
理解
正方形的性质
掌握
正方形的判定
掌握
感受宜宾中考)
1.(2017宜宾中考)如图,在矩形ABCD中BC=8,CD=6,将△ABE沿BE折叠,使点A恰好落在对角线BD上F处,则DE的长是( C )
A.3B.
C.5D.
(第1题图))
(第2题图))
2.(2016宜宾中考)如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB,BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( A )
A.4.8B.5C.6D.7.2
3.(2013宜宾中考)矩形具有而菱形不具有的性质是( B )
A.两组对边分别平行
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.两组对角分别相等
4.(2014宜宾中考)菱形的周长为20cm,两个相邻的内角的度数之比为1∶2,则较长的对角线长度是__5
__cm__.
5.(2015宜宾中考)如图,在菱形ABCD中,点P是对角线AC上的一点,PE⊥AB于点E.若PE=3,则点P到AD的距离为__3__.
(第5题图))
(第6题图))
6.(2013宜宾中考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连结BG,DF.若AG=13,CF=6,则四边形BDFG的周长为__20__.
7.(2015宜宾中考)如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP,CP的延长线分别交AD于点E,F,连结BD,DP,BD与CF相交于点H.给出下列结论:
①△ABE≌△DCF;②
=
;③DP2=PH·PB;④
=
.
其中正确的是__①③④__.(写出所有正确结论的序号)
核心知识梳理)
矩形的性质和判定
1.矩形的性质
(1)定义:
有一个角是__直角__的平行四边形叫矩形;
(2)边:
矩形的对边__平行且相等__,邻边互相__垂直__;
(3)角:
矩形的四个角都是__直角__;
(4)对角线:
矩形的对角线__互相平分且相等__;
(5)对称性:
矩形既是__中心对称图形__又是__轴对称图形__,有__2__条对称轴,对称中心是对角线的__交点__.
2.矩形的判定
(1)角:
有__一个__角是直角的平行四边形是矩形;__三__个角都是直角的四边形是矩形;
(2)对角线:
对角线相等的__平行四边形__是矩形;对角线__互相平分且相等__的四边形是矩形.
【温馨提示】矩形是一种特殊的平行四边形,具有平行四边形所有的性质,除此以外还具有四个角都是直角、对角线互相平分且相等等性质.
菱形的性质和判定
3.菱形的性质
(1)定义:
有一组邻边__相等__的平行四边形叫菱形;
(2)边:
菱形的四条边都__相等__;
(3)对角线:
菱形的对角线__互相垂直平分__且每一条对角线都__平分__一组对角;
(4)对称性:
菱形既是__中心对称__图形又是__轴对称__图形,有__2__条对称轴,对称中心是对角线的__交点__.
4.菱形的判定
(1)边:
有一组邻边__相等__的平行四边形是菱形;四条边都相等的__四边形__是菱形;
(2)对角线:
对角线__互相垂直__的平行四边形是菱形;对角线互相平分且相等的__四边形__是菱形;
(3)对称性:
菱形既是__中心对称图形__又是__轴对称图形__,有__2__条对称轴,对称中心是对角线的__交点__.
【温馨提示】菱形是一种特殊的平行四边形,具有平行四边形所有的性质,除此以外还具有四条边都相等、对角线互相垂直平分且每一条对角线都平分一组对角等性质.
正方形的性质和判定
5.正方形的性质
(1)定义:
有一组邻边__相等__,并且有一个角是__直角__的平行四边形是正方形;
(2)边:
正方形的对边__平行__,四边都__相等__;
(3)角:
正方形的四个角都是__直角__;
(4)对角线:
正方形的对角线__互相垂直平分且相等__,每一条对角线都__平分__一组对角;
(5)对称性:
正方形既是__中心对称图形__又是__轴对称图形__,有__4__条对称轴,对称中心是对角线的__交点__.
6.正方形的判定
(1)边:
有一组邻边__相等__的矩形是正方形;
(2)角:
有一角是__直角__的菱形是正方形;
(3)对角线:
对角线__互相垂直__的矩形是正方形;对角线互相平分的__菱形__是正方形.
【温馨提示】正方形具有矩形和菱形所具有的所有性质,因此正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形.
平行四边形、菱形、矩形、正方形的关系
重点难点解析)
矩形、菱形、正方形的性质和判定
【例1】下列性质中,菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A.对边平行且相等B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直D.对角互补
【解析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断.
