初中数学相似6大模型问题完整可编辑.docx
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初中数学相似6大模型问题完整可编辑
模型1:
4、
8模型
相似模型
已知N1=N2
结论:
AADEsAABC
OF_OEOD\
加一五一下一5
模型浅析
如图,在相似三角形的判定中,我们通过做平行线,从而得出A型或8型相似.在做题使,我们也常常关注题目由平行线所产生的相似三角形.
模型题源
【例1】如图,在ABC中,中线AF、BD、CE相交于点。
,求证:
de1
证法一:
如图①,连接。
£七是中点,,——=一.,DE//BC
BC2
OFDF1OFI
•••△EODsacoB(8模型).••&=&!
=2.同理:
—=1
OCBC2OA2
•OF_OE_OD_1
••市一无一方一天
求器的值.
GFBF1
证法二:
如图②,过尸作"V/AC交8。
于点G,••加是中点,;=——=-
ADBC2
QF1
•;AD=CD,:
.——=一・•:
FG"AD,•二△G。
/(8模型)
AD2
OFGF1lXiOE1OD1.OFOEOD1
OAAD2OC2OB2OAOCOB2
【例2】如图,点从厂分别在菱形A8C。
的边AB、AO上,且AE=O凡BF交DE于点、G,延长斯交C。
的延长
AF
线于H,若——=2,
DF
解答:
:
四边形A8CQ是菱形,:
.AB^=BC=CD=AD.
设。
/=小则OF=AE=a,AF=EB=2a.9:
HD//AB,MHFDsABFA
HDDF■—
ABAF
HF
FB
1
=一,••HD=1.5a,2
FH
BH
1
=-9
3
:
.FH
1
=-BH3
■:
HD”EB,:
.
△DGHsNGB,:
=
GB
HD
EB
\.5a2a
_3
=-94
.bg
HB
4
-7
练习:
1.如图,D、上分别是△ABC的边AB、8C上的点,且DE〃AC,AE,。
相交于点0,若S:
:
S^coa=1:
25.则S/.bdE与Szxc的比是.
de1
解答:
VDE//AC,AADOE^ACOA,又Ssoe:
S^coa=1:
25,;
AC5
2.如图所示,在248CO中,G是8c延长线上的一点,AG与BD交于点、E,与OC交于点F,此图中的相似三角形共有对.
解:
:
四边形ABCD是平行四边形,,AD〃BC,AB//CD
,
(1)AABD^ACDB:
(2)AABE^AFDE;(3)Aaed^Ageb:
(4)AABG^AFCG^AFDA,可以组成3对相似三角形.,图形中一共有6对相似三角形.
3.如图,在aABC中,中线8。
、CE相交于点。
,连接A0并延长,交8c于点F,求证:
尸是BC的中点.
证明:
连接DE交AF于点G,则DE〃BC,DE二BC,,G为AF中点2
4RRD
方法一:
过点CECE〃AB交AD延长线于点E,AZ1=Z3,AAABD^AECD,,——=——CECD
证明:
过点B做BF〃AC,交CE延长线于点F,则NCBF=90°,AAEC^ABEF
VAE:
EB=2:
1,ABF=-AC=-BC=CD,又AC=CB,ZACD=ZCBF=90022
AAACD^ACBF,,N1=N2,VZ1+Z3=9O°,AZ2+Z3-90°
AZ4=90",.\CE±AD
模型2共边共角型
已知:
Z1=Z2结论:
△ACT)^AABC
D
模型浅析
上图中,不仅要熟悉模型,还要熟记模型的结论,有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系,我们要
能快速判断题中的相似三角形,模型中由△ACOsAABC进而可以得到:
AC^AD.AB
模型题源
【例1】如图,。
是△ABC的边8c上一点,A。
=2,ZDAC=ZB,如果2M8。
的面积为15.那么△ACO的面积为.
解答:
•:
/DAC二NB,NLNC,:
•△X3^ABCA.TAB=4,AD二2,
91V1
•1•1••C二•C“_二
••——••~=~•3/580-19,••u^CD-O
q4qa
“&8Cr.
【例2】如图,在RtZXABC中,NB4C=90。
,A。
J_3c于。
.
(1)图中有多少对相似三角形?
