高考数学理第六章 第3节 等比数列及其前n项和.docx
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高考数学理第六章第3节等比数列及其前n项和
第3节 等比数列及其前n项和
最新考纲 1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式;2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题;3.了解等比数列与指数函数的关系.
知识梳理
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式:
=q(n≥2,q为非零常数).
(2)如果三个数a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,其中G=±
.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=a1qn-1;
通项公式的推广:
an=amqn-m.
(2)等比数列的前n项和公式:
当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn=
=
.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有ak·al=am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,
ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm.
(3)当q≠-1,或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为qn.
[常用结论与微点提醒]
1.若数列{an}为等比数列,则数列{c·an}(c≠0),{|an|},{a
},
也是等比数列.
2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)等比数列公比q是一个常数,它可以是任意实数.( )
(2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac.( )
(3)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=
.( )
(4)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.( )
解析
(1)在等比数列中,q≠0.
(2)若a=0,b=0,c=0满足b2=ac,但a,b,c不成等比数列.
(3)当a=1时,Sn=na.
(4)若a1=1,q=-1,则S4=0,S8-S4=0,S12-S8=0,不成等比数列.
答案
(1)×
(2)× (3)× (4)×
2.(必修5P53AT1
(2)改编)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=
,则公比q等于( )
A.-
B.-2C.2D.
解析 由题意知q3=
=
,即q=
.
答案 D
3.(2018·湖北省七市联考)公比不为1的等比数列{an}满足a5a6+a4a7=18,若a1am=9,则m的值为( )
A.8B.9C.10D.11
解析 由题意得,2a5a6=18,a5a6=9,∴a1am=a5a6=9,
∴m=10.
答案 C
4.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=________.
解析 由an+1=2an,知数列{an}是以a1=2为首项,公比q=2的等比数列,由Sn=
=126,解得n=6.
答案 6
5.(2017·北京卷)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则
=________.
解析 {an}为等差数列,a1=-1,a4=8=a1+3d=-1+3d,∴d=3,∴a2=a1+d=-1+3=2.{bn}为等比数列,b1=-1,b4=8=b1·q3=-q3,∴q=-2,
∴b2=b1·q=2,则
=
=1.
答案 1
考点一 等比数列基本量的运算
【例1】
(1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=________.
(2)(2017·江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn,已知S3=
,S6=
,则a8=________.
解析
(1)由{an}为等比数列,设公比为q.
由
得
显然q≠1,a1≠0,
得1-q=3,即q=-2,代入①式可得a1=1,
所以a4=a1q3=1×(-2)3=-8.
(2)设数列{an}首项为a1,公比为q(q≠1),
则
解得
所以a8=a1q7=
×27=32.
答案
(1)-8
(2)32
规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn=
=
.
【训练1】
(1)(2018·武昌调研)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1=( )
A.-2B.-1
C.
D.
(2)(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为________.
解析
(1)由S2=3a2+2,S4=3a4+2得a3+a4=3a4-3a2,即q+q2=3q2-3,解得q=-1(舍)或q=
,将q=
代入S2=3a2+2,得a1+
a1=3×
a1+2,解得a1=-1,故选B.
(2)设等比数列{an}的公比为q,
∴
⇒
解得
∴a1a2…an=a
q1+2+…+(n-1)=2-
+
.
记t=-
+
=-
(n2-7n),结合n∈N*,可知n=3或4时,t有最大值6.又y=2t为增函数.所以a1a2…an的最大值为64.
答案
(1)B
(2)64
考点二 等比数列的性质及应用
【例2】
(1)(必修5P68BT1
(1))等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=( )
A.12B.10C.8D.2+log35
(2)(2018·云南11校调研)已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12=( )
A.40B.60C.32D.50
解析
(1)由等比数列的性质知a5a6=a4a7,又a5a6+a4a7=18,所以a5a6=9,则原式=log3(a1a2…a10)=log3(a5a6)5=10.
(2)数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,即数列4,8,S9-S6,S12-S9是首项为4,公比为2的等比数列,则S9-S6=a7+a8+a9=16,S12-S9=a10+a11+a12=32,因此S12=4+8+16+32=60.
答案
(1)B
(2)B
规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.
2.在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.
【训练2】
(1)(2018·西安八校联考)已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a1·a6·a11=-3
,b1+b6+b11=7π,则tan
的值是( )
A.-
B.-1C.-
D.
(2)(一题多解)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若
=3,则
=________.
解析
(1)依题意得,a
=(-
)3,a6=-
,3b6=7π,b6=
,
=
=-
,故tan
=tan
=-tan
=-
.
(2)法一 由等比数列的性质S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,由已知得S6=3S3,
∴
=
,即S9-S6=4S3,S9=7S3,∴
=
.
法二 因为{an}为等比数列,由
=3,设S6=3a,S3=a,所以S3,S6-S3,S9-S6为等比数列,即a,2a,S9-S6成等比数列,所以S9-S6=4a,解得S9=7a,所以
=
=
.
答案
(1)A
(2)
考点三 等比数列的判定与证明
【例3】(2016·全国Ⅲ卷)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=
,求λ.
(1)证明 由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=
,a1≠0.
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1,
得an+1=λan+1-λan,
即an+1(λ-1)=λan,
由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以
=
.
因此{an}是首项为
,公比为
的等比数列,
于是an=
.
(2)解 由
(1)得Sn=1-
.
由S5=
,得1-
=
,即
=
.
解得λ=-1.
规律方法 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
【训练3】(2017·安徽江南十校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和,且满足Sn-2an=n-4.
(1)证明:
{Sn-n+2}为等比数列;
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
(1)证明 因为an=Sn-Sn-1(n≥2),
所以Sn-2(Sn-Sn-1)=n-4(n≥2),
则Sn=2Sn-1-n+4(n≥2),
所以Sn-n+2=2[Sn-1-(n-1)+2](n≥2),
又由题意知a1-2a1=-3,
所以a1=3,则S1-1+2=4,
所以{Sn-n+2}是首项为4,公比为2等比数列.
(2)解 由
(1)知Sn-n+2=2n+1,
所以Sn=2n+1+n-2,
于是Tn=(22+23+…+2n+1)+(1+2+…+n)-2n
=
+
-2n=
.
基础巩固题组
(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.已知{an},{bn}都是等比数列,那么( )
A.{an+bn},{an·bn}都一定是等比数列
B.{an+bn}一定是等比数列,但{an·bn}不一定是等比数列
C.{an+bn}不一定是等比数列,但{an·bn}一定是等比数列
D.{an+bn},{an·bn}都不一定是等比数列
解析 两个等比数列的积仍是一个等比数列.
答案 C
2.(2018·太原模拟)在单调递减的等比数列{an}中,若a3=1,a2+a4=
,则a1=( )
A.2B.4C.
D.2
解析 在等比数列{an}中,a2a4=a
=1,又a2+a4=
,数列{an}为递减数列,所以a2=2,a4=
,所以q2=
=
,所以q=
,a1=
=4.
答案 B
3.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:
“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?
”意思是:
一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏
解析 设塔的顶层的灯数为a1,七层塔的总灯数为S7,公比为q,则依题意S7=381,公比q=2.∴
=381,解得a1=3.
答案 B
4.设等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于
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