【答案】C
【针对训练】
1.(2017益阳中考)下列性质中菱形不一定具有的性质是( C )
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.既是轴对称图形又是中心对称图形
2.下列命题中,真命题是( A )
A.对角线互相平分且相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
【例2】菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,CD边上的中点,连结EF.若EF=
,BD=2,则菱形ABCD的面积为________.
【解析】根据EF是△ACD的中位线,根据三角形中位线定理求出AC的长,然后根据菱形的面积公式求解.
【答案】2
【针对训练】
3.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=4,则四边形CODE的周长是__8__.
(第3题图))
(第4题图))
4.现有一张边长等于a(a>16)的正方形纸片,从距离正方形的四个顶点8cm处,沿45°角画线,将正方形纸片分成5部分,则阴影部分是__正方形__(填写图形的形状)(如图),它的一边长是__8
__cm__.
矩形、菱形、正方形的应用
【例3】如图①,菱形ABCD中,点E,F分别为AB,AD的中点,连接CE,CF.
(1)求证:
CE=CF;
(2)如图②,若H为AB上一点,连结CH,使∠CHB=2∠ECB,求证:
CH=AH+AB.
【解析】
(1)由菱形ABCD中,点E,F分别为AB,AD的中点,易证得△BCE≌△DCF(S.A.S.),则可得CE=CF;
(2)由平行线的性质,可得AG=AB,∠G=∠FCD,由全等三角形的对应角相等,可得∠BCE=∠DCF,然后由∠CHB=2∠ECB,易证得∠G=∠HCG,则可得CH=GH,则可证得结果.
【答案】证明:
(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,AB=BC=CD=AD.
∵点E,F分别为AB,AD的中点,
∴BE=
AB,DF=
AD.
∴BE=DF.
在△BCE和△DCF中,
∴△BCE≌△DCF(S.A.S.),∴CE=CF;
(2)延长BA与CF,交于点G.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,AB=BC=CD=AD,AF∥BC,AB∥CD,
∴∠G=∠FCD.
∵点F分别为AD的中点,且AG∥CD,
∴AG=DC=AB.
∵△BCE≌△DCF,∴∠ECB=∠DCF.
∵∠CHB=2∠ECB,∴∠CHB=2∠G.
∵∠CHB=∠G+∠HCG,∴∠G=∠HCG,
∴GH=CH,∴CH=AH+AG=AH+AB.
【点评】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
【针对训练】
5.(2017贺州中考)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BD平分∠ABC,AC⊥BD,垂足为点O.
(1)求证:
四边形ABCD是菱形;
(2)若CD=3,BD=2
,求四边形ABCD的面积.
解:
(1)∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,
∴∠ADB=∠CBD.
∵AC⊥BD,AB=AD,∴BO=DO,
在△AOD与△COB中,
∴△AOD≌△COB,∴AO=OC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形;
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴OD=
BD=
,
∴OC=
=2,∴AC=4,
∴S菱形ABCD=
AC·BD=4
.
6.(2017陕西中考)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为边AD和CD上的点,且AE=CF,连结AF,CE交于点G.求证:
AG=CG.
证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD.
∵AE=CF,∴DE=DF.
在△ADF和△CDE中,
∴△ADF≌△CDE(S.A.S.),
∴∠DAF=∠DCE.
在△AGE和△CGF中,
∴△AGE≌△CGF(A.A.S.),
∴AG=CG.
矩形、菱形、正方形的探究
【例4】(2017常州中考)如图①,在四边形ABCD中,如果对角线AC和BD相交并且相等,那么我们把这样的四边形称为等角线四边形.
(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中,________(填写图形名称)一定是等角线四边形;
②若M,N,P,Q分别是等角线四边形ABCD四边AB,BC,CD,DA的中点,当对角线AC,BD还要满足__________时,四边形MNPQ是正方形.
(2)如图②,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,D为平面内一点.
①若四边形ABCD是等角线四边形,且AD=BD,则四边形ABCD的面积是__3+2
__;
②设点E是以C为圆心,1为半径的圆上的动点,若四边形ABED是等角线四边形,写出四边形ABED面积的最大值,并说明理由.
【解析】
(1)①只有矩形的对角线相等,所以矩形是等角线四边形;②当AC⊥BD时,四边形MNPQ是正方形,首先证明四边形MNPQ是菱形,再证明有一个角是直角即可;
(2)①作DE⊥AB于E.根据S四边形ABCD=S△ADE+S梯形DEBC计算,求出相关线段即可;②如图,设AE与BD相交于点Q,连接CE,只要证明当AC⊥BD且A,C,E共线时,四边形ABED的面积最大即可.