(2)求证:
A氏二BD・BC,AC=CD・CB,AD'=BD*CD
(3)求证:
ABMUAD
解答
(1)三对.分别是:
AABD^ACBA;AACD^ABCA:
AABD^ACAD
(2)VAABD/△C8A,,"二丝.:
.A^BD.BCfVAACD^ABCABCAB
;AC=C£JAC2=CO・CB,VAABD^ACAD,:
.AD2=BC^CD
CBACCDAD,
(3)S=-AB^AC=-BC^AD.,A8・AC=3C・A。
uAnC2)
练习:
1.如图所示,能判定△ABCsZ^oac的有
1NB二NDAC
2N5ALNADC
③AUDC•BC④AD^BD.BC
【答案】第③
2.已知ZVIMN是等边三角形,ZBAC=120".求证:
(1)AB三BM・BC;
(2)aLCN。
;
(3)mN^bm・nc.
【答案】证明:
VZBAC=120\,N8+NC=60°.•・•△AMN是等边三角形,
AZB+Z1=ZAMV=6O\ZC+Z2=ZAMW=60°.AZ1=ZC,Z2=ZB.
(1)VZ1=ZG/B=/B,'△BAMs^bca.,型=弛.,AB^BM・BCABBC
(2)VZ2=ZB,NC=NC,/.ACA^^ACBA.,:
.AC=CN^CB
ACCB
(3)VZ1=ZC,42=NB,:
.ABAMA—=—.
ANCN
:
.BM,CN=AN•AM•:
AN=AM=MN,:
.AB2=BM^BC
3.如图,A8是半圆。
的直径,C是半圆上一点,过C作。
QL48于。
,从。
=2加,AD:
DBM:
1.求CO的长.
【答案】连接8C,设AO二衣,则。
8r.,AB=5尤TAB是半圆。
的直径,,NAC8=90°
又•••CQ_LA8.•••△ACQsaABCJAC^AD.AB,即(2加尸=4.5.t,解得:
x二也(舍负).
:
.AD=4>/2./.CD=ylAC2-AD2=2^2
4.如图①,Rt2\A8C中,NAC8=90",CDLAB,我们可以利用△ABCs△AC。
证明AC2二4。
・48,这个结论我们称之为射影定理,结论运用:
如图②,正方形ABCO的边长为6,点。
是对角线AC、8。
的交点,点E在CD上,过点。
作CFJ_8E,垂足为F,连接OF.
(I)试利用射影定理证明△BOFsA^ed:
(2)若DE=2CE,求OF的长.
【答案】
(1):
四边形A3CD为正方形,J.OCLBO,/BCD=901;.BGBO・BD.
.r1nBOBF
:
CF上BE,:
.BC=BF。
BE.:
.BO・BD=BF,BE.RP——=——BEBD,
又,:
/OBF二NEBD,:
.ABOFs4BED.
(2)•:
BC=CD二6,而。
斤2CE,:
・DE=4,CE=2.在RtZ\3CE匚口,BE=M+6:
=2回,
在RtZkO8C匚口,0B=叵BC=3日,:
ABOFsABED,2
.OFBOOF_3a6"
••=♦K|J=——:
..(/?
=-
DEBE42M5
模型3一线三等角型
己知,如图①②③中:
NB二NACE二ND结论:
/\ABCsACDE
模型浅析
如图①,VZACE+ZDCE=ZB+ZA,又,:
/B=/ACE,:
.ZDCE=ZA.
:
•△ABCsRCDE.图②③同理可证△ABCs/\cq£
在一线三等角的模型中,难点在于当已知三个相等的角的时候,容易忽略隐含的其他相等的角,此模型中三垂直相似应用较多,当看见该模型的时候,应立刻能看出相应的相似三角形.
模型题源
【例1】如图,在等边△A8C中,P为BC上一点"。
为AC上一点,且NAPD=60〃,BP=LC。
=:
.则/MB。
的3
边长为
A
解答
•••△ABC是等边三角形,;.AB二BC=AC,N3=NC=6(K丁NAPC=N8+N8AP,即N4PO+NOPC=N6+N8AP,又〈NAPD二NB二60。
:
"DPC=NBAP.
又,:
/B=/C,:
APCDsAABP.
BPAB
2
设A8r,则PLx-1,^-=—,解得产3.
1x
【例2】如图,NA=N8=90",AB=7,AO=2,3c=3,在边AB上取一点尸,使得△力。
与aPBC相似,则这样的P点共有个.
解答
/)4PR77_y
设4P=m,则有P8=A8—4P=7—・T,当△PDAs/\cP8时,——=——,即二=——-
APBCx3
解得:
x=l或x=6,当△POAs/^pcb时,—,即3=」_,
BCPB37-x
解得:
A=-,则这样的的点P共有3个.
5
练习:
1.如图,△48C中,N84?
=90“,A8=AC=1,点。
是8c边上一动点(不与8、C点重合),ZADE=^5°.
(1)求证:
△ABDs^DCE;
(2)设8O=x,AE=y9求y关于x的函数关系式:
(3)当△ADE是等腰三角形时,求4E的长.
解答:
(1)・.48。
口,ZBAC=90(\AB=AC=1,ZABC=ZACB=45°.•/ZADE=45^\
/.ABDA+4CDE=135°,又•/ABDA+ZBAD=135°,..ABAD=4CDE.MBD〜MXJE.
(2)vAABD〜ADCE,.AB_BD
CD=CE-
•:
BD=x,
:
.CD=BC-BD=&-x.
.1-x
\/2-x=CE'
:
.CE3x-x2.
:
.AE=AC-CE=\-(y/2x-x2)=x2->j2x+\.
即y=f-岳+1
(3)当"OE是等腰三角形时,第一种可能是AD=O£
又•/SABD〜'DCE,SABD=ADCE.
:
CD=AB=\.
/.BD=a-1.
•/BD=CE,
AE=AC-CE=2-五.
当aAOE是等腰三角形时,第二种可能是ED=EA.
•:
NAOE=450,
•・.此时有NOE4=900.
即aAOE为等腰直角三角形..IAE=DE=^AC=-.
22
当AD=EA时,点。
与点8重合,不合题意,所以舍去.
因此A助长为2-"或L2
2.如图,在△48C中,48=47=10,点D是边8c上一动点(不与8、C重合),NADE=NB=a,DE交AC于点、E,4
且cosc==.下列结论:
①△4£>£/△ACO;
②当8。
=6时,2X48。
与△£)(:
£全等:
③△OCE为直角三角形时,8。
等于8或z:
④0 其中正确的结论是.(把你认为正确的序号都填上)解答: ⑴,.・A3=AC, ・•.ZB=ZC又•・,ZADE=/B,/.ZADE=ZC. ..MOE〜AACD故①正确. 4 (2)AB=AC=10.ADE=B=a.cosci=". 5 4 .・.BC=2ABcosB=2xl0x-=l6. 5 ;BD=6, /.DC=10. ,AB=DC. 在AA8O和ADCE中, /BAD=NCDE AB=DC : .^ABD^SDCE(ASA). 故②正确. (3)当NAE。 =90。 时,由可知: △AOEs/viCD: .ZADC^ZAED. VNAE。 =90°, : ./AOC=90。 . 即ADA.BC. : AB=AC, : .BD=CD. 4 /.ZADE=ZB=a^cosa=-,A5=10,BD=8. 5 当NCQE二90。 时,易得ACDEsABAD. 4 /.^ADE=NB=n11cos。 AB=10,BD=8.5 vZCDE=90(>, /.ZBAD=9O0. 4 /NB=aILeos<7=—.AB=10,5 /nAB4力八25 BD5 二cosN8=——=一・二BD=— 故③正确. (4)易证由②可知BC=16, 设3。 =y^CE=x, .AB_BD而一方 10_y •.~■~~• 16-yx 整理得: r-16y+64=64-10A-. 即(y-8)2=64-1Ox. 0 故④正确,故答案为: ①②(③④. 3.如图,已知矩形488的一条边45=8,将矩形48CD折卷,使得顶点8落在8边上的P点处,折叠与边8c交于O,连接4P、OP、OA. (1)求证: △OCPsZ^PDA; (2)若△OCP与△PDA的面积比为1: 4,求边48的长. ⑴・・•四边形A5CD是矩形, JAD=BC,DC=AB,ZDAB=N8=NC=NO=90°. 