【答案】解:
(1)①矩形;②AC⊥BD;
(2)①3+2
;
②如答图中,设AE与BD相交于点Q,连结CE,作DH⊥AE于H,BG⊥AE于G.则DH≤DQ,BG≤BQ.
∵四边形ABED是等角线四边形,
∴AE=BD,
∵S四边形ABED=S△ABE+S△ADE=
·AE·DH+
·AE·BG=
·AE·(GB+DH)≤
·AE·(BQ+QD),
即S四边形ABED≤
AE·BD,
∴当G,H重合时,即BD⊥AE时,等号成立.
∵AE=BD,
∴S四边形ABED≤
AE2,
即线段AE最大时,四边形ABED的面积最大,
∵AE≤AC+CE,
∴AE≤5+1,
∴AE≤6,
∴AE的最大值为6,
∴当A,C,E共线时,取等号,
∴四边形ABED的面积的最大值为
×62=18.
【点评】本题考查四边形综合题、中点四边形、三角形中位线定理、正方形的判定和性质、圆等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题,会求圆上一点到圆外一定点的距离的最大值或最小值,属于中考压轴题.
【针对训练】
7.(2017衢州中考)在直角坐标系中,过原点O及点A(8,0),C(0,6)作矩形OABC,连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从A点出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为ts.
(1)如图①,当t=3时,求DF的长;
(2)如图②,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?
如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值;
(3)连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1∶2时,求相应的t的值.
解:
(1)当t=3时,点E为AB的中点.
∵A(8,0),C(0,6),
∴OA=8,OC=6.
∵点D为OB的中点,
∴DE∥OA,DE=
OA=4.
∵四边形OABC是矩形,
∴OA⊥AB,
∴DE⊥AB,
∴∠OAB=∠DEA=90°.
又∵DF⊥DE,
∴∠EDF=90°,
∴四边形DFAE是矩形,
∴DF=AE=3;
(2)∠DEF的大小不变.理由如下:
作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N,如答图①:
∵四边形OABC是矩形,∴OA⊥AB,
∴四边形DMAN是矩形,
∴∠MDN=90°,DM∥AB,DN∥OA,
∴
=
,
=
.
∵点D为OB的中点,
∴M,N分别是OA,AB的中点,
∴DM=
AB=3,DN=
OA=4.
∵∠EDF=90°,∴∠FDM=∠EDN.
又∵∠DMF=∠DNE=90°,
∴△DMF∽△DNE,∴
=
=
.
∵∠EDF=90°,∴tan∠DEF=
=
;
(3)作DM⊥OA于M,DN⊥AB于N,
若AD将△DEF的面积分成1∶2的两部分,
设AD交EF于点G,则点G为EF的三等分点;
①当点E到达中点之前时,如答图②,NE=3-t,
由△DMF∽△DNE,得MF=
(3-t),
∴AF=4+MF=-
t+
.
∵点G为EF的三等分点,
∴G
,
设直线AD的表达式为y=kx+b,
把A(8,0),D(4,3)代入得
解得
∴直线AD的表达式为y=-
x+6,
把G
代入,得t=
;
②当点E越过中点之后,如答图③,NE=t-3,
由△DMF∽△DNE,得MF=
(t-3),
∴AF=4-MF=-
t+
.
∵点G为EF的三等分点,∴G
,
代入直线AD的表达式y=-
x+6,得t=
;
综上所述,当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1∶2时,t的值为
或
.
当堂过关检测)
1.下列四边形中不一定为菱形的是( A )
A.对角线相等的平行四边形
B.每条对角线平分一组对角的四边形
C.对角线互相垂直的平行四边形
D.用两个全等的等边三角形拼成的四边形
2.如图,将两条宽度都为3的纸条重叠在一起,使∠ABC=60°,则四边形ABCD的面积为__6
__.
(第2题图))
(第3题图))
3.(2017辽阳中考)如图,在矩形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,连结CE.若BC=7,AE=4,则CE=__5__.
4.(2017青岛中考)已知:
如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连结CE,CF,OE,OF.
(1)求证:
△BCE≌△DCF;
(2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形?
请说明理由.
解:
(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,AB=BC=DC=AD.
∵点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,
∴AE=BE=DF=AF,
OF=
DC,OE=
BC,OE∥BC.
在△BCE和△DCF中,
∴△BCE≌△DCF(S.A.S.);
(2)当AB⊥BC时,四边形AEOF是正方形,理由如下:
由
(1)得:
AE=OE=OF=AF,
∴四边形AEOF是菱形.
∵AB⊥BC,OE∥BC,
∴OE⊥AB,∴∠AEO=90°,
∴四边形AEOF是正方形.
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