由折叠可得: AP=AB.PO=B5NPAO=/BAO&PO=ZB. /.ZAPO=90°. ・•.ZAPD=90°-ZCPO=4PoC, ・/ZD=ZCZAPD=/POC, ・..SOCP-SPDA. (2)・「AOCP与APZM的面积比为1: 4, ...PD=20c.PA=2OP,DA=2CP. ・/AD=8, /.CP=4,8c=8. 设OP=X,则03=x,CO=8-x. 在用△PCO中, ・・・NC=90°,CP=4,OP=x,CO=8-x,/.x2=(8-x)2+42. 解得: x=5. : AB=AP=2OP=\0. 模型浅析 9: AF//DE//BC, : .△BDEsgAF,AADEsABC.DE_BDDEAD…左一罚’加一罚, .DEDEBDADAB, ••——+——=——+——=——=1 AFBCABABAB 即生+"=1 仔细观察,会发现模型中含有两个A型相似模型,它的结论是由两个4型相似的结论相加而得到的,该模型的练习有助于提高综合能力水平. 模型题源 如图,AF//BC.AC.81相交于E,过E作ED〃外交48于。 . 求证: ―1—+」_ SgBFS^BC 证明: 分别过点C、E、F作直线A3的垂线,垂足分别是K、H、G 则(模型结论). AFBCDE /MFGs&DEHs^BCK. 工AFDEBCt FGEHCK AF=kFG.DE=kEH.BC=kCK. 1 kFGkCKkEH +=.FGCKEH 11 + -AB.FG-AB.CK 2 1o-“aw ] iAB.EH 2 练习 1. 如图,在△ABC中,C£>_LAB于点 求证: 证明: 方法一: 如图① •/四边形EFG〃是正方形, : .EFLAB VCD1.AB, : .EF//CD, : .AAEF^AACD. •・・空”① CDAC VEH//AB. : .ACEH^ACAB .EHCE -7F-前 VEH=EF, ・・・旦=空② ABAC 正方形EFGH的四个顶点都在ZiABC的边上. ①+②得, EFEFAECEt —+—=+=1. CDABACAC ・1+1-1 ••—十- ABCDEF 方法二: 如图②,构造模型4 过点C作AB的平行线交AH的延长线于点K,依题意有,CK//EH//AB. ・1+1_1 ••-. ABCKEH ..EHAEEF.. .=——=——、EH=EF. CKACCD : .CK=CD. ・1+1_1 ••十——. ABCDEF 2.正方形ABC。 中,以A8为边作等边三角形A8E,连接OE交AC于F,交AB于G,连接8F.求证: ⑴AF+BF=EF; 答案: (1)如图①,在"上截取切=AE 2•ZEAB=60°,ZBAD=90°,AE=AD. \Z1=Z2=15°.Z3=Z2+Z4=60°. 3 ••AAFH为等边三角形. : .NEAH=NBAF. : .AEAHqABAF. : .EH=BF. : .AF+BF=FH+EH=EF. (2),如图②,过点G作GK〃8产交AC于点K. 由①可得N8FC=60。 , .*•AH//GK//BF. A由模型4,得 模型5与圆有关的简单相似 模型浅析 图①中,由同弧所对的圆周角相等,易得AMCsAPDB. 图②中,由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角,易得AABDsAAEC 图③中,已知A3切。 。 于点A,如下图, 过A作直径AE,连接QE,则有N£W+NE=90。 .。 E 又N8AD+NE4O=90°,NBAD=/E=/C 从而ABADsABCA.I\\\ 模型题源 如图,点P在。 。 外,PB交。 。 于A、8两点,尸。 交。 。 于。 、。 两点.求证: PA.PB=PD.PC. 证明: 作直线OP交。 。 于C、。 两点,连接8C、AD. •/NB=ND,ZC=ZA. : .Apbc^Apda. .PB_PC)•= PDPA : .PA.PB=PD.PC=(r+d)3d)=/-/ 练习 1.如图,P是。 。 内的一点,AB是过点P的一条弦,设圆的半径为r,OP=d. 求证: PAPB=产-cl2. 证明: 作直线OP交。 。 于C、。 两点,连接BC、AD.VZA=ZD.NC=NA, : •△PBCsAPDR. .PB_PC ••• PDPA: .PAPB=PCPD=(r+d)(r-d)=r-d1 2.如图,已知A3为。 。 的直径,C、。 是半圆的三等分点,延长AC、8。 交于点£ (1)求NE的度数: (2)点M为8七上一点,且满足EM.E3=C6,连接CM,求证: CM是。 。 的切线. 解: (1)连接OD.VC.。 是半圆的三等分点,: .AC=CD=DB. 〈AB为00的直径,ZAOC=ZC0D=ZDOB=60°. : .OA=OC=OD=OB, •♦•△AOC、△008为等边三角形.: .ZEAB=ZEBA=6QQ.: .ZE=60°. (2)连接BC, FMCF •EMEB=CE\A—=—.CEEB •: /E=/E,CEMs^BEC. •••AB为。 。 的直径,AZAC5=90°.: .ZECB=9Q0,: .ZEMC=ZECB=90Q.VC.。 是半圆三等分点,: .NAOC=NOOB=60。 , J.OC//BE. ,NOCM=NEMC=90。 . : .0CLCM. •,.CM为。 。 的切线. 模型6相似和旋转 如图①,已知I。 七〃8C,将△AOE绕点A旋转一定的角度,连接8。 、CE,得到如图②, 结论: AABOs/kACE. 模型浅析 ■: DE//BC, .ADAE••=, ABAC 如图②,ZDAE=ZBAC,: ./BAD=NCAE : •△ABDsAACE. 该模型难度较大,常出现在压轴题中,以直角三角形为背景出题,对学生的综合能力要求较高,考察知识点有相似、旋转、勾股定理、三角函数等,是优等生必须掌握的一种题型. 模型题源 如图,在RtZUBC中,N8AC=60。 ,点P在△ABC内,且〃4=6,PB=5,PC=2. : .ZBQP=90°.过A点作延长8。 交AM于点M. : .AM=PQ,MQ=AP.,A82=AM2+(qm+8q『=pq2+(ap+8q)2=28+87T 练习 I.如图,△ABC和尸均为等腰直角三角形,E在AABC内,NCAE+NC8E=90。 ,连接 (1)求证: ACAEsACBF: (2)若BE=\,AE=2,求CE的长. 解: (I)•••△ABC和均为等腰直角三角形. .・.£里=夜 BCCF : ./ACB=NECF=450. : .ZACE=ZBCF. : •△CAEs^CBF. : .ZACB=ZECF=45Q. : .NACE=NBCF. : ACAEsaCBF. (2),: ACAEs^CBF, : .ZCAE=ZCBF,—=—=72BFBC A—=V2>: .BF=72BF 又•••/CAE+NC8E=900. AZCBF4-ZC5£=90°. ;.NEBF=900. : .EF1=BE2+BF2=12+(V2)2=3. : .EF=6. ■: CE2=2EF2=6, : .CE=>/6. 2.己知,在△ABC中,ZBAC=60Q. (1)如图①.若AB=AC,点尸在aABC内,且NAPC=150。 ,力=3,PC=4,把△APC绕着点A顺时针旋转,使点。 旋转到点8处,得到/"。 儿连接OP. ①依题意补全图1: ②直接写出P8的长: (2)如图②,若AB=A。 ,点P在aABC外,且必=3,PB=5,PC=4,求NAPC的度数: (3)如图③,若AB=2AC,点尸在△ABC内,且用=",PB=5,NAPC=120。 ,请直接写出PC的长. : .ND4P=NB4C=60C. /.AADP为等边三角形. ,。 尸=朋=3,NAOP=60, : .ZADB=ZAPC=\50\ ;.NBDP=90。 在Rtz^DP中,BD=4,DP=3. 根据勾股定理得: PB=5. (2)把"PC绕点A顺时针旋转,使点。 与点8重合,得到△AO8,连接P。 , •△APC丝ZkAOB.P ・A0=AP=3,DB=PC=4,ZPAC=ZDAB.NAPC=N2. : .ZDAP=ZBAC, VN8AC=60。 , AZDAP=60°, .,.△ZMP是等边三角形. •••PD=3,Nl=60。 , : .PD2+DB2=32+42=52=PB2. AZPDB=90°. AZ2
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